Os exercícios que se seguem permitem consolidar as noções fundamentais sobre as sucessões: definição, notação, termo geral, recorrência, monotonia, limitação, progressões aritméticas e geométricas, representação gráfica e primeiras subsucessões.
Em cada exercício utilizaremos as definições de forma explícita, de modo a esclarecer não apenas o resultado final, mas também o procedimento correcto a seguir.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Escrever os primeiros cinco termos da sucessão definida por
\[ a_n=2n-1,\qquad n\ge 1. \]
Resultado
Os primeiros cinco termos são
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9. \]
Resolução
A sucessão é dada pelo seu termo geral
\[ a_n=2n-1. \]
Para encontrar os primeiros cinco termos, substituímos em \(n\) os valores \(1,2,3,4,5\).
Para \(n=1\) obtemos
\[ a_1=2\cdot 1-1=1. \]
Para \(n=2\) obtemos
\[ a_2=2\cdot 2-1=3. \]
Para \(n=3\) obtemos
\[ a_3=2\cdot 3-1=5. \]
De modo análogo,
\[ a_4=2\cdot 4-1=7, \qquad a_5=2\cdot 5-1=9. \]
Assim, os primeiros cinco termos da sucessão são
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9. \]
Observemos que estes são os primeiros números naturais ímpares. Contudo, a sucessão não é simplesmente o conjunto dos números ímpares: é uma lista ordenada, na qual o primeiro termo é \(1\), o segundo é \(3\), o terceiro é \(5\), e assim sucessivamente.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar os primeiros quatro termos da sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
nos dois casos seguintes:
- \(n\ge 0\);
- \(n\ge 1\).
Resultado
Se \(n\ge 0\), os primeiros quatro termos são
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14. \]
Se \(n\ge 1\), os primeiros quatro termos são
\[ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15. \]
Resolução
A fórmula do termo geral é a mesma em ambos os casos:
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
O que muda, porém, é o índice inicial da sucessão.
Se \(n\ge 0\), o primeiro índice é \(0\). Logo, os primeiros quatro termos correspondem a \(n=0,1,2,3\).
Calculemos:
\[ a_0=\frac{1}{0+1}=1, \]
\[ a_1=\frac{1}{1+1}=\frac12, \]
\[ a_2=\frac{1}{2+1}=\frac13, \]
\[ a_3=\frac{1}{3+1}=\frac14. \]
Assim, se \(n\ge 0\), a sucessão começa por
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Se, pelo contrário, \(n\ge 1\), o primeiro índice é \(1\). Os primeiros quatro termos correspondem então a \(n=1,2,3,4\).
Calculemos:
\[ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac13,\qquad a_3=\frac14,\qquad a_4=\frac15. \]
Assim, se \(n\ge 1\), a sucessão começa por
\[ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ldots \]
Este exercício mostra que uma mesma fórmula pode gerar sucessões diferentes consoante o conjunto de índices.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Averiguar se a fórmula
\[ a_n=\frac{1}{n-2} \]
define uma sucessão real para todo \(n\ge 1\). Caso contrário, indicar a partir de que índice pode ser considerada.
Resultado
A fórmula não define uma sucessão real para todo \(n\ge 1\), porque para \(n=2\) o denominador anula-se. Pode ser considerada, por exemplo, para \(n\ge 3\).
Resolução
Para definir uma sucessão real, o termo \(a_n\) deve ser um número real para todo índice admissível.
A fórmula é
\[ a_n=\frac{1}{n-2}. \]
O denominador é
\[ n-2. \]
Esse denominador anula-se quando
\[ n-2=0. \]
Logo,
\[ n=2. \]
Para \(n=2\) teríamos
\[ a_2=\frac{1}{2-2}=\frac10, \]
que não está definido.
Por conseguinte, a fórmula não define uma sucessão real para todos os índices \(n\ge 1\).
Para evitar este inconveniente, podemos considerar a sucessão a partir de \(n=3\). Nesse caso obtemos
\[ a_3=1,\qquad a_4=\frac12,\qquad a_5=\frac13,\qquad a_6=\frac14,\ldots \]
Assim, a fórmula define correctamente uma sucessão real se se tomar, por exemplo,
\[ n\ge 3. \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Dada a sucessão
\[ a_n=\frac{n+1}{n}, \qquad n\ge 1, \]
escrever os primeiros quatro termos e reescrever o termo geral na forma \(\displaystyle 1+\frac1n\).
Resultado
Os primeiros quatro termos são
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54. \]
Além disso,
\[ a_n=1+\frac1n. \]
Resolução
Calculemos os primeiros termos substituindo \(n=1,2,3,4\).
Para \(n=1\),
\[ a_1=\frac{1+1}{1}=2. \]
Para \(n=2\),
\[ a_2=\frac{2+1}{2}=\frac32. \]
Para \(n=3\),
\[ a_3=\frac{3+1}{3}=\frac43. \]
Para \(n=4\),
\[ a_4=\frac{4+1}{4}=\frac54. \]
Assim, os primeiros quatro termos são
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54. \]
Reescrevamos agora o termo geral:
\[ \frac{n+1}{n}=\frac{n}{n}+\frac{1}{n}. \]
Uma vez que
\[ \frac{n}{n}=1, \]
obtemos
\[ a_n=1+\frac1n. \]
Esta forma é muitas vezes mais elucidativa do que a inicial, porque mostra que cada termo se obtém somando a \(1\) a quantidade \(\displaystyle \frac1n\).
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a sucessão definida por recorrência através de
\[ a_1=4,\qquad a_{n+1}=a_n+5\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Escrever os primeiros cinco termos e encontrar uma fórmula explícita para \(a_n\).
Resultado
Os primeiros cinco termos são
\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24. \]
A fórmula explícita é
\[ a_n=4+5(n-1). \]
De forma equivalente,
\[ a_n=5n-1. \]
Resolução
A sucessão está definida por recorrência. Isto significa que cada termo se obtém a partir do anterior.
Sabemos que
\[ a_1=4. \]
Além disso,
\[ a_{n+1}=a_n+5. \]
Logo, cada termo seguinte obtém-se somando \(5\) ao termo anterior.
Calculemos:
\[ a_2=a_1+5=4+5=9, \]
\[ a_3=a_2+5=9+5=14, \]
\[ a_4=a_3+5=14+5=19, \]
\[ a_5=a_4+5=19+5=24. \]
Os primeiros cinco termos são, portanto,
\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24. \]
Para encontrar a fórmula explícita, observemos que, para passar de \(a_1\) a \(a_n\), somamos \(5\) exactamente \(n-1\) vezes.
Por conseguinte,
\[ a_n=4+5(n-1). \]
Desenvolvendo,
\[ a_n=4+5n-5=5n-1. \]
Assim, uma fórmula explícita da sucessão é
\[ a_n=5n-1. \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a sucessão definida por
\[ b_1=3,\qquad b_{n+1}=2b_n\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Escrever os primeiros cinco termos e reconhecer o tipo de sucessão.
Resultado
Os primeiros cinco termos são
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48. \]
Trata-se de uma progressão geométrica de primeiro termo \(3\) e razão \(2\).
Resolução
A sucessão está definida por recorrência:
\[ b_1=3, \qquad b_{n+1}=2b_n. \]
Isto significa que cada termo seguinte se obtém multiplicando o termo anterior por \(2\).
Calculemos:
\[ b_2=2b_1=2\cdot 3=6, \]
\[ b_3=2b_2=2\cdot 6=12, \]
\[ b_4=2b_3=2\cdot 12=24, \]
\[ b_5=2b_4=2\cdot 24=48. \]
Assim, os primeiros cinco termos são
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48. \]
Uma vez que cada termo se obtém do anterior multiplicando sempre pelo mesmo número, a sucessão é geométrica.
O primeiro termo é
\[ b_1=3, \]
ao passo que a razão é
\[ q=2. \]
A fórmula explícita é, portanto,
\[ b_n=3\cdot 2^{n-1}. \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Averiguar se a sucessão
\[ a_n=7,\qquad n\ge 1, \]
é crescente, decrescente e se é limitada.
Resultado
A sucessão é constante. Logo, é crescente e decrescente em sentido lato. Além disso, é limitada.
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=7\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Isto significa que todos os seus termos são iguais a \(7\):
\[ 7,\ 7,\ 7,\ 7,\ldots \]
Para verificar se é crescente, devemos averiguar se
\[ a_n\le a_{n+1}\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Neste caso
\[ a_n=7 \qquad \text{e} \qquad a_{n+1}=7. \]
Logo,
\[ a_n=a_{n+1}. \]
Em particular,
\[ a_n\le a_{n+1}. \]
Portanto, a sucessão é crescente em sentido lato.
De modo análogo, uma vez que
\[ a_n=a_{n+1}, \]
verifica-se também
\[ a_n\ge a_{n+1}. \]
Portanto, a sucessão é também decrescente em sentido lato.
Por fim, a sucessão é limitada, porque todos os seus termos coincidem com \(7\). Por exemplo, podemos escrever
\[ 6\le a_n\le 8\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Na realidade, o conjunto dos valores assumidos pela sucessão é simplesmente
\[ \{7\}. \]
Isto basta para concluir que a sucessão é limitada: com efeito, todos os seus termos permanecem sempre iguais a \(7\).
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Demonstrar que a sucessão
\[ a_n=n^2+1, \qquad n\ge 1, \]
é estritamente crescente.
Resultado
A sucessão é estritamente crescente.
Resolução
Para demonstrar que uma sucessão é estritamente crescente, devemos provar que
\[ a_n<a_{n+1}\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
De forma equivalente, podemos demonstrar que
\[ a_{n+1}-a_n>0\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
No nosso caso
\[ a_n=n^2+1. \]
Calculemos o termo seguinte:
\[ a_{n+1}=(n+1)^2+1. \]
Logo,
\[ a_{n+1}-a_n=\bigl((n+1)^2+1\bigr)-(n^2+1). \]
Desenvolvamos:
\[ (n+1)^2+1=n^2+2n+1+1=n^2+2n+2. \]
Então
\[ a_{n+1}-a_n=(n^2+2n+2)-(n^2+1)=2n+1. \]
Uma vez que \(n\ge 1\), temos
\[ 2n+1>0. \]
Por conseguinte,
\[ a_{n+1}-a_n>0\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Consequentemente,
\[ a_n<a_{n+1}\quad \text{para todo } n\ge 1, \]
e a sucessão é estritamente crescente.
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Demonstrar que a sucessão
\[ a_n=\frac1n, \qquad n\ge 1, \]
é estritamente decrescente.
Resultado
A sucessão é estritamente decrescente.
Resolução
Para demonstrar que uma sucessão é estritamente decrescente, devemos provar que
\[ a_{n+1}<a_n\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
No nosso caso
\[ a_n=\frac1n. \]
O termo seguinte é
\[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. \]
Como
\[ n+1>n \]
e como \(n\) e \(n+1\) são positivos, ao passar aos inversos o sentido da desigualdade inverte-se:
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n. \]
Ou seja,
\[ a_{n+1}<a_n\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Portanto, a sucessão
\[ \left(\frac1n\right)_{n\ge 1} \]
é estritamente decrescente.
Este exemplo é importante porque mostra que uma sucessão decrescente não tem necessariamente de se tornar negativa: com efeito, todos os termos da sucessão são positivos.
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Averiguar se a sucessão
\[ a_n=(-1)^n, \qquad n\ge 1, \]
é crescente, decrescente ou monótona.
Resultado
A sucessão não é crescente nem decrescente. Consequentemente, não é monótona.
Resolução
Calculemos os primeiros termos da sucessão:
\[ a_1=(-1)^1=-1, \]
\[ a_2=(-1)^2=1, \]
\[ a_3=(-1)^3=-1, \]
\[ a_4=(-1)^4=1. \]
Assim, a sucessão é
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Para que fosse crescente, deveria verificar-se
\[ a_n\le a_{n+1}\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Contudo, para \(n=2\) temos
\[ a_2=1 \qquad \text{e} \qquad a_3=-1. \]
Logo,
\[ a_2>a_3. \]
Isto basta para concluir que a sucessão não é crescente.
Para que fosse decrescente, deveria verificar-se
\[ a_n\ge a_{n+1}\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Contudo, para \(n=1\) temos
\[ a_1=-1 \qquad \text{e} \qquad a_2=1. \]
Logo,
\[ a_1<a_2. \]
Isto basta para concluir que a sucessão não é decrescente.
Uma vez que uma sucessão monótona é uma sucessão crescente ou decrescente, a sucessão dada não é monótona.
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Estudar a limitação da sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1}, \qquad n\ge 1. \]
Determinar um minorante, um majorante, o ínfimo e o supremo do conjunto dos valores assumidos.
Resultado
A sucessão é limitada. Tem-se
\[ 0<a_n<1\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Um minorante é \(0\), um majorante é \(1\). Além disso,
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}=\frac12, \qquad \sup\{a_n:n\ge 1\}=1. \]
Resolução
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Uma vez que \(n\ge 1\), tanto \(n\) como \(n+1\) são positivos. Logo,
\[ \frac{n}{n+1}>0. \]
Assim, \(0\) é um minorante da sucessão.
Além disso, como
\[ n<n+1, \]
dividindo por \(n+1>0\) obtemos
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Assim, \(1\) é um majorante da sucessão.
Temos, portanto,
\[ 0<a_n<1\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Em particular, a sucessão é limitada.
Determinemos agora o ínfimo e o supremo do conjunto dos valores assumidos.
Calculemos os primeiros termos:
\[ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac23,\qquad a_3=\frac34,\qquad a_4=\frac45. \]
A sucessão é crescente, porque
\[ a_n=1-\frac{1}{n+1}. \]
À medida que \(n\) cresce, a quantidade \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\) diminui; logo, \(\displaystyle 1-\frac{1}{n+1}\) aumenta.
O primeiro termo é
\[ a_1=\frac12. \]
Como a sucessão é crescente, o menor valor assumido é \(\displaystyle \frac12\). Por conseguinte,
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}=\frac12. \]
Por outro lado, todos os termos são menores do que \(1\), mas aproximam-se cada vez mais de \(1\). Logo, \(1\) é o menor de todos os majorantes.
Por conseguinte,
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}=1. \]
Observemos que o supremo não é um termo da sucessão, porque não existe nenhum \(n\ge 1\) tal que
\[ \frac{n}{n+1}=1. \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Demonstrar que a sucessão
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\ge 1, \]
é limitada.
Resultado
A sucessão é limitada. Com efeito,
\[ |a_n|\le 1\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Resolução
Para demonstrar que uma sucessão é limitada, podemos recorrer ao critério do valor absoluto.
Uma sucessão \((a_n)\) é limitada se existir um número real \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
No nosso caso
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Calculemos o valor absoluto:
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|. \]
Como
\[ |(-1)^n|=1 \]
para todo \(n\ge 1\), obtemos
\[ |a_n|=\frac1n. \]
Como \(n\ge 1\), tem-se
\[ \frac1n\le 1. \]
Logo,
\[ |a_n|\le 1\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Tomando \(K=1\), concluímos que a sucessão é limitada.
Os primeiros termos são
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Mudam de sinal, mas permanecem todos compreendidos entre \(-1\) e \(1\).
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Averiguar se a sucessão
\[ a_n=n^2-3n, \qquad n\ge 1, \]
é limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada.
Resultado
A sucessão é limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente. Consequentemente, não é limitada.
Resolução
Consideremos
\[ a_n=n^2-3n. \]
Calculemos alguns termos:
\[ a_1=1-3=-2, \]
\[ a_2=4-6=-2, \]
\[ a_3=9-9=0, \]
\[ a_4=16-12=4. \]
Os termos começam, portanto, assim:
\[ -2,\ -2,\ 0,\ 4,\ldots \]
Para estudar a limitação, reescrevamos o termo geral completando o quadrado:
\[ n^2-3n=\left(n-\frac32\right)^2-\frac94. \]
Visto que um quadrado é sempre não negativo, temos
\[ \left(n-\frac32\right)^2\ge 0. \]
Logo,
\[ a_n=\left(n-\frac32\right)^2-\frac94\ge -\frac94. \]
Isto mostra que a sucessão é limitada inferiormente.
Na realidade, uma vez que \(n\) é natural, o menor valor assumido é \(-2\), obtido para \(n=1\) e \(n=2\). Com efeito,
\[ a_1=a_2=-2. \]
Perguntemo-nos agora se a sucessão é limitada superiormente.
Para valores grandes de \(n\), o termo dominante é \(n^2\). O termo \(-3n\) cresce em valor absoluto muito mais lentamente do que \(n^2\).
Podemos torná-lo rigoroso observando que, para \(n\ge 6\), se tem
\[ 3n\le \frac{n^2}{2}. \]
Com efeito, esta desigualdade equivale a
\[ 6n\le n^2, \]
ou seja,
\[ 6\le n. \]
Logo, para \(n\ge 6\),
\[ a_n=n^2-3n\ge n^2-\frac{n^2}{2}=\frac{n^2}{2}. \]
A quantidade \(\displaystyle \frac{n^2}{2}\) ultrapassa qualquer número real fixado, bastando tomar \(n\) suficientemente grande.
Por conseguinte, a sucessão não é limitada superiormente.
Concluímos que a sucessão é limitada inferiormente, mas não superiormente. Logo, não é limitada.
Exercício 14 — nível ★★☆☆☆
Verificar que a sucessão
\[ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots \]
é uma progressão aritmética e determinar o seu termo geral.
Resultado
A sucessão é uma progressão aritmética de primeiro termo \(a_1=5\) e razão \(d=3\). O termo geral é
\[ a_n=5+3(n-1). \]
De forma equivalente,
\[ a_n=3n+2. \]
Resolução
Uma sucessão é uma progressão aritmética se a diferença entre dois termos consecutivos for constante.
Calculemos as diferenças:
\[ 8-5=3, \]
\[ 11-8=3, \]
\[ 14-11=3. \]
A diferença entre termos consecutivos é sempre \(3\). Logo, a sucessão é uma progressão aritmética.
O primeiro termo é
\[ a_1=5, \]
e a razão é
\[ d=3. \]
O termo geral de uma progressão aritmética é
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Substituindo \(a_1=5\) e \(d=3\), obtemos
\[ a_n=5+3(n-1). \]
Desenvolvendo,
\[ a_n=5+3n-3=3n+2. \]
Portanto,
\[ a_n=3n+2. \]
Exercício 15 — nível ★★☆☆☆
Verificar que a sucessão
\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots \]
é uma progressão geométrica e determinar o seu termo geral.
Resultado
A sucessão é uma progressão geométrica de primeiro termo \(a_1=2\) e razão \(q=3\). O termo geral é
\[ a_n=2\cdot 3^{n-1}. \]
Resolução
Uma sucessão é uma progressão geométrica se cada termo se obtém do anterior multiplicando sempre pelo mesmo número.
Calculemos os quocientes entre termos consecutivos:
\[ \frac62=3, \]
\[ \frac{18}{6}=3, \]
\[ \frac{54}{18}=3. \]
O quociente é constante e igual a \(3\). Logo, a sucessão é uma progressão geométrica.
O primeiro termo é
\[ a_1=2, \]
e a razão é
\[ q=3. \]
O termo geral de uma progressão geométrica é
\[ a_n=a_1q^{n-1}. \]
Substituindo \(a_1=2\) e \(q=3\), obtemos
\[ a_n=2\cdot 3^{n-1}. \]
Verifiquemos nos primeiros termos:
\[ a_1=2\cdot 3^0=2, \]
\[ a_2=2\cdot 3^1=6, \]
\[ a_3=2\cdot 3^2=18. \]
A fórmula é, portanto, coerente com os termos dados.
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Estudar o sinal da sucessão
\[ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}, \qquad n\ge 1. \]
Averiguar se é positiva, negativa ou de sinal alternado.
Resultado
A sucessão é de sinal alternado. Os termos de índice ímpar são positivos, ao passo que os de índice par são negativos.
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}. \]
O factor
\[ \frac{n}{n+1} \]
é sempre positivo, porque \(n\ge 1\) e \(n+1>0\). Logo, o sinal de \(a_n\) depende unicamente do factor
\[ (-1)^{n+1}. \]
Se \(n\) é ímpar, então \(n+1\) é par. Por conseguinte,
\[ (-1)^{n+1}=1. \]
Neste caso
\[ a_n=\frac{n}{n+1}>0. \]
Se, pelo contrário, \(n\) é par, então \(n+1\) é ímpar. Por conseguinte,
\[ (-1)^{n+1}=-1. \]
Neste caso
\[ a_n=-\frac{n}{n+1}<0. \]
Calculemos os primeiros termos:
\[ a_1=\frac12, \]
\[ a_2=-\frac23, \]
\[ a_3=\frac34, \]
\[ a_4=-\frac45. \]
Assim, a sucessão é
\[ \frac12,\ -\frac23,\ \frac34,\ -\frac45,\ldots \]
Os termos mudam de sinal a cada passo. Consequentemente, a sucessão é de sinal alternado.
Exercício 17 — nível ★★☆☆☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac1n, \qquad n\ge 1. \]
Indicar que pontos figuram na sua representação gráfica e explicar por que razão o gráfico de uma sucessão não é uma curva contínua.
Resultado
Os primeiros pontos do gráfico são
\[ \left(1,1\right),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
O gráfico não é uma curva contínua porque a sucessão está definida apenas para valores naturais do índice.
Resolução
Uma sucessão real é uma função definida sobre os números naturais.
No nosso caso
\[ a_n=\frac1n. \]
Para a representar graficamente, associamos a cada índice \(n\) o ponto do plano
\[ (n,a_n). \]
Para \(n=1\) obtemos
\[ a_1=1, \]
pelo que o primeiro ponto é
\[ (1,1). \]
Para \(n=2\) obtemos
\[ a_2=\frac12, \]
pelo que o segundo ponto é
\[ \left(2,\frac12\right). \]
Para \(n=3\) obtemos
\[ a_3=\frac13, \]
pelo que o terceiro ponto é
\[ \left(3,\frac13\right). \]
De modo análogo, para \(n=4\) obtemos
\[ \left(4,\frac14\right). \]
Assim, os primeiros pontos do gráfico são
\[ \left(1,1\right),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
O gráfico de uma sucessão não é uma curva contínua, porque o índice \(n\) não assume todos os valores reais, mas apenas valores naturais.
Logo, entre o ponto correspondente a \(n=1\) e o correspondente a \(n=2\) não há pontos da sucessão. A representação gráfica é formada por pontos isolados, e não por uma linha contínua.
Exercício 18 — nível ★★★☆☆
Seja
\[ a_n=(-1)^n, \qquad n\ge 1. \]
Escrever a subsucessão formada pelos termos de índice par e a subsucessão formada pelos termos de índice ímpar.
Resultado
A subsucessão dos índices pares é
\[ a_{2k}=1,\qquad k\ge 1. \]
A subsucessão dos índices ímpares é
\[ a_{2k-1}=-1,\qquad k\ge 1. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=(-1)^n. \]
Os seus primeiros termos são
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Consideremos primeiro os índices pares. Um índice par pode escrever-se na forma
\[ n=2k, \qquad k\ge 1. \]
A subsucessão correspondente é
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}. \]
Como \(2k\) é par, tem-se
\[ (-1)^{2k}=1. \]
Logo,
\[ a_{2k}=1\quad \text{para todo } k\ge 1. \]
A subsucessão dos índices pares é, pois,
\[ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ldots \]
Consideremos agora os índices ímpares. Um índice ímpar pode escrever-se na forma
\[ n=2k-1, \qquad k\ge 1. \]
A subsucessão correspondente é
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}. \]
Como \(2k-1\) é ímpar, tem-se
\[ (-1)^{2k-1}=-1. \]
Logo,
\[ a_{2k-1}=-1\quad \text{para todo } k\ge 1. \]
A subsucessão dos índices ímpares é, pois,
\[ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ldots \]
Este exercício mostra que uma sucessão não constante pode conter subsucessões constantes.
Exercício 19 — nível ★★★☆☆
Seja
\[ a_n=n, \qquad n\ge 1. \]
Averiguar se a lista
\[ a_3,\ a_5,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
pode ser uma subsucessão. Averiguar depois se a lista
\[ a_5,\ a_3,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
pode ser uma subsucessão.
Resultado
A primeira lista pode ser uma subsucessão, porque os índices são estritamente crescentes. A segunda lista não pode ser uma subsucessão, porque os índices não são estritamente crescentes.
Resolução
Uma subsucessão de \((a_n)\) obtém-se escolhendo uma sucessão de índices naturais estritamente crescente
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
A subsucessão é então
\[ a_{n_1},\ a_{n_2},\ a_{n_3},\ldots \]
Consideremos a primeira lista:
\[ a_3,\ a_5,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
Os índices são
\[ 3,\ 5,\ 8,\ 10,\ldots \]
São estritamente crescentes, porque
\[ 3<5<8<10<\cdots. \]
Logo, esta lista pode ser uma subsucessão.
Consideremos agora a segunda lista:
\[ a_5,\ a_3,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
Os índices são
\[ 5,\ 3,\ 8,\ 10,\ldots \]
Esta sucessão de índices não é estritamente crescente, porque
\[ 5>3. \]
Portanto, a segunda lista não pode ser uma subsucessão.
O ponto essencial é que uma subsucessão pode omitir alguns termos da sucessão original, mas não pode alterar a ordem pela qual os termos aparecem.
Exercício 20 — nível ★★★★☆
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n+\frac1n, \qquad n\ge 1. \]
Escrever os primeiros seis termos, averiguar se a sucessão é monótona e mostrar que é limitada.
Resultado
Os primeiros seis termos são
\[ 0,\ \frac32,\ -\frac23,\ \frac54,\ -\frac45,\ \frac76. \]
A sucessão não é monótona. Além disso, é limitada, porque
\[ -1\le a_n\le 2\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Resolução
A sucessão é
\[ a_n=(-1)^n+\frac1n. \]
Calculemos os primeiros seis termos.
Para \(n=1\),
\[ a_1=(-1)^1+\frac11=-1+1=0. \]
Para \(n=2\),
\[ a_2=(-1)^2+\frac12=1+\frac12=\frac32. \]
Para \(n=3\),
\[ a_3=(-1)^3+\frac13=-1+\frac13=-\frac23. \]
Para \(n=4\),
\[ a_4=(-1)^4+\frac14=1+\frac14=\frac54. \]
Para \(n=5\),
\[ a_5=(-1)^5+\frac15=-1+\frac15=-\frac45. \]
Para \(n=6\),
\[ a_6=(-1)^6+\frac16=1+\frac16=\frac76. \]
Assim, os primeiros seis termos são
\[ 0,\ \frac32,\ -\frac23,\ \frac54,\ -\frac45,\ \frac76. \]
Estudemos agora a monotonia. Observemos que
\[ a_1=0 \qquad \text{e} \qquad a_2=\frac32. \]
Logo,
\[ a_1<a_2. \]
Contudo,
\[ a_2=\frac32 \qquad \text{e} \qquad a_3=-\frac23. \]
Logo,
\[ a_2>a_3. \]
A sucessão primeiro aumenta e depois diminui. Por conseguinte, não é crescente.
Além disso, como \(a_1<a_2\), também não é decrescente.
Consequentemente, a sucessão não é monótona.
Demonstremos, por fim, que é limitada.
Sabemos que
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
para todo \(n\ge 1\). Além disso,
\[ 0<\frac1n\le 1. \]
Somando estas relações, obtemos, por um lado,
\[ (-1)^n+\frac1n\ge -1+0=-1. \]
Por outro lado,
\[ (-1)^n+\frac1n\le 1+1=2. \]
Logo,
\[ -1\le a_n\le 2\quad \text{para todo } n\ge 1. \]
Isto demonstra que a sucessão é limitada.
O exercício é instrutivo porque exibe uma sucessão limitada mas não monótona: a limitação e a monotonia são propriedades distintas e independentes.