As sucessões permitem estudar, de forma ordenada e rigorosa, o comportamento de quantidades que dependem de um índice natural.
Em termos intuitivos, uma sucessão é uma lista infinita de números:
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
Contudo, em matemática, uma sucessão não é apenas uma lista escrita por ordem. É uma função definida no conjunto dos números naturais, ou seja, uma lei que associa a cada índice natural \(n\) um número real \(a_n\).
Esta observação é essencial: estudar uma sucessão significa estudar como varia o termo \(a_n\) à medida que \(n\) cresce e, sobretudo, perceber se os seus termos se aproximam de um determinado valor, se permanecem limitados, se oscilam, se crescem indefinidamente ou se não apresentam qualquer comportamento regular.
As sucessões estão na base de conceitos centrais da análise, tais como o limite, a convergência, a divergência, a completude dos números reais, as séries numéricas e muitas propriedades fundamentais das funções.
Nas secções que se seguem introduziremos as sucessões de forma rigorosa, partindo da definição formal e chegando às principais propriedades e exemplos. O objectivo é construir uma base sólida para o estudo posterior dos limites de sucessões e dos resultados fundamentais da análise matemática.
Índice
- Definição de sucessão
- Notação de uma sucessão
- Termo geral de uma sucessão
- Sucessões definidas explicitamente
- Sucessões definidas por recorrência
- Exemplos fundamentais de sucessões
- Sucessões constantes
- Sucessões crescentes e decrescentes
- Sucessões monótonas
- Sucessões majoradas e minoradas
- Sucessões limitadas
- Sucessões positivas, negativas e de sinal alternado
- Sucessões aritméticas
- Sucessões geométricas
- Representação gráfica de uma sucessão
- Diferença entre sucessão e função real de variável real
- Subsucessões
- Primeiras propriedades das sucessões
- Erros frequentes sobre sucessões
Definição de sucessão
Uma sucessão é uma função definida no conjunto dos números naturais.
Mais precisamente, uma sucessão real é uma função
\[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \]
Isto significa que, a cada número natural \(n\in\mathbb N\), a função \(a\) associa um e um só número real, denotado por
\[ a(n). \]
No estudo das sucessões, porém, recorre-se quase sempre à notação com índice. Em vez de escrever \(a(n)\), escreve-se
\[ a_n. \]
O número \(a_n\) designa-se por termo de ordem \(n\) da sucessão.
Assim, uma sucessão real pode ser encarada como uma lista infinita e ordenada de números reais:
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
É preciso, no entanto, ter atenção: esta lista não é um simples conjunto de números. A ordem dos termos faz parte essencial da sucessão.
Por exemplo, as duas sucessões
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
e
\[ 2,\ 1,\ 4,\ 3,\ldots \]
não são a mesma sucessão, ainda que possam conter os mesmos valores. De facto, o primeiro termo da primeira sucessão é \(1\), ao passo que o primeiro termo da segunda sucessão é \(2\).
Em geral, portanto, uma sucessão não fica determinada apenas pelos valores que toma, mas também pelo modo como esses valores estão associados aos índices naturais.
Se \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) é uma sucessão, ela é frequentemente representada por uma das seguintes notações:
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad (a_n), \qquad \{a_n\}_{n\in\mathbb N}. \]
Utilizaremos principalmente a notação
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Esta notação põe em evidência que a sucessão é o objecto inteiro formado por todos os termos \(a_n\), à medida que \(n\) percorre os números naturais.
É importante distinguir entre a sucessão e o seu termo geral. A sucessão é a função inteira
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}, \]
ao passo que \(a_n\) é apenas o termo que corresponde ao índice \(n\).
Por exemplo, se
\[ a_n=\frac1n, \]
então a sucessão é
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
e o termo geral é
\[ a_n=\frac1n. \]
Em conclusão, uma sucessão real é uma função que associa a cada índice natural um número real. A escrita com índices permite estudar o comportamento dos termos à medida que \(n\) cresce, que é o ponto de partida para a teoria dos limites de sucessões.
Notação de uma sucessão
Depois de ter definido uma sucessão como uma função sobre os números naturais, importa fixar algumas convenções de notação.
Uma sucessão representa-se habitualmente por
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Esta escrita significa que estamos a considerar todos os termos \(a_n\), à medida que o índice \(n\) percorre o conjunto \(\mathbb N\).
Em muitos textos, porém, o conjunto dos números naturais pode ser definido de duas maneiras distintas:
\[ \mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\} \]
ou então
\[ \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}. \]
Por este motivo, quando se trabalha com sucessões, é muitas vezes necessário especificar a partir de que índice começa a sucessão.
Se a sucessão começa em \(0\), escreve-se
\[ (a_n)_{n\ge 0}. \]
Neste caso, os termos são
\[ a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots \]
Se, pelo contrário, a sucessão começa em \(1\), escreve-se
\[ (a_n)_{n\ge 1}. \]
Neste caso, os termos são
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots \]
Ambas as convenções são correctas. A escolha do índice inicial não altera a natureza da sucessão, mas pode alterar a escrita dos seus termos.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
não pode ser considerada para \(n=0\), porque \(\displaystyle \frac{1}{0}\) não está definido. Neste caso, é natural escrever
\[ (a_n)_{n\ge 1}. \]
Em contrapartida, a sucessão
\[ b_n=\frac{1}{n+1} \]
pode ser considerada para \(n\ge 0\). Nesse caso, obtém-se
\[ b_0=1,\qquad b_1=\frac12,\qquad b_2=\frac13,\qquad b_3=\frac14,\ldots \]
As duas sucessões
\[ (a_n)_{n\ge 1}, \qquad (b_n)_{n\ge 0} \]
têm os mesmos valores pela mesma ordem, mas estão indexadas de modo diferente.
Em geral, quando não há ambiguidades, pode escrever-se simplesmente
\[ (a_n). \]
Todavia, nas definições e nas demonstrações, indicar claramente o conjunto dos índices evita erros e ambiguidades.
Utilizaremos principalmente sucessões indexadas por \(n\ge 1\), salvo indicação em contrário.
Termo geral de uma sucessão
O termo geral de uma sucessão é a expressão que descreve o termo \(a_n\) em função do índice \(n\).
Por exemplo, se
\[ a_n=\frac{n+1}{n}, \]
então o termo geral da sucessão é
\[ \frac{n+1}{n}. \]
Substituindo \(n\) pelos valores \(1,2,3,4,\ldots\), obtêm-se os termos da sucessão:
\[ a_1=2,\qquad a_2=\frac32,\qquad a_3=\frac43,\qquad a_4=\frac54,\ldots \]
Logo, a sucessão é
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54,\ldots \]
O termo geral permite calcular qualquer termo da sucessão, desde que o índice considerado pertença ao conjunto dos índices em que a sucessão está definida.
Esta precisão é importante. Não basta escrever uma fórmula: é preciso também estabelecer para que valores de \(n\) essa fórmula tem significado.
Por exemplo, a expressão
\[ a_n=\frac{1}{n-3} \]
não define uma sucessão para todos os índices \(n\ge 1\), porque para \(n=3\) o denominador anula-se.
Para obter uma sucessão real, é preciso, então, restringir o conjunto dos índices, pondo, por exemplo,
\[ n\ge 4. \]
Nesse caso, obtém-se a sucessão
\[ a_4=1,\qquad a_5=\frac12,\qquad a_6=\frac13,\qquad a_7=\frac14,\ldots \]
Um erro frequente consiste em confundir o termo geral com a própria sucessão. O termo geral \(a_n\) é um único termo que varia com \(n\); a sucessão \((a_n)\), pelo contrário, é o objecto inteiro formado por todos os termos.
Por exemplo, na sucessão
\[ a_n=n^2+1, \]
o termo geral é \(n^2+1\), ao passo que os primeiros termos são
\[ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ldots \]
Conhecer o termo geral é muitas vezes a forma mais simples de estudar as propriedades da sucessão: monotonia, limitação, sinal dos termos e comportamento para valores grandes do índice.
Sucessões definidas explicitamente
Diz-se que uma sucessão está definida explicitamente quando o seu termo geral é dado directamente por uma fórmula em função do índice \(n\).
Por outras palavras, uma sucessão está definida explicitamente quando podemos escrever
\[ a_n=f(n), \]
onde \(f\) é uma certa expressão que depende de \(n\).
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=2n+1 \]
está definida explicitamente. De facto, substituindo \(n\) pelos valores \(1,2,3,\ldots\), obtemos directamente os seus termos:
\[ a_1=3,\qquad a_2=5,\qquad a_3=7,\qquad a_4=9,\ldots \]
Logo, a sucessão é
\[ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ldots \]
Também a sucessão
\[ b_n=\frac{n}{n+1} \]
está definida explicitamente. Os seus primeiros termos são
\[ b_1=\frac12,\qquad b_2=\frac23,\qquad b_3=\frac34,\qquad b_4=\frac45,\ldots \]
Neste caso, a fórmula permite calcular de imediato qualquer termo da sucessão.
Por exemplo, o centésimo termo é
\[ b_{100}=\frac{100}{101}. \]
Esta é uma característica importante das sucessões definidas explicitamente: para encontrar um termo não é necessário conhecer os termos anteriores.
Consideremos agora a sucessão
\[ c_n=(-1)^n. \]
Se \(n\ge 1\), os primeiros termos são
\[ c_1=-1,\qquad c_2=1,\qquad c_3=-1,\qquad c_4=1,\ldots \]
Assim, a sucessão é
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Este exemplo mostra que uma fórmula explícita pode descrever também sucessões que não são crescentes nem decrescentes, mas oscilantes.
Em geral, as sucessões definidas explicitamente são particularmente cómodas, porque permitem estudar as propriedades da sucessão directamente a partir da fórmula do termo geral.
Por exemplo, a partir da fórmula
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
vê-se que os termos são positivos e se tornam cada vez mais pequenos à medida que \(n\) cresce:
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Em contrapartida, a partir da fórmula
\[ a_n=n^2 \]
vê-se que os termos crescem indefinidamente:
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots \]
Convém, no entanto, recordar que uma fórmula explícita só define uma sucessão real se tiver significado para todos os índices considerados.
Por exemplo, a fórmula
\[ a_n=\sqrt{n-5} \]
não define uma sucessão real para todos os índices \(n\ge 1\), porque para \(n=1,2,3,4\) a quantidade \(n-5\) é negativa.
Para obter uma sucessão real, podemos considerá-la a partir de \(n=5\):
\[ (a_n)_{n\ge 5}, \qquad a_n=\sqrt{n-5}. \]
Desta forma, todos os termos são números reais:
\[ a_5=0,\qquad a_6=1,\qquad a_7=\sqrt2,\qquad a_8=\sqrt3,\ldots \]
Assim, quando uma sucessão está definida explicitamente, é preciso verificar sempre dois aspectos:
- a fórmula do termo geral;
- o conjunto dos índices para os quais a fórmula está definida.
Uma vez fixados estes dois elementos, a sucessão fica completamente determinada.
Sucessões definidas por recorrência
Diz-se que uma sucessão está definida por recorrência quando os seus termos não são dados directamente por uma fórmula explícita em função de \(n\), mas são determinados a partir de um ou mais termos anteriores.
Neste caso, para definir a sucessão, não basta indicar uma relação entre os termos: é preciso também especificar pelo menos um termo inicial.
Por exemplo, consideremos a sucessão definida por
\[ a_1=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
O primeiro termo é \(a_1=2\). A relação de recorrência diz que cada termo seguinte se obtém somando \(3\) ao termo anterior.
Obtemos, então,
\[ a_2=a_1+3=5, \]
\[ a_3=a_2+3=8, \]
\[ a_4=a_3+3=11. \]
Logo, a sucessão é
\[ 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots \]
Numa sucessão definida por recorrência, para calcular um termo é muitas vezes necessário conhecer os termos que o precedem.
Consideremos um segundo exemplo:
\[ b_1=1, \qquad b_{n+1}=2b_n \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Neste caso, cada termo seguinte obtém-se multiplicando por \(2\) o termo anterior:
\[ b_2=2b_1=2, \]
\[ b_3=2b_2=4, \]
\[ b_4=2b_3=8. \]
Assim, a sucessão é
\[ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ldots \]
Uma relação de recorrência pode depender também de mais do que um termo anterior. Um exemplo fundamental é a sucessão de Fibonacci:
\[ F_1=1,\qquad F_2=1, \]
\[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Neste caso, cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos anteriores.
De facto:
\[ F_3=F_2+F_1=2, \]
\[ F_4=F_3+F_2=3, \]
\[ F_5=F_4+F_3=5, \]
\[ F_6=F_5+F_4=8. \]
Os primeiros termos são, portanto,
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ldots \]
Este exemplo mostra que, quando a relação de recorrência envolve dois termos anteriores, é necessário especificar dois termos iniciais. Mais geralmente, uma recorrência que depende de \(k\) termos anteriores exige \(k\) condições iniciais.
Importa observar que uma definição recursiva não é automaticamente equivalente a uma fórmula explícita simples. Por vezes é possível encontrar uma fórmula fechada para \(a_n\); outras vezes, a descrição recursiva é a forma mais natural de definir a sucessão.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_1=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \]
pode também ser descrita explicitamente por
\[ a_n=2+3(n-1). \]
De facto, partindo de \(2\), soma-se \(3\) para passar de um termo ao seguinte; ao fim de \(n-1\) passos, somou-se \(3\) exactamente \(n-1\) vezes.
Em conclusão, uma sucessão definida por recorrência fica determinada por:
- um ou mais termos iniciais;
- uma regra que permite construir os termos seguintes.
Sem as condições iniciais, a relação de recorrência não determina uma sucessão única.
Exemplos fundamentais de sucessões
Depois de termos introduzido as sucessões definidas explicitamente e as definidas por recorrência, é útil examinar alguns exemplos fundamentais. Estes exemplos surgem frequentemente no estudo da análise matemática e ajudam a reconhecer os comportamentos mais comuns das sucessões.
Sucessão dos números naturais
A sucessão
\[ a_n=n \]
tem por termos
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
É uma sucessão crescente e os seus termos tornam-se arbitrariamente grandes à medida que \(n\) cresce.
Sucessão dos inversos
A sucessão
\[ a_n=\frac1n \]
tem por termos
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Os seus termos são positivos e tornam-se cada vez mais pequenos. Esta sucessão é um dos exemplos fundamentais de sucessão que se aproxima de \(0\).
Sucessão dos quadrados
A sucessão
\[ a_n=n^2 \]
tem por termos
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots \]
É uma sucessão crescente e os seus termos crescem mais rapidamente do que os da sucessão \(a_n=n\).
Sucessão alternada
A sucessão
\[ a_n=(-1)^n \]
tem por termos, para \(n\ge 1\),
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Os termos não se aproximam de um único valor, antes oscilam continuamente entre \(-1\) e \(1\).
Sucessão harmónica
A sucessão
\[ a_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n \]
é a sucessão das somas parciais da série harmónica.
Os primeiros termos são
\[ a_1=1, \qquad a_2=1+\frac12=\frac32, \]
\[ a_3=1+\frac12+\frac13=\frac{11}{6}, \qquad a_4=1+\frac12+\frac13+\frac14=\frac{25}{12}. \]
Esta sucessão é crescente. Apesar de cada parcela \(\frac1n\) se tornar cada vez mais pequena, as somas parciais continuam a aumentar.
Sucessão geométrica elementar
A sucessão
\[ a_n=2^n \]
tem por termos, para \(n\ge 1\),
\[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \]
Cada termo obtém-se do anterior multiplicando por \(2\). Por esse motivo, é um exemplo de sucessão geométrica.
Sucessão geométrica decrescente
A sucessão
\[ a_n=\left(\frac12\right)^n \]
tem por termos, para \(n\ge 1\),
\[ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \frac1{16},\ldots \]
Cada termo obtém-se do anterior multiplicando por \(\frac12\). Os termos são positivos e aproximam-se progressivamente de \(0\).
Sucessão definida por um quociente
A sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
tem por termos
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
Os termos são todos menores do que \(1\), mas tornam-se cada vez mais próximos de \(1\).
De facto, podemos escrever
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Esta forma mostra claramente que a distância entre \(a_n\) e \(1\) é igual a \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), que se torna cada vez mais pequena à medida que \(n\) cresce.
Sucessão de sinal alternado e amplitude decrescente
A sucessão
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
tem por termos
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Os termos mudam de sinal a cada passo, mas a sua amplitude torna-se cada vez mais pequena.
Em particular, os termos positivos e negativos aproximam-se ambos de \(0\).
Estes exemplos mostram que as sucessões podem ter comportamentos muito diversos: podem crescer, decrescer, oscilar, permanecer limitadas, aproximar-se de um número ou tornar-se arbitrariamente grandes.
Sucessões constantes
Diz-se que uma sucessão é constante se todos os seus termos são iguais a um mesmo número real.
Mais precisamente, uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) é constante se existe um número real \(c\) tal que
\[ a_n=c \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Neste caso, a sucessão é
\[ c,\ c,\ c,\ c,\ldots \]
Por exemplo, a sucessão definida por
\[ a_n=5 \quad \text{para todo o } n\ge 1 \]
é constante, porque cada um dos seus termos é igual a \(5\):
\[ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ldots \]
Também a sucessão
\[ b_n=-2 \quad \text{para todo o } n\ge 1 \]
é constante:
\[ -2,\ -2,\ -2,\ -2,\ldots \]
As sucessões constantes são os exemplos mais simples de sucessões. Não crescem, não decrescem em sentido estrito e não oscilam: todos os termos coincidem.
Do ponto de vista da monotonia, uma sucessão constante é simultaneamente crescente e decrescente, se usarmos as definições não estritas:
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
e
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
De facto, se \(a_n=c\) para todo o \(n\), então
\[ a_n=a_{n+1}=c. \]
Logo, valem simultaneamente tanto \(a_n\le a_{n+1}\) como \(a_n\ge a_{n+1}\).
Uma sucessão constante é também limitada. De facto, se \(a_n=c\) para todo o \(n\), então todos os seus termos coincidem com \(c\), pelo que estão certamente compreendidos, por exemplo, entre \(c-1\) e \(c+1\):
\[ c-1\le a_n\le c+1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Na realidade, o menor dos majorantes do conjunto dos valores tomados pela sucessão é \(c\), e o maior dos minorantes é também \(c\). De facto, o conjunto dos valores tomados é simplesmente
\[ \{c\}. \]
Logo,
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}=c, \qquad \inf\{a_n:n\ge 1\}=c. \]
As sucessões constantes são importantes também por representarem o modelo mais simples de sucessão que permanece sempre igual a um valor fixado.
Sucessões crescentes e decrescentes
Uma sucessão pode ser estudada comparando cada termo com o termo seguinte. Isto permite perceber se os termos aumentam, diminuem ou não seguem um andamento regular.
Diz-se que uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) é crescente se
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Por outras palavras, cada termo é menor ou igual ao termo seguinte.
Diz-se, por outro lado, que é estritamente crescente se
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Neste caso, cada termo é estritamente menor do que o termo seguinte.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=n \]
é estritamente crescente, porque
\[ a_{n+1}=n+1>n=a_n \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Logo, os seus termos são
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
e aumentam a cada passo.
Diz-se que uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) é decrescente se
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Por outras palavras, cada termo é maior ou igual ao termo seguinte.
Diz-se, por outro lado, que é estritamente decrescente se
\[ a_n>a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Por exemplo, a sucessão
\[ b_n=\frac1n \]
é estritamente decrescente, porque
\[ b_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac1n=b_n \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
De facto, os seus termos são
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
e tornam-se cada vez mais pequenos.
Nem todas as sucessões são crescentes ou decrescentes. Por exemplo, a sucessão
\[ c_n=(-1)^n \]
tem por termos
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
e, portanto, não é nem crescente nem decrescente.
De facto, de \(c_1=-1\) para \(c_2=1\) a sucessão aumenta, ao passo que de \(c_2=1\) para \(c_3=-1\) diminui.
Para averiguar se uma sucessão é crescente ou decrescente, um método muito utilizado consiste em estudar o sinal da diferença
\[ a_{n+1}-a_n. \]
Se
\[ a_{n+1}-a_n\ge 0 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
então a sucessão é crescente.
Se, pelo contrário,
\[ a_{n+1}-a_n\le 0 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
então a sucessão é decrescente.
Por exemplo, consideremos
\[ a_n=n^2. \]
Calculemos:
\[ a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2. \]
Desenvolvendo,
\[ (n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1. \]
Como
\[ 2n+1>0 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
a sucessão \((n^2)_{n\ge 1}\) é estritamente crescente.
Outro método, útil quando os termos são positivos, consiste em estudar o quociente
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}. \]
Se \(a_n>0\) para todo o \(n\) e
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
então a sucessão é crescente.
Se, pelo contrário, \(a_n>0\) para todo o \(n\) e
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
então a sucessão é decrescente.
Por exemplo, consideremos
\[ a_n=\left(\frac12\right)^n. \]
Como \(a_n>0\) para todo o \(n\ge 1\), podemos estudar o quociente:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{\left(\frac12\right)^n} = \frac12. \]
Visto que
\[ \frac12<1, \]
a sucessão é estritamente decrescente.
Importa recordar que uma sucessão crescente não tem necessariamente de crescer de forma ilimitada. Por exemplo,
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
é crescente, mas todos os seus termos são menores do que \(1\):
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
Analogamente, uma sucessão decrescente não tem necessariamente de se tornar arbitrariamente negativa. Por exemplo,
\[ b_n=\frac1n \]
é decrescente, mas todos os seus termos são positivos.
Sucessões monótonas
Diz-se que uma sucessão é monótona se mantém sempre o mesmo sentido de variação: ou nunca diminui, ou nunca aumenta.
Mais precisamente, diz-se que uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) é monótona se é crescente ou decrescente.
Logo, uma sucessão é monótona se se verifica uma das duas condições seguintes:
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
ou então
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
No primeiro caso, a sucessão é crescente; no segundo caso, é decrescente.
Se, pelo contrário, se verifica
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
a sucessão é estritamente crescente. Se se verifica
\[ a_n>a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
a sucessão é estritamente decrescente.
Uma sucessão estritamente crescente ou estritamente decrescente diz-se estritamente monótona.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=3n+1 \]
é estritamente crescente, porque
\[ a_{n+1}=3(n+1)+1=3n+4 \]
e, portanto,
\[ a_{n+1}-a_n=(3n+4)-(3n+1)=3>0 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Logo,
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
e a sucessão é estritamente crescente.
Consideremos, em contrapartida, a sucessão
\[ b_n=\frac{1}{n+2}. \]
Os seus primeiros termos são
\[ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ \frac16,\ldots \]
Visto que, à medida que \(n\) cresce, o denominador aumenta, os termos tornam-se mais pequenos.
De facto,
\[ b_{n+1}=\frac{1}{n+3} \]
e, como
\[ n+3>n+2 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
tem-se
\[ \frac{1}{n+3}<\frac{1}{n+2}. \]
Logo,
\[ b_{n+1}<b_n \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
ou seja, a sucessão é estritamente decrescente.
Nem toda a sucessão é monótona. Por exemplo, a sucessão
\[ c_n=(-1)^n \]
não é monótona, porque os seus termos são
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
e, portanto, a sucessão primeiro aumenta, depois diminui, depois aumenta de novo.
De facto,
\[ c_1=-1<1=c_2, \]
mas
\[ c_2=1>-1=c_3. \]
Logo, não é nem crescente nem decrescente.
A monotonia é uma propriedade importante porque impõe uma ordem global aos termos da sucessão. Se uma sucessão é crescente, nenhum termo seguinte pode descer abaixo dos anteriores; se é decrescente, nenhum termo seguinte pode subir acima dos anteriores.
Por exemplo, se \((a_n)\) é crescente, então
\[ a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le a_{n+1}\le \cdots. \]
Se, pelo contrário, \((a_n)\) é decrescente, então
\[ a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n\ge a_{n+1}\ge \cdots. \]
Esta estrutura ordenada torna as sucessões monótonas particularmente importantes no estudo dos limites. De facto, uma sucessão monótona e limitada tem sempre limite real: este resultado, conhecido como teorema da convergência das sucessões monótonas, será um dos pontos centrais no estudo posterior das sucessões.
Sucessões majoradas e minoradas
Uma sucessão pode também ser estudada do ponto de vista dos valores que os seus termos podem tomar. Em particular, importa perceber se os termos permanecem sempre abaixo de um certo número ou sempre acima de um certo número.
Seja \((a_n)_{n\ge 1}\) uma sucessão real. Diz-se que \((a_n)\) é majorada se existe um número real \(M\) tal que
\[ a_n\le M \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
O número \(M\) chama-se majorante da sucessão.
De modo análogo, diz-se que \((a_n)\) é minorada se existe um número real \(m\) tal que
\[ m\le a_n \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
O número \(m\) chama-se minorante da sucessão.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
é majorada. De facto,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Logo, \(1\) é um majorante da sucessão.
Observemos, porém, que \(1\) não é o único majorante. Também \(2\), \(10\), \(100\) são majorantes, porque todos os termos da sucessão são menores do que \(1\) e, por isso, são certamente menores também do que \(2\), \(10\), \(100\).
Em geral, se \(M\) é um majorante de uma sucessão, então qualquer número maior do que \(M\) é ainda um majorante.
A mesma sucessão é também minorada. De facto, para todo o \(n\ge 1\),
\[ \frac{n}{n+1}>0. \]
Logo, \(0\) é um minorante da sucessão.
Também neste caso o minorante não é único: qualquer número menor ou igual a \(0\) é um minorante.
Consideremos agora a sucessão
\[ b_n=n. \]
Ela é minorada, porque
\[ 1\le n \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Logo, \(1\) é um minorante.
Contudo, a sucessão não é majorada. De facto, não existe nenhum número real \(M\) tal que
\[ n\le M \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Qualquer que seja o número real \(M\) que se escolha, existe sempre um índice natural \(n\) tal que
\[ n>M. \]
Logo, os termos da sucessão ultrapassam qualquer limiar fixado.
Consideremos, em contrapartida, a sucessão
\[ c_n=-n. \]
Ela é majorada, porque
\[ -n\le -1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Logo, \(-1\) é um majorante.
Contudo, não é minorada: de facto, os seus termos tornam-se cada vez mais negativos e descem abaixo de qualquer número real fixado.
Em símbolos, para todo o \(m\in\mathbb R\) existe um índice natural \(n\) tal que
\[ -n<m. \]
Logo, não existe um minorante real para a sucessão \((-n)_{n\ge 1}\).
Importa distinguir entre o facto de uma sucessão ser majorada ou minorada e o facto de ser crescente ou decrescente.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
é crescente, mas é majorada por \(1\). Logo, uma sucessão crescente não tem necessariamente de crescer sem limite.
Analogamente, a sucessão
\[ b_n=\frac1n \]
é decrescente, mas é minorada por \(0\). Logo, uma sucessão decrescente não tem necessariamente de se tornar arbitrariamente negativa.
Do ponto de vista conjuntista, dizer que uma sucessão é majorada equivale a dizer que o conjunto dos seus valores
\[ \{a_n:n\ge 1\} \]
é um subconjunto de \(\mathbb R\) majorado.
Analogamente, dizer que uma sucessão é minorada equivale a dizer que o conjunto
\[ \{a_n:n\ge 1\} \]
é minorado.
Esta observação permite ligar o estudo das sucessões à teoria do supremo e do ínfimo.
Se uma sucessão é majorada, o conjunto dos seus valores admite supremo:
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}. \]
Se uma sucessão é minorada, o conjunto dos seus valores admite ínfimo:
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}. \]
Por exemplo, para a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
o conjunto dos valores é
\[ \left\{\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\ldots\right\}. \]
Ele é majorado e o seu supremo é \(1\), ainda que \(1\) não seja um termo da sucessão.
De facto,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
mas os termos aproximam-se cada vez mais de \(1\).
Sucessões limitadas
Diz-se que uma sucessão é limitada se é simultaneamente majorada e minorada.
Mais precisamente, uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) é limitada se existem dois números reais \(m\) e \(M\) tais que
\[ m\le a_n\le M \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
O número \(m\) é um minorante da sucessão e \(M\) é um majorante.
De modo equivalente, uma sucessão é limitada se todos os seus termos permanecem contidos num intervalo fechado e limitado:
\[ a_n\in [m,M] \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
é limitada. De facto, para todo o \(n\ge 1\), tem-se
\[ 0<\frac1n\le 1. \]
Logo, todos os termos da sucessão estão compreendidos entre \(0\) e \(1\):
\[ 0\le a_n\le 1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Observemos que \(0\) é um minorante, mas não é um termo da sucessão. De facto, não existe nenhum \(n\ge 1\) tal que
\[ \frac1n=0. \]
Isto mostra que um minorante ou um majorante não tem necessariamente de ser tomado pela sucessão.
Também a sucessão
\[ b_n=(-1)^n \]
é limitada. De facto, os seus termos são apenas \(-1\) e \(1\):
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Logo,
\[ -1\le b_n\le 1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Neste caso, tanto o minorante \(-1\) como o majorante \(1\) são também valores efectivamente tomados pela sucessão.
A sucessão
\[ c_n=n \]
não é, pelo contrário, limitada. De facto, é minorada, porque
\[ 1\le n \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
mas não é majorada.
Para todo o \(M\in\mathbb R\), é possível escolher um índice natural \(n\) tal que
\[ n>M. \]
Logo, não existe um número real \(M\) capaz de majorar todos os termos da sucessão.
Analogamente, a sucessão
\[ d_n=-n \]
não é limitada, porque é majorada mas não é minorada.
Outra caracterização muito utilizada da limitação é a que recorre ao valor absoluto.
Uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) é limitada se e só se existe um número real \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Esta condição significa que todos os termos da sucessão pertencem ao intervalo
\[ [-K,K]. \]
De facto, da desigualdade
\[ |a_n|\le K \]
decorre que
\[ -K\le a_n\le K \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Reciprocamente, se existem \(m,M\in\mathbb R\) tais que
\[ m\le a_n\le M \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
então basta escolher
\[ K=\max\{|m|,|M|\}. \]
Desta forma, obtém-se
\[ |a_n|\le K \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Esta forma é muitas vezes mais cómoda nas demonstrações, porque resume numa única desigualdade o controlo superior e inferior dos termos.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
é limitada, porque
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n \le 1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Logo, podemos escolher \(K=1\) e concluir que
\[ |a_n|\le 1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
A limitação é uma propriedade essencial no estudo das sucessões. Por si só, não garante a existência do limite: por exemplo, \((-1)^n\) é limitada mas não se aproxima de um único valor.
Contudo, combinada com outras propriedades, como a monotonia, torna-se extremamente poderosa. Em particular, toda a sucessão monótona e limitada converge para um número real.
Sucessões positivas, negativas e de sinal alternado
Outro aspecto importante no estudo de uma sucessão é o sinal dos seus termos. Em particular, pode ser útil estabelecer se os termos são sempre positivos, sempre negativos ou se mudam de sinal ao variar o índice.
Diz-se que uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) é positiva se
\[ a_n\ge 0 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Se, pelo contrário,
\[ a_n>0 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
diz-se que a sucessão é estritamente positiva.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac1n \]
é estritamente positiva, porque
\[ \frac1n>0 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Diz-se que uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) é negativa se
\[ a_n\le 0 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Se, pelo contrário,
\[ a_n<0 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
diz-se que a sucessão é estritamente negativa.
Por exemplo, a sucessão
\[ b_n=-n \]
é estritamente negativa, porque
\[ -n<0 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Uma sucessão pode também conter tanto termos positivos como termos negativos. Um caso particularmente importante é o das sucessões de sinal alternado.
Diz-se que uma sucessão é de sinal alternado quando os seus termos mudam de sinal a cada passo, passando de positivo a negativo ou de negativo a positivo.
O exemplo fundamental é
\[ a_n=(-1)^n. \]
Para \(n\ge 1\), os seus termos são
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
De facto, quando \(n\) é ímpar, \((-1)^n=-1\); quando \(n\) é par, \((-1)^n=1\).
Se, em vez disso, considerarmos a sucessão
\[ b_n=(-1)^{n+1}, \]
os termos são
\[ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ldots \]
Neste caso, o primeiro termo é positivo, porque
\[ b_1=(-1)^2=1. \]
As potências de \(-1\) são, portanto, um instrumento padrão para construir sucessões de sinal alternado.
Por exemplo, a sucessão
\[ c_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
tem por termos
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Ela muda de sinal a cada passo, mas a amplitude dos termos diminui.
De facto,
\[ |c_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n. \]
O estudo do sinal é útil porque muitas propriedades das sucessões dependem do facto de os termos serem positivos, negativos ou alternados.
Por exemplo, quando uma sucessão tem termos positivos, é muitas vezes possível estudar a monotonia através do quociente
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}. \]
Este método exige atenção: o quociente é particularmente eficaz quando os termos são estritamente positivos, pois nesse caso o sinal não altera o sentido das desigualdades.
Em contrapartida, nas sucessões de sinal alternado, o estudo da monotonia deve ser conduzido com maior cautela. Por exemplo, a sucessão
\[ \frac{(-1)^n}{n} \]
não é monótona, porque os seus termos passam continuamente de negativos a positivos.
Todavia, a sucessão dos valores absolutos
\[ \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n \]
é estritamente decrescente.
Este exemplo mostra uma distinção importante: uma sucessão pode não ser monótona, mas a sucessão dos seus valores absolutos pode sê-lo.
Sucessões aritméticas
Uma sucessão aritmética (ou progressão aritmética) é uma sucessão em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante.
Mais precisamente, uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) é aritmética se existe um número real \(d\) tal que
\[ a_{n+1}-a_n=d \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
O número \(d\) chama-se razão da sucessão aritmética.
Equivalentemente, uma sucessão aritmética pode ser definida por recorrência, pondo
\[ a_{n+1}=a_n+d \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Isto significa que cada termo se obtém do anterior somando sempre o mesmo número \(d\).
Por exemplo, a sucessão
\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
é aritmética, porque a diferença entre dois termos consecutivos é sempre \(4\):
\[ 7-3=4,\qquad 11-7=4,\qquad 15-11=4. \]
Neste caso, a razão é
\[ d=4. \]
Se o primeiro termo é \(a_1\) e a razão é \(d\), então o termo geral da sucessão aritmética é
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
De facto, para passar de \(a_1\) a \(a_n\), é preciso somar \(d\) exactamente \(n-1\) vezes:
\[ a_2=a_1+d, \]
\[ a_3=a_1+2d, \]
\[ a_4=a_1+3d, \]
e, em geral,
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Por exemplo, na sucessão
\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
temos \(a_1=3\) e \(d=4\). Logo,
\[ a_n=3+(n-1)4. \]
Simplificando,
\[ a_n=4n-1. \]
De facto:
\[ a_1=4\cdot 1-1=3, \]
\[ a_2=4\cdot 2-1=7, \]
\[ a_3=4\cdot 3-1=11. \]
O sinal da razão determina o andamento da sucessão.
- Se \(d>0\), a sucessão é estritamente crescente.
- Se \(d=0\), a sucessão é constante.
- Se \(d<0\), a sucessão é estritamente decrescente.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=2+5(n-1) \]
é estritamente crescente, porque a sua razão é \(d=5>0\).
A sucessão
\[ b_n=6 \]
é aritmética de razão \(d=0\), pelo que é constante.
A sucessão
\[ c_n=10-3(n-1) \]
é estritamente decrescente, porque a sua razão é \(d=-3<0\).
As sucessões aritméticas são, portanto, o modelo mais simples de sucessões com crescimento ou decrescimento linear: a cada passo, a variação é sempre a mesma.
Sucessões geométricas
Uma sucessão geométrica (ou progressão geométrica) é uma sucessão em que cada termo se obtém do anterior multiplicando sempre pelo mesmo número.
Mais precisamente, uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) é geométrica se existe um número real \(q\) tal que
\[ a_{n+1}=q\,a_n \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
O número \(q\) chama-se razão da sucessão geométrica.
Se \(a_n\neq 0\) para todo o \(n\ge 1\), a razão pode obter-se a partir do quociente entre dois termos consecutivos:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=q \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Por exemplo, a sucessão
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]
é geométrica, porque cada termo se obtém do anterior multiplicando por \(2\):
\[ 6=2\cdot 3, \qquad 12=2\cdot 6, \qquad 24=2\cdot 12. \]
Neste caso, a razão é
\[ q=2. \]
Se o primeiro termo é \(a_1\) e a razão é \(q\), então o termo geral da sucessão geométrica é
\[ a_n=a_1 q^{\,n-1}. \]
De facto:
\[ a_2=a_1q, \]
\[ a_3=a_2q=a_1q^2, \]
\[ a_4=a_3q=a_1q^3, \]
e, em geral,
\[ a_n=a_1q^{\,n-1}. \]
Por exemplo, na sucessão
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]
temos \(a_1=3\) e \(q=2\). Logo,
\[ a_n=3\cdot 2^{n-1}. \]
De facto:
\[ a_1=3\cdot 2^0=3, \]
\[ a_2=3\cdot 2^1=6, \]
\[ a_3=3\cdot 2^2=12. \]
Consideremos agora a sucessão
\[ b_n=\left(\frac12\right)^{n-1}. \]
Os seus primeiros termos são
\[ 1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ldots \]
Também esta é uma sucessão geométrica, de primeiro termo \(b_1=1\) e razão
\[ q=\frac12. \]
De facto, cada termo se obtém do anterior multiplicando por \(\displaystyle \frac12\).
O comportamento de uma sucessão geométrica depende de forma essencial da razão \(q\).
Suponhamos, por simplicidade, que \(a_1>0\). Então:
- se \(q>1\), a sucessão é estritamente crescente e os seus termos tornam-se cada vez maiores;
- se \(q=1\), a sucessão é constante;
- se \(0<q<1\), a sucessão é estritamente decrescente e os seus termos aproximam-se de \(0\);
- se \(q=0\), todos os termos a partir do segundo são iguais a \(0\);
- se \(q<0\), os termos mudam de sinal a cada passo.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=2^n \]
é geométrica de razão \(q=2\). Os seus termos são
\[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \]
e crescem rapidamente.
Em contrapartida, a sucessão
\[ b_n=\left(\frac13\right)^n \]
é geométrica de razão
\[ q=\frac13. \]
Os seus termos são
\[ \frac13,\ \frac19,\ \frac1{27},\ \frac1{81},\ldots \]
e tornam-se cada vez mais pequenos.
Um exemplo com razão negativa é
\[ c_n=(-2)^n. \]
Para \(n\ge 1\), os primeiros termos são
\[ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ldots \]
A sucessão é geométrica de razão \(q=-2\). Os termos mudam de sinal a cada passo e o seu valor absoluto cresce.
Consideremos, por fim, a sucessão
\[ d_n=\left(-\frac12\right)^n. \]
Os seus primeiros termos são
\[ -\frac12,\ \frac14,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ldots \]
Neste caso, a razão é
\[ q=-\frac12. \]
Os termos mudam de sinal a cada passo, mas o seu valor absoluto torna-se cada vez mais pequeno.
As sucessões geométricas são fundamentais porque descrevem processos em que a variação não é constante em valor absoluto, mas é proporcional ao termo anterior. Por esse motivo, surgem naturalmente em muitos contextos: crescimento exponencial, decaimento, juros compostos e estudo das séries geométricas.
Representação gráfica de uma sucessão
Uma sucessão real \((a_n)_{n\ge 1}\) pode ser representada graficamente no plano cartesiano, associando a cada índice \(n\) o termo correspondente \(a_n\).
Por outras palavras, à sucessão \((a_n)_{n\ge 1}\) associamos os pontos
\[ (1,a_1),\ (2,a_2),\ (3,a_3),\ldots,\ (n,a_n),\ldots \]
O gráfico de uma sucessão é, portanto, o conjunto dos pontos
\[ \{(n,a_n):n\ge 1\}. \]
Importa observar uma diferença importante relativamente ao gráfico de uma função real de variável real. Uma sucessão está definida apenas nos índices naturais, pelo que o seu gráfico não é uma curva contínua, mas um conjunto discreto de pontos.
Por exemplo, consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac1n. \]
Os primeiros pontos do seu gráfico são
\[ (1,1),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Estes pontos vão baixando progressivamente e aproximam-se do eixo das abcissas, mas não formam uma curva contínua.
Analogamente, para a sucessão
\[ b_n=(-1)^n \]
os pontos do gráfico são
\[ (1,-1),\ (2,1),\ (3,-1),\ (4,1),\ldots \]
Neste caso, os pontos oscilam entre as duas rectas horizontais
\[ y=-1 \qquad \text{e} \qquad y=1. \]
A representação gráfica é útil porque permite visualizar algumas propriedades da sucessão.
Se os pontos sobem à medida que o índice cresce, a sucessão pode ser crescente. Se os pontos descem, a sucessão pode ser decrescente. Se os pontos permanecem compreendidos entre duas rectas horizontais, a sucessão pode ser limitada.
Por exemplo, uma sucessão limitada é representada por pontos que permanecem todos no interior de uma faixa horizontal do plano. De facto, se existem \(m,M\in\mathbb R\) tais que
\[ m\le a_n\le M \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
então todos os pontos \((n,a_n)\) se encontram entre as duas rectas horizontais
\[ y=m \qquad \text{e} \qquad y=M. \]
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
é representada por pontos compreendidos entre \(0\) e \(1\), porque
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Além disso, os pontos aproximam-se progressivamente da recta horizontal
\[ y=1. \]
Importa, porém, não confundir o desenho com uma demonstração. O gráfico pode sugerir que uma sucessão seja crescente, limitada ou convergente, mas estas propriedades devem ser verificadas através das definições ou de critérios rigorosos.
Por exemplo, a partir do gráfico da sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
intui-se que os termos aumentam e permanecem abaixo de \(1\). Contudo, para o demonstrar, é preciso verificar as desigualdades.
De facto,
\[ a_{n+1}-a_n = \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}. \]
Desenvolvendo o numerador, obtemos
\[ (n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-n^2-2n=1. \]
Logo,
\[ a_{n+1}-a_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} >0 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
A sucessão é, portanto, estritamente crescente.
Além disso,
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
pelo que é majorada por \(1\).
Em conclusão, o gráfico de uma sucessão é formado por pontos isolados, um para cada índice natural. Trata-se de um instrumento útil para intuir o comportamento da sucessão, mas que não substitui as definições e as demonstrações.
Diferença entre sucessão e função real de variável real
Uma sucessão real é uma função definida sobre os números naturais:
\[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \]
Uma função real de variável real, pelo contrário, é uma função definida num subconjunto de \(\mathbb R\):
\[ f:A\subseteq \mathbb R\to\mathbb R. \]
A diferença principal diz, portanto, respeito ao domínio. No caso de uma sucessão, a variável independente toma apenas valores naturais:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
No caso de uma função real de variável real, pelo contrário, a variável pode tomar valores reais, por exemplo todos os valores de um intervalo.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac1n \]
está definida apenas para \(n\in\mathbb N\), com \(n\ge 1\). Os seus termos são
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
A função
\[ f(x)=\frac1x \]
pode, em contrapartida, ser definida, por exemplo, para todo o \(x>0\). Neste caso, o domínio é o intervalo
\[ (0,+\infty). \]
A sucessão \((a_n)\) pode obter-se avaliando a função \(f(x)=\displaystyle \frac1x\) apenas nos índices naturais:
\[ a_n=f(n)=\frac1n. \]
Todavia, a sucessão e a função não são o mesmo objecto. A função \(f\) está definida também em pontos não naturais, como
\[ x=\frac12,\qquad x=\sqrt2,\qquad x=10{,}7, \]
ao passo que a sucessão considera apenas os valores correspondentes aos índices naturais.
Esta diferença reflecte-se também na representação gráfica.
O gráfico da função
\[ f(x)=\frac1x \]
em \((0,+\infty)\) é uma curva contínua. O gráfico da sucessão
\[ a_n=\frac1n \]
é, pelo contrário, formado apenas pelos pontos
\[ \left(n,\frac1n\right), \qquad n\ge 1. \]
Logo, a sucessão corresponde a uma parte discreta do gráfico da função.
Muitas sucessões podem obter-se restringindo uma função real aos índices naturais. Por exemplo, a partir da função
\[ f(x)=x^2+1 \]
obtém-se a sucessão
\[ a_n=f(n)=n^2+1. \]
Os primeiros termos são
\[ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ldots \]
Não se deve, contudo, pensar que toda a propriedade da função se transfere automaticamente para a sucessão, ou vice-versa.
Por exemplo, uma função pode não ser monótona em todo o seu domínio, mas a sucessão obtida ao avaliá-la nos inteiros naturais pode sê-lo.
Consideremos a função
\[ f(x)=\sin(\pi x). \]
Esta função oscila ao longo do eixo real. Contudo, se a avaliarmos nos inteiros naturais, obtemos
\[ a_n=f(n)=\sin(\pi n)=0 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
A sucessão correspondente é, portanto,
\[ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ldots \]
ou seja, uma sucessão constante.
Reciprocamente, conhecer os valores de uma função apenas nos índices naturais não permite, em geral, reconstruir o comportamento da função em todo o seu domínio.
Por exemplo, duas funções distintas podem tomar os mesmos valores em todos os inteiros naturais, mas comportar-se de modo diferente entre um inteiro e o seguinte.
Esta observação mostra que uma sucessão conserva apenas a informação relativa aos valores tomados nos índices naturais.
Em resumo:
- uma sucessão real é uma função de \(\mathbb N\) em \(\mathbb R\);
- uma função real de variável real está definida num subconjunto de \(\mathbb R\);
- o gráfico de uma sucessão é discreto;
- o gráfico de uma função real pode ser uma curva contínua;
- uma sucessão pode muitas vezes obter-se avaliando uma função real nos índices naturais, mas continua a ser um objecto distinto.
Subsucessões
Uma subsucessão é uma sucessão obtida escolhendo alguns termos de uma sucessão dada, sem alterar a sua ordem.
Seja \((a_n)_{n\ge 1}\) uma sucessão real. Uma subsucessão de \((a_n)\) é uma sucessão da forma
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
onde \((n_k)_{k\ge 1}\) é uma sucessão estritamente crescente de índices naturais, ou seja,
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots<n_k<n_{k+1}<\cdots. \]
A condição sobre os índices é fundamental: para construir uma subsucessão podem eliminar-se alguns termos da sucessão original, mas não se pode alterar a ordem dos termos que ficam.
Por exemplo, consideremos a sucessão
\[ a_n=n. \]
Os seus termos são
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ldots \]
Se escolhermos apenas os índices pares,
\[ n_k=2k, \]
obtemos a subsucessão
\[ a_{n_k}=a_{2k}=2k. \]
Os seus termos são
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots \]
Se, pelo contrário, escolhermos apenas os índices ímpares,
\[ n_k=2k-1, \]
obtemos a subsucessão
\[ a_{n_k}=a_{2k-1}=2k-1, \]
ou seja,
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ldots \]
Consideremos agora a sucessão alternada
\[ a_n=(-1)^n. \]
Os seus termos são
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Escolhendo os índices pares \(n_k=2k\), obtemos
\[ a_{n_k}=a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Logo, a subsucessão dos índices pares é
\[ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ldots \]
Escolhendo, pelo contrário, os índices ímpares \(n_k=2k-1\), obtemos
\[ a_{n_k}=a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Logo, a subsucessão dos índices ímpares é
\[ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ldots \]
Este exemplo mostra que uma sucessão pode não se aproximar de um único valor, mas possuir subsucessões com comportamentos muito regulares.
Importa distinguir entre o índice \(k\) da subsucessão e o índice \(n_k\) da sucessão original.
Na subsucessão
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
o número \(k\) indica a posição do termo na subsucessão, ao passo que \(n_k\) indica a posição do termo correspondente na sucessão original.
Por exemplo, se
\[ n_k=2k, \]
então:
\[ n_1=2,\qquad n_2=4,\qquad n_3=6,\qquad n_4=8. \]
A subsucessão \((a_{2k})_{k\ge 1}\) toma, portanto, o segundo, o quarto, o sexto, o oitavo termo da sucessão original, e assim sucessivamente.
Nem toda a escolha de termos produz uma subsucessão. Os índices têm de ser estritamente crescentes.
Por exemplo, a escolha
\[ n_1=3,\qquad n_2=1,\qquad n_3=4 \]
não define uma subsucessão, porque os índices não respeitam a ordem natural:
\[ 3>1. \]
Do mesmo modo, não se pode repetir o mesmo índice. A escolha
\[ n_1=2,\qquad n_2=2,\qquad n_3=5 \]
não define uma subsucessão, porque não se verifica
\[ n_1<n_2. \]
Uma propriedade simples mas importante é que, para toda a subsucessão, se tem
\[ n_k\ge k \quad \text{para todo o } k\ge 1. \]
De facto, os índices \(n_k\) são naturais e estritamente crescentes. O primeiro índice é, pelo menos, \(1\); o segundo é, pelo menos, \(2\); o terceiro é, pelo menos, \(3\); e assim sucessivamente.
Esta observação é útil porque mostra que também os índices de uma subsucessão tendem a tornar-se arbitrariamente grandes.
As subsucessões são fundamentais no estudo das sucessões, pois permitem analisar comportamentos parciais da sucessão original.
Por exemplo, uma sucessão pode oscilar, mas algumas das suas subsucessões podem ser constantes, crescentes, decrescentes ou convergentes.
No caso da sucessão
\[ a_n=(-1)^n, \]
a sucessão completa oscila entre \(-1\) e \(1\), ao passo que as duas subsucessões
\[ (a_{2k})_{k\ge 1} \qquad \text{e} \qquad (a_{2k-1})_{k\ge 1} \]
são ambas constantes.
Em geral, se uma sucessão converge para um limite real \(L\), então toda a sua subsucessão converge para o mesmo limite \(L\). O recíproco, pelo contrário, não é verdadeiro em geral: o facto de uma subsucessão convergir não basta para garantir que toda a sucessão convirja.
Por exemplo, a sucessão \((-1)^n\) não converge, mas possui a subsucessão dos índices pares, que converge para \(1\), e a subsucessão dos índices ímpares, que converge para \(-1\).
As subsucessões serão, portanto, um instrumento decisivo no estudo dos limites, dos pontos de acumulação e do teorema de Bolzano-Weierstrass.
Primeiras propriedades das sucessões
As sucessões possuem algumas propriedades gerais que permitem relacionar entre si a monotonia, a limitação, o sinal e as subsucessões. Nesta secção reunimos os primeiros resultados fundamentais, sem ainda entrar na teoria completa dos limites.
Toda a sucessão crescente é minorada
Se uma sucessão \((a_n)_{n\ge 1}\) é crescente, então
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Daqui decorre que cada termo seguinte é maior ou igual ao primeiro termo:
\[ a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le \cdots. \]
Em particular,
\[ a_1\le a_n \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Logo, \(a_1\) é um minorante da sucessão. Portanto, toda a sucessão crescente é minorada.
Atenção: uma sucessão crescente não é necessariamente majorada. Por exemplo,
\[ a_n=n \]
é crescente, mas não é majorada.
Toda a sucessão decrescente é majorada
Se uma sucessão \((a_n)_{n\ge 1}\) é decrescente, então
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Daqui decorre que
\[ a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n\ge \cdots. \]
Em particular,
\[ a_n\le a_1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Logo, \(a_1\) é um majorante da sucessão. Portanto, toda a sucessão decrescente é majorada.
Também neste caso não se verifica automaticamente a outra limitação. Por exemplo,
\[ a_n=-n \]
é decrescente, mas não é minorada.
Uma sucessão monótona pode ser limitada ou ilimitada
A monotonia descreve a ordem dos termos, mas não determina, por si só, a limitação completa da sucessão.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
é crescente e limitada, porque
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Em contrapartida, a sucessão
\[ b_n=n \]
é crescente mas não é majorada.
Analogamente, a sucessão
\[ c_n=\frac1n \]
é decrescente e limitada, porque
\[ 0<\frac1n\le 1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Em contrapartida, a sucessão
\[ d_n=-n \]
é decrescente mas não é minorada.
Toda a subsucessão de uma sucessão limitada é limitada
Seja \((a_n)_{n\ge 1}\) uma sucessão limitada. Então existe um número real \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Consideremos uma sua subsucessão
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}. \]
Visto que cada \(n_k\) é um índice natural, da desigualdade anterior decorre imediatamente que
\[ |a_{n_k}|\le K \quad \text{para todo o } k\ge 1. \]
Logo, também a subsucessão é limitada.
O recíproco não é verdadeiro: uma sucessão pode ter uma subsucessão limitada sem ser limitada.
Por exemplo, consideremos
\[ a_n= \begin{cases} 1, & \text{se } n \text{ é par},\\ n, & \text{se } n \text{ é ímpar}. \end{cases} \]
A subsucessão dos índices pares é constante:
\[ a_{2k}=1 \quad \text{para todo o } k\ge 1. \]
Logo, é limitada. Todavia, a sucessão completa não é majorada, porque nos índices ímpares toma valores arbitrariamente grandes.
Toda a subsucessão de uma sucessão monótona é monótona no mesmo sentido
Seja \((a_n)_{n\ge 1}\) uma sucessão crescente e seja \((a_{n_k})_{k\ge 1}\) uma sua subsucessão.
Visto que os índices da subsucessão são estritamente crescentes, tem-se
\[ n_k<n_{k+1} \quad \text{para todo o } k\ge 1. \]
Como \((a_n)\) é crescente, dos índices ordenados decorre
\[ a_{n_k}\le a_{n_{k+1}} \quad \text{para todo o } k\ge 1. \]
Logo, a subsucessão é crescente.
Do mesmo modo, se \((a_n)\) é decrescente, então toda a sua subsucessão é decrescente. De facto, de
\[ n_k<n_{k+1} \]
decorre
\[ a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}. \]
Assim, as subsucessões conservam o sentido de monotonia da sucessão original.
A limitação não implica a monotonia
Uma sucessão pode ser limitada sem ser monótona.
O exemplo mais simples é
\[ a_n=(-1)^n. \]
De facto,
\[ -1\le a_n\le 1 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
pelo que a sucessão é limitada.
Contudo, não é monótona, porque os seus termos oscilam:
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Uma sucessão limitada pode, portanto, não ter qualquer andamento crescente ou decrescente.
A monotonia e a limitação em conjunto são decisivas
Embora a monotonia, por si só, não garanta a limitação, e a limitação, por si só, não garanta a monotonia, as duas propriedades em conjunto desempenham um papel fundamental.
De facto, um resultado central da análise afirma que toda a sucessão real monótona e limitada converge.
Mais precisamente:
- se \((a_n)\) é crescente e majorada, então converge para o seu supremo;
- se \((a_n)\) é decrescente e minorada, então converge para o seu ínfimo.
Este teorema não é demonstrado nesta secção, mas explica por que motivo as propriedades introduzidas até agora são tão importantes. A monotonia e a limitação estão entre os primeiros instrumentos rigorosos para estabelecer a existência de um limite.
Erros frequentes sobre sucessões
No estudo das sucessões surgem alguns erros muito frequentes. Reconhecê-los é importante, porque muitas dificuldades posteriores sobre limites têm origem precisamente numa compreensão imprecisa das definições iniciais.
Confundir a sucessão com o conjunto dos seus valores
Uma sucessão não é simplesmente o conjunto dos valores que figuram entre os seus termos. Uma sucessão é uma função definida sobre os números naturais, pelo que conta também a ordem pela qual os termos estão dispostos e conta também a sua eventual repetição.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=(-1)^n \]
tem por termos
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
O conjunto dos valores tomados pela sucessão é
\[ \{-1,1\}. \]
Todavia, a sucessão não coincide com o conjunto \(\{-1,1\}\). A sucessão contém infinitas repetições ordenadas dos valores \(-1\) e \(1\), ao passo que o conjunto contém apenas os dois valores distintos.
Confundir o termo geral com a sucessão
O símbolo \(a_n\) indica o termo da sucessão correspondente ao índice \(n\). A escrita \((a_n)_{n\ge 1}\), pelo contrário, indica a sucessão inteira.
Por exemplo, se
\[ a_n=\frac1n, \]
então \(a_n\) é o termo geral, ao passo que
\[ (a_n)_{n\ge 1} \]
é a sucessão inteira
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Dizer que \(a_n=\displaystyle \frac1n\) não significa indicar um único número fixado, mas uma regra que, para cada índice \(n\), produz o termo correspondente.
Não especificar o índice inicial
Um erro frequente consiste em escrever uma fórmula sem indicar para que valores do índice ela define realmente uma sucessão.
Por exemplo,
\[ a_n=\frac1n \]
não pode ser considerada a partir de \(n=0\), porque \(\displaystyle \frac10\) não está definido.
Neste caso, é preciso escrever, por exemplo,
\[ (a_n)_{n\ge 1}, \qquad a_n=\frac1n. \]
Analogamente, a fórmula
\[ b_n=\sqrt{n-4} \]
define uma sucessão real apenas para
\[ n\ge 4. \]
De facto, para \(n<4\), a quantidade \(n-4\) é negativa e, portanto, \(\sqrt{n-4}\) não é um número real.
Pensar que uma sucessão crescente é sempre ilimitada
Uma sucessão crescente não tem necessariamente de crescer sem limite.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
é crescente, mas todos os seus termos são menores do que \(1\):
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Logo, a sucessão é majorada.
A monotonia descreve o sentido de variação dos termos, mas não basta, por si só, para estabelecer se a sucessão é limitada ou ilimitada.
Pensar que uma sucessão limitada é sempre monótona
Também a limitação não implica a monotonia.
A sucessão
\[ a_n=(-1)^n \]
é limitada, porque
\[ -1\le a_n\le 1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Contudo, não é monótona, porque os seus termos oscilam entre \(-1\) e \(1\):
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Logo, uma sucessão pode permanecer sempre dentro de um intervalo limitado sem ser crescente ou decrescente.
Confundir subsucessão e subconjunto de termos
Uma subsucessão não é uma escolha qualquer de termos. Os índices têm de ser estritamente crescentes.
Uma subsucessão de \((a_n)_{n\ge 1}\) tem a forma
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
onde
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
Por exemplo, se se escolhem os índices
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots, \]
obtém-se uma subsucessão. Se, pelo contrário, se escolhem os índices
\[ 3,\ 1,\ 5,\ldots, \]
não se obtém uma subsucessão, porque a ordem dos índices não é respeitada.
Pensar que uma subsucessão descreve sempre toda a sucessão
Uma subsucessão descreve apenas uma parte da sucessão original. Por esse motivo, o comportamento de uma subsucessão não basta, em geral, para determinar o comportamento da sucessão inteira.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=(-1)^n \]
não converge, porque oscila entre \(-1\) e \(1\).
Todavia, a subsucessão dos índices pares é constante:
\[ a_{2k}=1 \quad \text{para todo o } k\ge 1, \]
ao passo que a subsucessão dos índices ímpares é também constante:
\[ a_{2k-1}=-1 \quad \text{para todo o } k\ge 1. \]
Logo, uma sucessão pode ter subsucessões muito regulares sem ter, no seu conjunto, um comportamento único.
Usar o gráfico como se fosse uma demonstração
O gráfico de uma sucessão pode ajudar a intuir o comportamento dos termos, mas não substitui uma demonstração.
Por exemplo, observando o gráfico da sucessão
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
pode intuir-se que ela é crescente e majorada por \(1\). Contudo, para o demonstrar, é preciso verificar as desigualdades:
\[ a_{n+1}-a_n>0 \quad \text{para todo o } n\ge 1, \]
e
\[ a_n<1 \quad \text{para todo o } n\ge 1. \]
Em análise matemática, o desenho sugere, mas a demonstração deve assentar nas definições.
As propriedades introduzidas são a base para o estudo dos limites de sucessões. Em particular, a combinação de monotonia e limitação conduz a um dos primeiros resultados fundamentais da análise: toda a sucessão real monótona e limitada converge.
As sucessões constituem, portanto, uma ponte natural entre a aritmética, a álgebra e a análise: partindo de uma simples lista ordenada de números, chega-se a conceitos profundos como limite, convergência, completude dos números reais e comportamento no infinito.