Nesta página estudaremos as sucessões limitadas, isto é, sucessões cujos termos não podem crescer nem decrescer sem limite, mas permanecem dentro de certos limites numéricos. Veremos a diferença entre as sucessões limitadas superiormente, limitadas inferiormente e limitadas, esclarecendo o significado matemático de cada definição.
O conceito de limitação é fundamental no estudo das sucessões numéricas, pois permite descrever o comportamento global dos termos de uma sucessão, independentemente de esta ser convergente ou divergente.
Ao longo de todo o artigo consideraremos sucessões reais, ou seja, sucessões da forma
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \]
e denotaremos os seus termos por \(a_n\), à medida que \(n\) percorre \(\mathbb{N}\).
Em todo o texto admitimos que \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Índice
- Sucessões limitadas superiormente
- Sucessões limitadas inferiormente
- Sucessões limitadas
- Interpretação gráfica da limitação
- Exemplos de sucessões limitadas e não limitadas
- Primeiras propriedades das sucessões limitadas
- Sucessões convergentes e sucessões limitadas
Sucessões limitadas superiormente
Uma sucessão real \((a_n)\) diz-se limitada superiormente se existe um número real \(M\) tal que todos os termos da sucessão sejam menores ou iguais a \(M\).
Em símbolos:
\[ \exists M\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\le M. \]
O número \(M\) recebe o nome de majorante da sucessão. Dizer que \((a_n)\) é limitada superiormente equivale, portanto, a dizer que o conjunto dos seus termos
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
é um subconjunto de \(\mathbb{R}\) limitado superiormente.
Convém observar que o majorante não tem de ser necessariamente um termo da sucessão. Basta que seja um número real situado acima de todos os termos da sucessão.
Exemplo. Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Como \(n\in\mathbb{N}\), tem-se \(n+1\ge 1\). Em consequência:
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Assim, para todo \(n\in\mathbb{N}\), resulta
\[ a_n\le 1. \]
A sucessão é, pois, limitada superiormente. Por exemplo, \(M=1\) é um majorante.
Contudo, \(1\) não é o único majorante. Também \(2\), \(10\) e, mais geralmente, todo o número real \(M\ge 1\) é um majorante da sucessão.
Atenção. Para demonstrar que uma sucessão é limitada superiormente não é necessário encontrar o menor majorante. Basta encontrar pelo menos um número real \(M\) tal que
\[ a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Pelo contrário, para demonstrar que uma sucessão não é limitada superiormente, há que mostrar que nenhum número real pode ser um majorante. Em símbolos:
\[ \forall M\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}: a_n>M. \]
Esta condição significa que, qualquer que seja o número real \(M\) escolhido, existe pelo menos um termo da sucessão que o supera.
Exemplo de sucessão não limitada superiormente
Consideremos a sucessão
\[ a_n=n. \]
Não é limitada superiormente. Com efeito, fixado um \(M\in\mathbb{R}\) qualquer, podemos escolher um índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n>M. \]
Para tal índice tem-se
\[ a_n=n>M. \]
Logo, nenhum número real \(M\) pode ser um majorante da sucessão \((n)\).
Sucessões limitadas inferiormente
Uma sucessão real \((a_n)\) diz-se limitada inferiormente se existe um número real \(m\) tal que todos os termos da sucessão sejam maiores ou iguais a \(m\).
Em símbolos:
\[ \exists m\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\ge m. \]
O número \(m\) recebe o nome de minorante da sucessão. Dizer que \((a_n)\) é limitada inferiormente equivale, portanto, a dizer que o conjunto dos seus termos
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
é um subconjunto de \(\mathbb{R}\) limitado inferiormente.
Também neste caso, o minorante não tem de ser um termo da sucessão. Basta que seja um número real situado abaixo de todos os termos da sucessão.
Exemplo. Consideremos a sucessão
\[ a_n=n^2+1, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Como \(n^2\ge 0\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ n^2+1\ge 1. \]
Assim, para todo \(n\in\mathbb{N}\), resulta
\[ a_n\ge 1. \]
A sucessão é, pois, limitada inferiormente. Por exemplo, \(m=1\) é um minorante.
Naturalmente, também todo o número real \(m\le 1\) é um minorante da sucessão. Com efeito, se todos os termos são maiores ou iguais a \(1\), então são certamente maiores ou iguais a qualquer número menor do que \(1\).
Observação. Para demonstrar que uma sucessão é limitada inferiormente não é necessário encontrar o maior minorante. Basta encontrar pelo menos um número real \(m\) tal que
\[ a_n\ge m \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por outro lado, para demonstrar que uma sucessão não é limitada inferiormente, há que mostrar que nenhum número real pode ser um minorante. Em símbolos:
\[ \forall m\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}: a_n<m. \]
Esta condição significa que, qualquer que seja o número real \(m\) escolhido, existe pelo menos um termo da sucessão que desce abaixo de \(m\).
Exemplo de sucessão não limitada inferiormente
Consideremos a sucessão
\[ a_n=-n. \]
Não é limitada inferiormente. Com efeito, fixado um \(m\in\mathbb{R}\) qualquer, podemos escolher um índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n>|m|+1. \]
Então \(n>-m\) e, portanto, multiplicando por \(-1\), obtemos
\[ -n<m. \]
Como \(a_n=-n\), segue-se que
\[ a_n<m. \]
Logo, nenhum número real \(m\) pode ser um minorante da sucessão \((-n)\).
Sucessões limitadas
Uma sucessão real \((a_n)\) diz-se limitada se for limitada tanto superiormente como inferiormente.
Por outras palavras, \((a_n)\) é limitada se existem dois números reais \(m\) e \(M\) tais que
\[ m\le a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Em símbolos:
\[ \exists m,M\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad m\le a_n\le M. \]
O número \(m\) é um minorante, ao passo que o número \(M\) é um majorante. A sucessão fica, assim, contida, termo a termo, no intervalo fechado \([m,M]\).
Exemplo. Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ |(-1)^n|=1 \]
e, portanto,
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}. \]
Como \(n+1\ge 1\), segue-se que
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Por conseguinte,
\[ |a_n|\le 1. \]
Da desigualdade \(|a_n|\le 1\) segue-se
\[ -1\le a_n\le 1. \]
A sucessão é, portanto, limitada.
Caracterização por meio do valor absoluto
Uma sucessão real \((a_n)\) é limitada se e só se existe um número real \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Demonstração. Suponhamos, em primeiro lugar, que a sucessão \((a_n)\) é limitada. Então existem \(m,M\in\mathbb{R}\) tais que
\[ m\le a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Consideremos
\[ K=\max\{1,|m|,|M|\}. \]
Como \(m\le a_n\le M\), cada termo \(a_n\) pertence ao intervalo \([m,M]\). Em consequência, o seu valor absoluto é menor ou igual ao maior de \(|m|\) e \(|M|\) e, portanto, também menor ou igual a \(K\). Assim,
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Reciprocamente, suponhamos que existe \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Pela definição de valor absoluto, esta desigualdade equivale a
\[ -K\le a_n\le K. \]
Logo, \(-K\) é um minorante e \(K\) é um majorante da sucessão. A sucessão é, por conseguinte, limitada.
Atenção. Uma sucessão pode ser limitada superiormente sem ser limitada inferiormente, ou limitada inferiormente sem ser limitada superiormente.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=-n \]
é limitada superiormente, porque
\[ -n\le 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), mas não é limitada inferiormente.
Analogamente, a sucessão
\[ b_n=n \]
é limitada inferiormente, porque
\[ n\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), mas não é limitada superiormente.
Portanto, para ser limitada, uma sucessão tem de estar controlada tanto por cima como por baixo.
Interpretação gráfica da limitação
Do ponto de vista gráfico, uma sucessão real \((a_n)\) pode ser representada por meio dos pontos
\[ (n,a_n), \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Nesta representação, o índice \(n\) é colocado no eixo das abcissas, ao passo que o termo \(a_n\) é colocado no eixo das ordenadas.
Dizer que uma sucessão é limitada superiormente significa que todos os seus pontos se encontram numa certa reta horizontal ou abaixo dela.
Com efeito, se existe \(M\in\mathbb{R}\) tal que
\[ a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), então todos os pontos \((n,a_n)\) estão nessa reta ou abaixo da reta horizontal de equação
\[ y=M. \]
Analogamente, dizer que uma sucessão é limitada inferiormente significa que todos os seus pontos se encontram numa certa reta horizontal ou acima dela.
Com efeito, se existe \(m\in\mathbb{R}\) tal que
\[ a_n\ge m \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), então todos os pontos \((n,a_n)\) estão nessa reta ou acima da reta horizontal de equação
\[ y=m. \]
Por fim, dizer que uma sucessão é limitada significa que todos os seus pontos estão compreendidos entre duas retas horizontais.
Mais precisamente, se existem \(m,M\in\mathbb{R}\) tais que
\[ m\le a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), então todos os pontos \((n,a_n)\) estão contidos na faixa horizontal compreendida entre as retas
\[ y=m \qquad \text{e} \qquad y=M. \]
Esta interpretação é útil porque permite visualizar de imediato o significado da limitação: uma sucessão limitada não pode subir indefinidamente para \(+\infty\) nem descer indefinidamente para \(-\infty\).
Exemplos de sucessões limitadas e não limitadas
Vejamos agora alguns exemplos fundamentais, úteis para distinguir corretamente as várias formas de limitação.
Sucessão limitada
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n. \]
Os seus termos tomam apenas os valores \(1\) e \(-1\). Com efeito, para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ (-1)^n\in\{-1,1\}. \]
Em consequência,
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Logo, a sucessão \(((-1)^n)\) é limitada.
Sucessão limitada superiormente mas não inferiormente
Consideremos a sucessão
\[ a_n=-n^2. \]
Como \(n^2\ge 0\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ -n^2\le 0. \]
Assim, \(0\) é um majorante da sucessão e, portanto, \((a_n)\) é limitada superiormente.
Contudo, a sucessão não é limitada inferiormente. Com efeito, fixado um \(m\in\mathbb{R}\) qualquer, podemos escolher \(n\in\mathbb{N}\) suficientemente grande de modo que
\[ n^2>|m|+1. \]
Então \(n^2>-m\) e, portanto, multiplicando por \(-1\), obtemos
\[ -n^2<m. \]
Por conseguinte, existe um termo da sucessão menor do que \(m\). Como isto vale para todo \(m\in\mathbb{R}\), a sucessão não é limitada inferiormente.
Sucessão limitada inferiormente mas não superiormente
Consideremos a sucessão
\[ a_n=n^2. \]
Como
\[ n^2\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), a sucessão é limitada inferiormente. Por exemplo, \(0\) é um minorante.
A sucessão, porém, não é limitada superiormente. Com efeito, fixado um \(M\in\mathbb{R}\) qualquer, podemos escolher \(n\in\mathbb{N}\) suficientemente grande de modo que
\[ n^2>M. \]
Logo, nenhum número real \(M\) pode ser um majorante da sucessão.
Sucessão não limitada nem superiormente nem inferiormente
Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Os termos da sucessão mudam de sinal consoante a paridade de \(n\). Para os índices pares obtêm-se valores positivos cada vez maiores, ao passo que para os índices ímpares se obtêm valores negativos cada vez menores.
A sucessão não é limitada superiormente. Com efeito, escolhido um \(M\in\mathbb{R}\) qualquer, podemos tomar um índice par \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ n>M. \]
Para tal índice, sendo \(n\) par, tem-se \((-1)^n=1\), pelo que
\[ a_n=(-1)^n n=n>M. \]
Logo, nenhum número real \(M\) pode ser um majorante.
Além disso, a sucessão não é limitada inferiormente. Com efeito, escolhido um \(m\in\mathbb{R}\) qualquer, podemos tomar um índice ímpar \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ -n<m. \]
Para tal índice, sendo \(n\) ímpar, tem-se \((-1)^n=-1\), pelo que
\[ a_n=(-1)^n n=-n<m. \]
Logo, nenhum número real \(m\) pode ser um minorante.
A sucessão \(((-1)^n n)\) não é, pois, limitada nem superiormente nem inferiormente.
Primeiras propriedades das sucessões limitadas
As sucessões limitadas gozam de algumas propriedades fundamentais, úteis no estudo das operações entre sucessões e no cálculo de limites.
Nesta secção consideramos sucessões reais definidas em \(\mathbb{N}\).
Soma de sucessões limitadas
Se \((a_n)\) e \((b_n)\) são duas sucessões limitadas, então também a sucessão soma
\[ (a_n+b_n) \]
é limitada.
Com efeito, como \((a_n)\) é limitada, existe \(A>0\) tal que
\[ |a_n|\le A \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Analogamente, como \((b_n)\) é limitada, existe \(B>0\) tal que
\[ |b_n|\le B \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Usando a desigualdade triangular, obtemos
\[ |a_n+b_n|\le |a_n|+|b_n|. \]
Como \(|a_n|\le A\) e \(|b_n|\le B\), segue-se que
\[ |a_n+b_n|\le A+B. \]
Assim, a sucessão \((a_n+b_n)\) é limitada.
Produto de sucessões limitadas
Se \((a_n)\) e \((b_n)\) são duas sucessões limitadas, então também a sucessão produto
\[ (a_n b_n) \]
é limitada.
Com efeito, como \((a_n)\) é limitada, existe \(A>0\) tal que
\[ |a_n|\le A \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Como \((b_n)\) é limitada, existe \(B>0\) tal que
\[ |b_n|\le B \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Então, para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ |a_n b_n|=|a_n||b_n|\le AB. \]
Logo, a sucessão \((a_n b_n)\) é limitada.
Produto de uma sucessão limitada por uma constante
Se \((a_n)\) é uma sucessão limitada e \(c\in\mathbb{R}\), então também a sucessão
\[ (c a_n) \]
é limitada.
Com efeito, como \((a_n)\) é limitada, existe \(A>0\) tal que
\[ |a_n|\le A \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Se \(c=0\), então \(c a_n=0\) para todo \(n\in\mathbb{N}\), e portanto a sucessão \((c a_n)\) é limitada.
Se, pelo contrário, \(c\ne 0\), tem-se
\[ |c a_n|=|c||a_n|\le |c|A. \]
Também neste caso a sucessão \((c a_n)\) é limitada.
Uma sucessão limitada pode não ser convergente
A limitação não implica, por si só, a convergência.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=(-1)^n \]
é limitada, porque
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
No entanto, não é convergente. Com efeito, os seus termos oscilam continuamente entre \(1\) e \(-1\), sem se aproximarem definitivamente de um único número real.
Portanto, uma sucessão pode ser limitada sem admitir limite finito.
Uma sucessão não limitada não pode ser convergente
Se uma sucessão real não é limitada, então não pode convergir para um número real.
Esta afirmação é a contrarrecíproca do teorema segundo o qual toda a sucessão convergente é limitada, que demonstraremos na secção seguinte.
Por outras palavras, a limitação é uma condição necessária para a convergência, mas não é uma condição suficiente.
Sucessões convergentes e sucessões limitadas
A relação mais importante entre limitação e convergência é a seguinte: toda a sucessão real convergente é limitada.
Teorema. Se uma sucessão real \((a_n)\) converge para um número real \(\ell\), então \((a_n)\) é limitada.
Demonstração. Suponhamos que
\[ a_n\to \ell. \]
Pela definição de limite finito, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Escolhamos, em particular,
\[ \varepsilon=1. \]
Então existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<1. \]
Desta desigualdade segue-se que, para todo \(n\ge N\),
\[ \ell-1<a_n<\ell+1. \]
Assim, todos os termos da sucessão a partir do índice \(N\) estão compreendidos entre \(\ell-1\) e \(\ell+1\).
Podemos supor, aumentando \(N\) se necessário, que \(N\ge 1\). Resta apenas considerar os termos anteriores:
\[ a_0,a_1,\dots,a_{N-1}. \]
Estes são em número finito. Como todo conjunto finito de números reais é sempre limitado, podemos definir
\[ K=\max\{1,|a_0|,|a_1|,\dots,|a_{N-1}|,|\ell|+1\}. \]
Então \(K>0\) e, por construção, tem-se
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Logo, a sucessão \((a_n)\) é limitada.
Observação. O teorema que acabámos de demonstrar afirma que a convergência implica a limitação:
\[ a_n\to \ell \quad \Longrightarrow \quad (a_n)\ \text{é limitada}. \]
O recíproco, porém, não é verdadeiro em geral.
Com efeito, como já se observou, a sucessão
\[ a_n=(-1)^n \]
é limitada, mas não é convergente.
Podemos, portanto, dizer que a limitação é uma condição necessária para a convergência, mas não uma condição suficiente.
Caso particular: sucessões monótonas
Para as sucessões monótonas, em contrapartida, a limitação assume um papel ainda mais forte.
Se uma sucessão é crescente e limitada superiormente, então converge. Analogamente, se uma sucessão é decrescente e limitada inferiormente, então converge.
Este resultado é conhecido como teorema da convergência monótona.
Portanto, em geral, uma sucessão limitada não tem necessariamente de convergir; contudo, se à limitação se acrescentar também a monotonia, obtém-se um critério de convergência muito importante.
As sucessões limitadas permitem descrever o comportamento global dos termos de uma sucessão. Uma sucessão pode ser limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada de ambos os lados.
Em particular, uma sucessão real \((a_n)\) é limitada se existe \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Isto significa que todos os termos da sucessão permanecem contidos num intervalo finito. A limitação é uma propriedade fundamental porque toda a sucessão convergente é limitada, embora uma sucessão limitada não seja necessariamente convergente.