O teorema da comparação para sucessões é uma ferramenta fundamental no estudo dos limites. Permite deduzir o comportamento de uma sucessão comparando-a com uma ou mais sucessões cujos limites já conhecemos.
A ideia de base é simples: se, a partir de certo índice, os termos de uma sucessão mantêm uma relação de ordem com os termos de outra sucessão, então também os seus limites devem respeitar essa ordem, quando existem. Numa das suas formas mais importantes, conhecida como teorema do confronto (ou teorema do sanduíche), uma sucessão fica encerrada entre duas sucessões que tendem para o mesmo limite: nesse caso, a sucessão intermédia é obrigada a tender também para esse limite.
Nesta página estudaremos o teorema da comparação nas suas formas principais: a comparação entre sucessões convergentes, a comparação com sucessões divergentes para \(+\infty\) ou para \(-\infty\) e o teorema do confronto. Prestaremos especial atenção ao significado da expressão a partir de certo índice, ou seja, à ideia de que as desigualdades exigidas não têm de se verificar para todos os índices, mas apenas a partir de certo índice.
Índice
- Comparação entre sucessões e significado da expressão «a partir de certo índice»
- Teorema da comparação para sucessões convergentes
- Demonstração do teorema da comparação
- Teorema do confronto para sucessões
- Demonstração do teorema do confronto
- Comparação com sucessões divergentes para infinito
- Exemplos resolvidos sobre o teorema da comparação
- Erros frequentes na aplicação do teorema
Comparação entre sucessões e significado da expressão «a partir de certo índice»
O teorema da comparação diz respeito a sucessões reais cujos termos podem ser ordenados entre si, pelo menos a partir de certo índice. Por esse motivo, antes de enunciar o teorema, importa esclarecer com rigor o que significa comparar duas sucessões.
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais. Dizer que
\[ a_n \le b_n \]
a partir de certo índice significa que existe um índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\), se tem
\[ a_n \le b_n. \]
Em símbolos:
\[ \exists N\in\mathbb{N}\ \text{tal que}\ \forall n\ge N,\quad a_n\le b_n. \]
Assim, a desigualdade não tem de se verificar para todos os índices \(n\), mas apenas a partir de certo ponto. Os primeiros termos das sucessões podem inclusivamente não respeitar a comparação, pois um número finito de termos iniciais não altera o limite.
Por exemplo, se \(a_n\le b_n\) para todo \(n\ge 5\), então podemos afirmar que \(a_n\le b_n\) a partir de certo índice. Não importa que a desigualdade seja falsa para \(n=0,1,2,3,4\), porque o comportamento no limite depende dos termos da sucessão quando \(n\) se torna arbitrariamente grande.
Esta observação é essencial: os teoremas sobre os limites de sucessões não descrevem o comportamento dos primeiros termos, mas o comportamento da sucessão no infinito. Por isso, nas aplicações do teorema da comparação, o que conta é estabelecer uma ordem entre as sucessões para todos os índices suficientemente grandes.
De modo análogo, escrever
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
a partir de certo índice significa que existe um índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\), se verificam simultaneamente as duas desigualdades
\[ a_n \le b_n \qquad\text{e}\qquad b_n \le c_n. \]
Neste caso, a sucessão \((b_n)\) fica compreendida, a partir de certo índice, entre \((a_n)\) e \((c_n)\). Esta é a situação típica do teorema do confronto: se as duas sucessões exteriores tendem para o mesmo limite, então a sucessão intermédia é forçada a tender para esse limite.
A comparação entre sucessões não é, pois, uma simples comparação termo a termo considerada isoladamente. É uma comparação estável a partir de certo índice, e é precisamente essa estabilidade que permite transferir informação sobre o limite de uma sucessão para outra.
Teorema da comparação para sucessões convergentes
A primeira forma do teorema da comparação diz respeito a duas sucessões reais convergentes. Afirma que uma ordem válida a partir de certo índice entre os termos das sucessões se conserva ao passar ao limite.
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ a_n \le b_n \]
a partir de certo índice. Se
\[ \lim_{n\to+\infty} a_n=\ell \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty} b_n=m, \]
então
\[ \ell \le m. \]
Por outras palavras, se a partir de certo índice cada termo de \((a_n)\) é menor ou igual ao termo correspondente de \((b_n)\), então o limite de \((a_n)\) não pode ser maior do que o limite de \((b_n)\).
Este resultado é muito natural, mas deve ser interpretado com atenção: o teorema não afirma que, conhecendo apenas \(a_n\le b_n\), possamos calcular os dois limites. Afirma, sim, que, se os dois limites existem, então têm de respeitar a mesma ordem.
Importa observar também que uma desigualdade estrita entre os termos não produz necessariamente uma desigualdade estrita entre os limites. Se
\[ a_n < b_n \]
a partir de certo índice e as duas sucessões convergem para \(\ell\) e \(m\), respetivamente, apenas podemos concluir que
\[ \ell \le m, \]
e não necessariamente que \(\ell<m\).
Por exemplo, para todo \(n\ge 1\) tem-se
\[ 0 < \frac{1}{n}. \]
Contudo,
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Portanto, a desigualdade estrita entre os termos pode transformar-se numa igualdade entre os limites.
O teorema da comparação para sucessões convergentes exprime, assim, uma propriedade de compatibilidade entre a ordem dos números reais e a passagem ao limite: a ordem que se mantém a partir de certo índice entre sucessões convergentes não pode inverter-se no limite.
Demonstração do teorema da comparação
Demonstremos o teorema na forma enunciada acima. Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ a_n \le b_n \]
a partir de certo índice, e suponhamos que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=m. \]
Queremos demonstrar que
\[ \ell \le m. \]
Raciocinemos por absurdo. Suponhamos, então, que a tese é falsa, isto é, suponhamos que
\[ \ell>m. \]
Consideremos o ponto médio entre \(\ell\) e \(m\):
\[ \alpha=\frac{\ell+m}{2}. \]
Como \(\ell>m\), tem-se
\[ m<\alpha<\ell. \]
Da convergência de \((a_n)\) para \(\ell\) e uma vez que \(\alpha<\ell\), existe um índice \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_1\), se tem
\[ a_n>\alpha. \]
Com efeito, sendo
\[ \varepsilon=\ell-\alpha>0, \]
da definição de limite resulta que, a partir de certo índice,
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon, \]
e portanto
\[ a_n>\ell-\varepsilon=\alpha. \]
Analogamente, da convergência de \((b_n)\) para \(m\) e uma vez que \(m<\alpha\), existe um índice \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_2\), se tem
\[ b_n<\alpha. \]
Com efeito, sendo
\[ \varepsilon=\alpha-m>0, \]
da definição de limite resulta que, a partir de certo índice,
\[ |b_n-m|<\varepsilon, \]
e portanto
\[ b_n<m+\varepsilon=\alpha. \]
Além disso, por hipótese, \(a_n\le b_n\) a partir de certo índice. Existe, pois, um índice \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Tomemos agora um índice \(n\) maior ou igual aos três índices \(N_0\), \(N_1\) e \(N_2\). Para tal \(n\) verificam-se simultaneamente as desigualdades
\[ \alpha<a_n\le b_n<\alpha. \]
Isto é impossível, pois uma quantidade não pode ser ao mesmo tempo maior e menor do que \(\alpha\). O absurdo provém de se ter suposto \(\ell>m\).
Por conseguinte, deve verificar-se
\[ \ell\le m. \]
Isto conclui a demonstração.
Teorema do confronto para sucessões
Uma das formas mais importantes do teorema da comparação é o teorema do confronto. Permite calcular o limite de uma sucessão quando esta fica compreendida, a partir de certo índice, entre duas sucessões que têm o mesmo limite.
Sejam \((a_n)\), \((b_n)\) e \((c_n)\) três sucessões reais tais que
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
a partir de certo índice. Se
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}c_n=\ell, \]
então também a sucessão intermédia \((b_n)\) converge para \(\ell\), isto é,
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
O significado do teorema é o seguinte: se uma sucessão fica compreendida, a partir de certo índice, entre duas sucessões que se aproximam do mesmo número real, então não tem qualquer possibilidade de tender para um limite diferente. As duas sucessões exteriores obrigam a sucessão intermédia a aproximar-se desse mesmo valor.
A hipótese fundamental é que as duas sucessões exteriores tenham o mesmo limite. Não basta saber que \((a_n)\) e \((c_n)\) sejam convergentes: se os seus limites forem diferentes, a sucessão intermédia pode apresentar comportamentos distintos.
Por exemplo, da simples comparação
\[ 0\le b_n\le 1 \]
não podemos concluir que \((b_n)\) seja convergente. A sucessão poderia oscilar, como acontece com
\[ b_n=\frac{1+(-1)^n}{2}, \]
que toma alternadamente os valores \(1\) e \(0\). Neste caso, as duas sucessões exteriores são constantes, mas têm limites diferentes:
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}1=1. \]
Uma forma muito utilizada do teorema do confronto é a seguinte. Se \((r_n)\) é uma sucessão real tal que
\[ r_n\ge 0 \]
a partir de certo índice,
\[ \lim_{n\to+\infty}r_n=0 \]
e
\[ |b_n-\ell|\le r_n \]
a partir de certo índice, então
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Com efeito, a desigualdade
\[ |b_n-\ell|\le r_n \]
equivale a afirmar que
\[ \ell-r_n\le b_n\le \ell+r_n. \]
Visto que ambas as sucessões exteriores \((\ell-r_n)\) e \((\ell+r_n)\) tendem para \(\ell\), o teorema do confronto obriga \((b_n)\) a tender para \(\ell\).
Esta formulação é particularmente útil quando não é simples estudar diretamente \(b_n\), mas é possível estimar a distância entre \(b_n\) e o limite candidato \(\ell\) por meio de uma sucessão positiva infinitésima.
Demonstração do teorema do confronto
Demonstremos o teorema do confronto. Sejam \((a_n)\), \((b_n)\) e \((c_n)\) três sucessões reais tais que
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
a partir de certo índice. Suponhamos ainda que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}c_n=\ell. \]
Queremos demonstrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Por definição de limite, devemos provar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe um índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Seja, então, \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to \ell\), existe um índice \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_1\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Em particular, para todo \(n\ge N_1\),
\[ \ell-\varepsilon<a_n. \]
Como \(c_n\to \ell\), existe um índice \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_2\),
\[ |c_n-\ell|<\varepsilon. \]
Em particular, para todo \(n\ge N_2\),
\[ c_n<\ell+\varepsilon. \]
Além disso, por hipótese, \(a_n\le b_n\le c_n\) a partir de certo índice. Existe, pois, um índice \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n\le c_n. \]
Consideremos agora
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Então, para todo \(n\ge N\), verificam-se simultaneamente as desigualdades
\[ \ell-\varepsilon<a_n\le b_n\le c_n<\ell+\varepsilon. \]
Em particular,
\[ \ell-\varepsilon<b_n<\ell+\varepsilon. \]
Esta dupla desigualdade equivale a
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Mostrámos, portanto, que, para todo \(\varepsilon>0\), existe um índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Por definição de limite, conclui-se que
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Isto conclui a demonstração.
Comparação com sucessões divergentes para infinito
O teorema da comparação admite também formas muito úteis para sucessões que divergem para \(+\infty\) ou para \(-\infty\). Nestes casos, a comparação não serve para estabelecer a ordem entre dois limites finitos, mas para deduzir que uma sucessão diverge quando é comparada, no sentido adequado, com outra sucessão divergente.
A primeira forma diz respeito à divergência para \(+\infty\). Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ a_n \le b_n \]
a partir de certo índice. Se
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty, \]
então
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=+\infty. \]
Com efeito, se \((a_n)\) tende para \(+\infty\), os seus termos tornam-se, a partir de certo índice, maiores do que qualquer número real fixado. Visto que, a partir de certo índice, \(b_n\) é maior ou igual a \(a_n\), também \(b_n\) deve tornar-se, a partir de certo índice, maior do que qualquer número real fixado.
Mais explicitamente, seja \(M\in\mathbb{R}\). Como \(a_n\to+\infty\), existe um índice \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_1\),
\[ a_n>M. \]
Além disso, como \(a_n\le b_n\) a partir de certo índice, existe um índice \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Assim, para todo \(n\ge \max\{N_0,N_1\}\), tem-se
\[ b_n\ge a_n>M. \]
Por definição de divergência para \(+\infty\), conclui-se que
\[ b_n\to+\infty. \]
A segunda forma diz respeito à divergência para \(-\infty\). Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ a_n \le b_n \]
a partir de certo índice. Se
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=-\infty, \]
então
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Neste caso, o raciocínio é simétrico: se \((b_n)\) tende para \(-\infty\), os seus termos tornam-se, a partir de certo índice, menores do que qualquer número real fixado. Visto que, a partir de certo índice, \(a_n\) é menor ou igual a \(b_n\), também \(a_n\) deve tender para \(-\infty\).
Mais explicitamente, seja \(M\in\mathbb{R}\). Como \(b_n\to-\infty\), existe um índice \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_1\),
\[ b_n<M. \]
Além disso, como \(a_n\le b_n\) a partir de certo índice, existe um índice \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Assim, para todo \(n\ge \max\{N_0,N_1\}\), tem-se
\[ a_n\le b_n<M. \]
Por definição de divergência para \(-\infty\), conclui-se que
\[ a_n\to-\infty. \]
É importante notar o sentido das desigualdades. Para demonstrar que uma sucessão tende para \(+\infty\), basta encontrar uma sucessão menor ou igual que tenda para \(+\infty\). Analogamente, para demonstrar que uma sucessão tende para \(-\infty\), basta encontrar uma sucessão maior ou igual que tenda para \(-\infty\).
Em símbolos:
\[ a_n\le b_n,\quad a_n\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad b_n\to+\infty, \]
e
\[ a_n\le b_n,\quad b_n\to-\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\to-\infty. \]
Por outras palavras, para \(+\infty\) é necessária uma minoração, ao passo que para \(-\infty\) é necessária uma majoração.
Exemplos resolvidos sobre o teorema da comparação
Vejamos agora alguns exemplos típicos. O objetivo não é apenas calcular os limites, mas compreender que forma do teorema da comparação se utiliza em cada caso e por que razão as hipóteses estão satisfeitas.
Exemplo 1. Calculemos o limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}. \]
Para todo \(n\ge 1\), sabemos que
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
Dividindo todos os membros por \(n\), que é positivo para todo \(n\ge 1\), obtemos
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Ora,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
A sucessão \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\) fica assim compreendida entre duas sucessões que tendem ambas para \(0\). Pelo teorema do confronto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0. \]
Exemplo 2. Calculemos o limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right). \]
A parte oscilante é \((-1)^n\), mas está multiplicada por \(\displaystyle \frac{1}{n}\), que tende para \(0\). Para tornar rigorosa esta observação, consideremos a distância da sucessão ao limite candidato \(2\):
\[ \left|2+\frac{(-1)^n}{n}-2\right| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}. \]
Visto que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
conclui-se que a distância entre \(\displaystyle 2+\frac{(-1)^n}{n}\) e \(2\) tende para \(0\). Pela forma do teorema do confronto com valor absoluto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right)=2. \]
Exemplo 3. Estudemos o limite da sucessão
\[ b_n=n^2+\sin n. \]
Visto que
\[ \sin n\ge -1, \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ n^2+\sin n\ge n^2-1. \]
Além disso,
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2-1)=+\infty. \]
Portanto, \((b_n)\) é limitada inferiormente por uma sucessão que tende para \(+\infty\). Pela comparação com sucessões divergentes para \(+\infty\), obtemos
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2+\sin n)=+\infty. \]
Exemplo 4. Estudemos o limite da sucessão
\[ c_n=-n+\cos n. \]
Visto que
\[ \cos n\le 1, \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), tem-se
\[ -n+\cos n\le -n+1. \]
Além disso,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+1)=-\infty. \]
Portanto, \((c_n)\) é limitada superiormente por uma sucessão que tende para \(-\infty\). Pela comparação com sucessões divergentes para \(-\infty\), obtemos
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+\cos n)=-\infty. \]
Estes exemplos mostram que o teorema da comparação não é útil apenas quando uma sucessão aparece explicitamente encerrada entre duas sucessões. Muitas vezes, o ponto decisivo é construir uma estimativa adequada: uma estimativa bilateral para aplicar o teorema do confronto, uma minoração para demonstrar a divergência para \(+\infty\), ou então uma majoração para demonstrar a divergência para \(-\infty\).
Erros frequentes na aplicação do teorema
O teorema da comparação é muito poderoso, mas deve ser aplicado respeitando com rigor as suas hipóteses. Muitos erros surgem por se descurar o sentido das desigualdades, o significado da expressão a partir de certo índice ou o papel dos limites das sucessões comparadas.
Confundir uma desigualdade estrita com uma desigualdade estrita entre os limites
Se \(a_n<b_n\) a partir de certo índice e as duas sucessões convergem para \(\ell\) e \(m\), respetivamente, não se pode concluir necessariamente que \(\ell<m\). Apenas se pode concluir que
\[ \ell\le m. \]
Com efeito, uma desigualdade estrita entre os termos pode tornar-se uma igualdade entre os limites. Por exemplo, para todo \(n\ge 1\),
\[ 0<\frac{1}{n}, \]
mas ambas as sucessões tendem para \(0\).
Usar o sentido errado na comparação no infinito
Para demonstrar que uma sucessão tende para \(+\infty\), não basta encontrar uma majorante que tenda para \(+\infty\). É necessária, sim, uma minoração por meio de uma sucessão que tenda para \(+\infty\).
Analogamente, para demonstrar que uma sucessão tende para \(-\infty\), não basta encontrar uma minorante que tenda para \(-\infty\). É necessária, sim, uma majoração por meio de uma sucessão que tenda para \(-\infty\).
Em símbolos:
\[ a_n\le b_n,\quad a_n\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad b_n\to+\infty, \]
enquanto
\[ a_n\le b_n,\quad b_n\to-\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\to-\infty. \]
Aplicar o teorema do confronto sem que os extremos tenham o mesmo limite
No teorema do confronto não basta ter
\[ a_n\le b_n\le c_n \]
a partir de certo índice. É necessário que as duas sucessões exteriores tendam para o mesmo limite:
\[ a_n\to \ell \qquad\text{e}\qquad c_n\to \ell. \]
Se, pelo contrário, os limites das sucessões exteriores forem diferentes, a comparação apenas pode fornecer uma faixa em que se encontram os termos de \((b_n)\), mas não determina necessariamente o limite de \((b_n)\).
Esquecer que a comparação deve verificar-se a partir de certo índice
As desigualdades exigidas pelo teorema não têm de se verificar para todos os índices, mas devem verificar-se a partir de um deles. Contudo, não basta comprová-las para muitos valores de \(n\), nem para alguns exemplos numéricos: é preciso demonstrar que existe um índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que a desigualdade seja verdadeira para todo \(n\ge N\).
Este ponto é essencial, porque o limite descreve o comportamento da sucessão para índices arbitrariamente grandes. Os primeiros termos podem ser irrelevantes, mas a comparação deve estabilizar-se a partir de certo índice.
Usar uma estimativa demasiado fraca
Uma estimativa só é útil se contiver informação suficiente para aplicar o teorema. Por exemplo, saber que uma sucessão é limitada não basta para concluir que seja convergente. Do mesmo modo, saber que uma sucessão está compreendida entre duas sucessões convergentes não basta se estas não tiverem o mesmo limite.
O teorema da comparação não substitui o estudo do limite: fornece um critério rigoroso quando a comparação é construída no sentido correto e com sucessões de comportamento conhecido.
Em conclusão, aplicar corretamente o teorema consiste em identificar três elementos: uma desigualdade válida a partir de certo índice, o sentido correto da comparação e o limite das sucessões usadas como referência.