O teorema da permanência do sinal para sucessões é um resultado fundamental sobre os limites de sucessões reais. Afirma que, se uma sucessão converge para um limite real não nulo, então os seus termos têm, a partir de certa ordem, o mesmo sinal que o limite.
Dito de outro modo, se uma sucessão \((a_n)\) tende para um número positivo, então, a partir de certa ordem, todos os seus termos são positivos. Se, pelo contrário, tende para um número negativo, então, a partir de certa ordem, todos os seus termos são negativos.
A expressão a partir de certa ordem é essencial: o teorema não afirma que todos os termos da sucessão tenham o mesmo sinal do limite, mas apenas que esta propriedade se verifica para todos os termos de ordem suficientemente elevada.
Em geral, dizer que uma propriedade se verifica a partir de certa ordem para uma sucessão significa que existe um índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que a propriedade se verifica para todo \(n\geq N\).
O caso \(L=0\) deve ser excluído. Com efeito, se o limite é nulo, o teorema não permite concluir nada sobre o sinal dos termos da sucessão a partir de certa ordem.
Índice
- Teorema da permanência do sinal para sucessões
- Demonstração do teorema
- Interpretação do teorema
- Exclusão do caso \(L=0\)
- Exemplos
Teorema da permanência do sinal para sucessões
Seja \((a_n)\) uma sucessão real e seja \(L\in\mathbb{R}\) com \(L\neq0\). Suponhamos que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Então a sucessão \((a_n)\) tem, a partir de certa ordem, o mesmo sinal que \(L\).
Mais precisamente:
- se \(L>0\), então existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tem \(a_n>0\);
- se \(L<0\), então existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tem \(a_n<0\).
Em símbolos, se \(L>0\), então
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq N,\ a_n>0. \]
Se, pelo contrário, \(L<0\), então
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq N,\ a_n<0. \]
O teorema pode ser resumido afirmando que, quando o limite é diferente de zero, o sinal do limite é conservado, a partir de certa ordem, nos termos da sucessão.
A condição \(L\neq0\) é indispensável. Se o limite fosse igual a zero, não seria possível escolher uma vizinhança de \(0\) inteiramente contida nos números positivos ou inteiramente contida nos números negativos.
Demonstração do teorema
Suponhamos que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \]
com \(L\neq0\). Por definição de limite, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tem
\[ |a_n-L|<\varepsilon. \]
Visto que \(L\neq0\), tem-se \(|L|>0\). Podemos, portanto, escolher
\[ \varepsilon=\frac{|L|}{2}. \]
Pela definição de limite, existe então \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\),
\[ |a_n-L|<\frac{|L|}{2}. \]
Esta desigualdade equivale a afirmar que
\[ -\frac{|L|}{2}<a_n-L<\frac{|L|}{2}. \]
Somando \(L\) a todos os membros da desigualdade, obtemos
\[ L-\frac{|L|}{2}<a_n<L+\frac{|L|}{2}. \]
Neste ponto, distinguimos os dois casos possíveis.
Caso \(L>0\)
Se \(L>0\), então \(|L|=L\). A desigualdade anterior fica
\[ L-\frac{L}{2}<a_n<L+\frac{L}{2}. \]
Assim, para todo \(n\geq N\),
\[ \frac{L}{2}<a_n<\frac{3L}{2}. \]
Em particular,
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\geq N\). Logo, se o limite \(L\) é positivo, então os termos da sucessão são positivos a partir de certa ordem.
Observe-se ainda que obtivemos uma estimativa mais forte: a partir de certa ordem, não só \(a_n>0\), mas também \(a_n>\frac{L}{2}\).
Caso \(L<0\)
Se \(L<0\), então \(|L|=-L\). A desigualdade
\[ L-\frac{|L|}{2}<a_n<L+\frac{|L|}{2} \]
fica
\[ L-\frac{-L}{2}<a_n<L+\frac{-L}{2}. \]
Ou seja,
\[ \frac{3L}{2}<a_n<\frac{L}{2}. \]
Visto que \(L<0\), tem-se
\[ \frac{3L}{2}<\frac{L}{2}<0. \]
Da desigualdade
\[ \frac{3L}{2}<a_n<\frac{L}{2} \]
segue, em particular, que
\[ a_n<0 \]
para todo \(n\geq N\).
Logo, se o limite \(L\) é negativo, então os termos da sucessão são negativos a partir de certa ordem.
Em ambos os casos fica demonstrado que, se uma sucessão real converge para um limite não nulo, então os seus termos têm, a partir de certa ordem, o mesmo sinal que o limite.
Interpretação do teorema
O teorema da permanência do sinal não diz respeito necessariamente a todos os termos da sucessão, mas apenas aos termos a partir de certa ordem.
Dizer que \(a_n>0\) a partir de certa ordem significa que existe um índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\geq N\). Os termos de ordem inferior a \(N\), por sua vez, podem ter qualquer sinal.
Por exemplo, uma sucessão pode ter alguns termos iniciais negativos e tornar-se depois positiva a partir de certa ordem. Se o seu limite é positivo, o teorema garante que, a partir de certo ponto, os termos já não podem ser negativos nem nulos.
Do mesmo modo, se o limite é negativo, a partir de certa ordem todos os termos devem ser negativos.
A ideia geométrica é simples: se \(L>0\), é possível escolher uma vizinhança de \(L\) inteiramente contida nos números positivos. Como \(a_n\to L\), a partir de certa ordem todos os termos \(a_n\) pertencem a essa vizinhança e são, portanto, positivos.
Se, pelo contrário, \(L<0\), é possível escolher uma vizinhança de \(L\) inteiramente contida nos números negativos. A partir de certa ordem todos os termos da sucessão pertencem a essa vizinhança e são, portanto, negativos.
Exclusão do caso \(L=0\)
A condição \(L\neq0\) é essencial. Se uma sucessão converge para \(0\), o teorema da permanência do sinal não permite determinar o sinal dos seus termos a partir de certa ordem.
Com efeito, em torno de \(0\) não existe nenhum intervalo aberto inteiramente contido nos números positivos ou inteiramente contido nos números negativos. Qualquer intervalo aberto centrado em \(0\) contém simultaneamente números positivos e números negativos.
Por esse motivo, se
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=0, \]
não se pode concluir, em geral, que \(a_n\) seja, a partir de certa ordem, positivo ou negativo.
Por exemplo, a sucessão
\[ a_n=\frac{1}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge para \(0\) e é positiva para todo \(n\geq 1\). Em contrapartida, a sucessão
\[ b_n=-\frac{1}{n}, \qquad n\geq 1. \]
também converge para \(0\) e é negativa para todo \(n\geq 1\).
Além disso, a sucessão
\[ c_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge para \(0\), mas muda de sinal infinitas vezes. Assim, no caso de limite nulo, são possíveis comportamentos distintos.
Exemplos
Exemplo 1. Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{3}{n}-2. \]
Visto que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{n}-2\right)=-2, \]
e o limite é negativo, o teorema da permanência do sinal garante que \(a_n\) é negativa a partir de certa ordem.
Verifiquemos isto diretamente. Pretendemos encontrar um índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tenha
\[ \frac{3}{n}-2<0. \]
Resolvendo a desigualdade,
\[ \frac{3}{n}<2. \]
Visto que \(n>0\), podemos multiplicar por \(n\) sem alterar o sentido da desigualdade:
\[ 3<2n. \]
Logo
\[ n>\frac{3}{2}. \]
Portanto, para todo \(n\geq2\), tem-se
\[ a_n<0. \]
A sucessão é, assim, negativa a partir de certa ordem, em concordância com o teorema.
Exemplo 2. Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{5}{n}+1. \]
Visto que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{5}{n}+1\right)=1, \]
e o limite é positivo, o teorema da permanência do sinal garante que \(a_n\) é positiva a partir de certa ordem.
Na verdade, neste caso a sucessão é positiva para todo \(n\geq 1\), porque
\[ \frac{5}{n}>0 \]
para todo \(n\geq 1\), e portanto
\[ \frac{5}{n}+1>0. \]
Isto é coerente com o teorema: se uma propriedade se verifica para todos os termos, então certamente também se verifica a partir de certa ordem.
Exemplo 3. Consideremos a sucessão
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}. \]
Esta sucessão não converge. Com efeito, o termo \((-1)^n\) oscila entre \(-1\) e \(1\), enquanto \(\displaystyle \frac{1}{n}\to0\). Mais precisamente, a subsucessão formada pelos termos de índice par tende para \(1\), enquanto a subsucessão formada pelos termos de índice ímpar tende para \(-1\).
Por conseguinte, não podemos aplicar o teorema da permanência do sinal.
Este exemplo mostra que o teorema exige realmente a existência de um limite real não nulo. Se a sucessão não tem limite, o teorema não fornece qualquer informação sobre o sinal dos seus termos a partir de certa ordem.
Exemplo 4. Consideremos a sucessão
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Tem-se
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
No entanto, a sucessão muda de sinal infinitas vezes: é positiva para os índices pares e negativa para os índices ímpares.
O teorema da permanência do sinal não é aplicável, porque o limite é igual a \(0\). Este exemplo mostra a razão pela qual a hipótese \(L\neq0\) é indispensável.
Uma versão análoga é válida também para os limites infinitos: se \(a_n\to+\infty\), então \(a_n>0\) a partir de certa ordem; se \(a_n\to-\infty\), então \(a_n<0\) a partir de certa ordem.
Em conclusão, o teorema da permanência do sinal para sucessões afirma que o sinal de um limite real não nulo é conservado, a partir de certa ordem, nos termos da sucessão. Os termos iniciais podem ter comportamento distinto, mas, a partir de certa ordem, o sinal deve coincidir com o sinal do limite.