O teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que toda sucessão real limitada contém pelo menos uma subsucessão convergente.
Este teorema exprime uma propriedade profunda da reta real: uma sucessão que permanece confinada num intervalo fechado e limitado não pode dispersar-se por completo. Ainda que a sucessão não convirja, é sempre possível extrair dela uma parte que converge.
Índice
- Enunciado do teorema de Bolzano-Weierstrass
- Significado do teorema
- Demonstração mediante intervalos encaixados
- Por que é necessária a hipótese de limitação
- Exemplos de aplicação
- Relação com os pontos de acumulação
Enunciado do teorema de Bolzano-Weierstrass
Consideremos uma sucessão real
\[ (x_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Recordemos que uma sucessão se diz limitada se existirem dois números reais \(a\) e \(b\), com \(a\leq b\), tais que
\[ a\leq x_n\leq b \]
para todo o \(n\in\mathbb N\). Por outras palavras, todos os termos da sucessão estão contidos num mesmo intervalo fechado e limitado \([a,b]\).
Teorema de Bolzano-Weierstrass. Toda sucessão real limitada admite uma subsucessão convergente.
De modo equivalente, se \((x_n)\) for uma sucessão real limitada, então existem uma sucessão estritamente crescente de índices
\[ n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots \]
e um número real \(x_0\) tais que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
A sucessão \((x_{n_k})\) recebe o nome de subsucessão de \((x_n)\).
Significado do teorema
O teorema não afirma que toda a sucessão limitada seja convergente; isso seria falso. Tomemos, por exemplo, a sucessão
\[ x_n=(-1)^n, \]
que é limitada, mas não converge, pois oscila incessantemente entre \(1\) e \(-1\).
Contém, no entanto, subsucessões convergentes. Com efeito, tomando os índices pares obtém-se
\[ x_{2k}=1 \]
para todo o \(k\), e portanto
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
Tomando, pelo contrário, os índices ímpares obtém-se
\[ x_{2k-1}=-1 \]
para todo o \(k\), e portanto
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
É precisamente isto que o teorema de Bolzano-Weierstrass afirma: mesmo quando uma sucessão limitada não converge no seu todo, no seu interior existe sempre uma subsucessão que converge.
Demonstração mediante intervalos encaixados
Demonstramos o teorema recorrendo ao teorema dos intervalos encaixados.
Seja \((x_n)\) uma sucessão real limitada. Então existem \(a,b\in\mathbb R\), com \(a\leq b\), tais que
\[ x_n\in[a,b] \]
para todo o \(n\in\mathbb N\).
Ponhamos
\[ I_1=[a,b]. \]
O intervalo \(I_1\) contém todos os termos da sucessão, pelo que contém certamente uma infinidade de termos da mesma.
Dividamos \(I_1\) em dois intervalos fechados de igual comprimento:
\[ \left[a,\frac{a+b}{2}\right], \qquad \left[\frac{a+b}{2},b\right]. \]
Como \(I_1\) contém uma infinidade de termos da sucessão, pelo menos um dos dois subintervalos contém igualmente uma infinidade de termos. Escolhemos um desses subintervalos e designamo-lo por \(I_2\).
Repitamos o mesmo procedimento. Suponhamos ter construído um intervalo fechado \(I_k\) que contém uma infinidade de termos da sucessão. Dividimos \(I_k\) em dois intervalos fechados de igual comprimento. Pelo menos um deles contém uma infinidade de termos; escolhemo-lo e designamo-lo por \(I_{k+1}\).
Deste modo obtemos uma sucessão de intervalos fechados e limitados
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots \]
tal que cada \(I_k\) contém uma infinidade de termos da sucessão \((x_n)\).
Além disso, em cada passo o comprimento do intervalo é reduzido a metade. Se \(I_1=[a,b]\), então o comprimento de \(I_k\) é
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}. \]
Visto que
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}\longrightarrow 0, \]
pelo teorema dos intervalos encaixados existe um único ponto \(x_0\in\mathbb R\) tal que
\[ \bigcap_{k=1}^{+\infty} I_k=\{x_0\}. \]
Resta construir uma subsucessão de \((x_n)\) que convirja para \(x_0\).
Para construir tal subsucessão, procedemos por indução sobre os intervalos \(I_k\).
Como \(I_1\) contém uma infinidade de termos da sucessão, escolhemos um índice \(n_1\) tal que
\[ x_{n_1}\in I_1. \]
Como \(I_2\) contém uma infinidade de termos, podemos escolher um índice \(n_2\) maior do que \(n_1\) tal que
\[ x_{n_2}\in I_2. \]
Em geral, suponhamos ter escolhido os índices
\[ n_1\lt n_2\lt\cdots\lt n_k \]
de modo que
\[ x_{n_j}\in I_j \qquad \text{para todo o } j=1,\ldots,k. \]
Como \(I_{k+1}\) contém uma infinidade de termos, podemos escolher um índice \(n_{k+1}\gt n_k\) tal que
\[ x_{n_{k+1}}\in I_{k+1}. \]
Obtemos assim uma subsucessão
\[ (x_{n_k})_{k\in\mathbb N} \]
tal que
\[ x_{n_k}\in I_k \qquad \forall k\in\mathbb N. \]
Demonstremos agora que esta subsucessão converge para \(x_0\).
Como \(x_0\) pertence a todos os intervalos \(I_k\) e também \(x_{n_k}\in I_k\), a distância entre \(x_{n_k}\) e \(x_0\) é, no máximo, igual ao comprimento de \(I_k\). Logo,
\[ |x_{n_k}-x_0|\leq \frac{b-a}{2^{k-1}}. \]
Visto que
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}\longrightarrow0, \]
pelo teorema do confronto conclui-se que
\[ |x_{n_k}-x_0|\longrightarrow0. \]
Por conseguinte,
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Construímos, assim, uma subsucessão convergente da sucessão inicial. Com isto termina a demonstração do teorema de Bolzano-Weierstrass.
Por que é necessária a hipótese de limitação
A hipótese de limitação é essencial. Se uma sucessão não for limitada, pode não admitir qualquer subsucessão convergente.
Consideremos, por exemplo, a sucessão
\[ x_n=n. \]
Esta não é limitada superiormente. Além disso, cada uma das suas subsucessões é da forma
\[ x_{n_k}=n_k, \]
onde
\[ n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots. \]
Como os índices \(n_k\) tendem para \(+\infty\), tem-se
\[ x_{n_k}=n_k\longrightarrow+\infty. \]
Nenhuma subsucessão pode, portanto, convergir para um número real.
Este exemplo mostra que a limitação não é uma condição acessória: é precisamente o que impede que os termos da sucessão fujam para o infinito.
Exemplos de aplicação
Exemplo 1. Consideremos a sucessão
\[ x_n=(-1)^n. \]
A sucessão é limitada, uma vez que
\[ -1\leq x_n\leq1 \]
para todo o \(n\in\mathbb N\). Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, admite pelo menos uma subsucessão convergente.
De facto, os termos de índice par dão
\[ x_{2k}=1 \]
para todo o \(k\in\mathbb N\), de modo que
\[ x_{2k}\longrightarrow1, \]
ao passo que os de índice ímpar dão
\[ x_{2k-1}=-1, \]
e portanto
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
A sucessão inicial não converge, mas possui duas subsucessões convergentes naturais.
Exemplo 2. Consideremos a sucessão
\[ x_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
É limitada, porque
\[ -1\lt x_n\lt1 \]
para todo o \(n\in\mathbb N\). Por Bolzano-Weierstrass, tem de admitir uma subsucessão convergente.
Separemos os índices pares e ímpares. Se \(n=2k\), então
\[ x_{2k}=\frac{2k}{2k+1}\longrightarrow1. \]
Se, pelo contrário, \(n=2k-1\), então
\[ x_{2k-1}=-\frac{2k-1}{2k}\longrightarrow -1. \]
Também neste caso a sucessão não converge, mas contém subsucessões convergentes.
Exemplo 3. Consideremos uma sucessão qualquer \((x_n)\) contida no intervalo \([0,1]\).
Não é necessário conhecer uma fórmula explícita da sucessão. O simples facto de que
\[ 0\leq x_n\leq1 \]
para todo o \(n\in\mathbb N\) garante, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, a existência de uma subsucessão convergente.
Este é um dos aspectos mais importantes do teorema: fornece um resultado de existência mesmo quando não sabemos calcular explicitamente uma subsucessão.
Relação com os pontos de acumulação
O teorema de Bolzano-Weierstrass pode também ser interpretado em termos de pontos de acumulação.
Se uma sucessão real limitada assumir uma infinidade de valores distintos, então o conjunto dos seus valores é um subconjunto infinito e limitado de \(\mathbb R\). Nesse caso o teorema garante a existência de pelo menos um ponto de acumulação.
Mais precisamente, se uma subsucessão
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0 \]
e os termos \(x_{n_k}\) forem distintos de \(x_0\) para uma infinidade de índices, então \(x_0\) é um ponto de acumulação do conjunto dos valores da sucessão.
No caso em que a sucessão assume apenas um número finito de valores, o teorema continua a ser verdadeiro: pelo menos um desses valores tem de ser assumido uma infinidade de vezes. Nesse caso existe uma subsucessão constante e, por conseguinte, convergente.
Assim, Bolzano-Weierstrass pode ser lido de dois modos complementares:
- toda sucessão real limitada possui uma subsucessão convergente;
- todo o conjunto infinito e limitado de números reais possui pelo menos um ponto de acumulação.
Esta segunda formulação liga o teorema ao estudo topológico da reta real e prepara o terreno para os resultados sobre compacidade.