O teorema de Stolz-Cesàro fornece uma ferramenta fundamental para o cálculo do limite de quocientes de sucessões. É particularmente útil quando o denominador tende para \(+\infty\) e o cálculo direto do limite se revela difícil ou conduz a uma forma indeterminada.
Este resultado pode ser visto como uma generalização do teorema de Cesàro sobre as médias aritméticas e é amplamente utilizado no estudo da convergência de sucessões.
Ao longo de todo o texto assumimos que \( \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} \).
Índice
- Teorema de Stolz-Cesàro
- Demonstração
- Corolário I
- Corolário II (Teorema de Cesàro)
- Corolário III
- Corolário IV
Teorema de Stolz-Cesàro. Sejam \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) e \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) duas sucessões de números reais. Suponhamos que:
- \( b_n > 0 \) para todo \( n \) suficientemente grande;
- \( b_{n+1} > b_n \) para todo \( n \) suficientemente grande;
- \[ \lim_{n \to \infty} b_n = +\infty. \]
Se existe o limite
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \in \mathbb{R}, \]
então existe também o limite
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Existem também variantes do teorema de Stolz-Cesàro para o caso em que o limite do quociente dos incrementos é \(+\infty\) ou \(-\infty\), bem como versões adequadas a certas formas indeterminadas do tipo \(\displaystyle \frac{0}{0}\). Neste texto consideramos a forma mais utilizada, isto é, a relativa à forma indeterminada \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) com limite real finito.
Demonstração. Suponhamos que
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L. \]
Queremos demonstrar que
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Pela definição de limite, para todo \( \varepsilon > 0 \) existe \( n_\varepsilon \in \mathbb{N} \), escolhido suficientemente grande para garantir também que \( b_n > 0 \) e \( b_{n+1} > b_n \) para todo \( n \ge n_\varepsilon \), tal que
\[ \left| \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} - L \right| < \varepsilon, \qquad \forall n \ge n_\varepsilon. \]
Equivalentemente,
\[ L - \varepsilon < \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} < L + \varepsilon. \]
Dado que \( b_{n+1} - b_n > 0 \) para todo \( n \ge n_\varepsilon \), podemos multiplicar todos os membros da desigualdade, obtendo:
\[ (L - \varepsilon) (b_{n+1} - b_n) < a_{n+1} - a_n < (L + \varepsilon) (b_{n+1} - b_n). \]
Somamos membro a membro desde \( k = n_\varepsilon \) até \( k = n - 1 \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L - \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L + \varepsilon)(b_{k+1} - b_k). \]
As somas são telescópicas. Com efeito:
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_{n_\varepsilon}, \]
e, de modo análogo,
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_{n_\varepsilon}. \]
Portanto:
\[ (L - \varepsilon) (b_n - b_{n_\varepsilon}) < a_n - a_{n_\varepsilon} < (L + \varepsilon) (b_n - b_{n_\varepsilon}). \]
Dividindo por \( b_n > 0 \), obtemos:
\[ (L - \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < (L + \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n}. \]
Uma vez que
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0, \]
passando ao limite inferior e ao limite superior na desigualdade anterior, obtemos:
\[ L - \varepsilon \le \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \le \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \le L + \varepsilon. \]
Como \( \varepsilon > 0 \) é arbitrário, segue-se que
\[ \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Logo:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Isto conclui a demonstração do teorema de Stolz-Cesàro.
Corolário I. Se
\[ \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L, \]
então
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L. \]
Demonstração. Basta aplicar o teorema de Stolz-Cesàro à sucessão \( b_n = n \). O quociente \(a_n/n\) é naturalmente considerado para \(n\ge 1\). Com efeito:
\[ b_{n+1} - b_n = 1, \]
logo
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L. \]
Portanto:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L. \]
Corolário II (Teorema de Cesàro). Seja \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) uma sucessão convergente para \( L \). Para cada \(n\ge 1\), definimos:
\[ \alpha_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k. \]
Então:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = L. \]
Demonstração. Ponhamos
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k, \qquad b_n = n. \]
Então:
\[ \alpha_n = \frac{c_n}{b_n}. \]
Além disso:
\[ \frac{c_{n+1} - c_n}{b_{n+1} - b_n} = \frac{a_n}{1} = a_n. \]
Uma vez que \( a_n \to L \), o teorema de Stolz-Cesàro implica:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} = L. \]
Corolário III. Seja \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) uma sucessão tal que:
- \( a_n > 0 \) para todo \( n \);
- \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L > 0. \]
Então:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L. \]
Demonstração. Definimos:
\[ u_n = \log a_n. \]
Dado que \( a_n \to L > 0 \), tem-se:
\[ u_n = \log a_n \longrightarrow \log L. \]
Consideramos as médias aritméticas:
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} u_k, \qquad n\ge 1. \]
Substituindo a definição de \( u_k \), obtemos:
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log a_k = \log \left( \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} \right). \]
Pelo Corolário II:
\[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \log L. \]
Aplicando a função exponencial:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L. \]
Corolário IV. Seja \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) uma sucessão de números reais estritamente positivos.
Se
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L > 0, \]
então:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L. \]
Demonstração. Definimos, para cada \( n \ge 1 \),
\[ b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}}. \]
Por hipótese:
\[ b_n \to L. \]
Aplicando o Corolário III à sucessão \( \{b_n\}_{n \ge 1} \), ou, de forma equivalente, à mesma sucessão reindexada a partir de \(0\), obtemos:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} b_k} = L. \]
Por outro lado,
\[ \prod_{k=1}^{n} b_k = \prod_{k=1}^{n} \frac{a_k}{a_{k-1}} = \frac{a_n}{a_0}. \]
Portanto:
\[ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} b_k} = \sqrt[n]{\frac{a_n}{a_0}} = \frac{\sqrt[n]{a_n}}{\sqrt[n]{a_0}}. \]
Uma vez que
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_0} = 1, \]
segue-se que:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L. \]
Isto conclui a demonstração.