Os exercícios que se seguem têm como objectivo consolidar a compreensão do teorema dos intervalos encaixados e das suas aplicações. Em particular, aprenderemos a verificar quando uma sucessão de intervalos satisfaz as hipóteses do teorema, a determinar a sua intersecção e a compreender o papel desempenhado pela completude dos números reais.
Os exercícios estão ordenados por dificuldade crescente. Nos primeiros aplicaremos o teorema de forma directa; mais adiante analisaremos contra-exemplos, construções mais elaboradas e algumas das suas consequências teóricas mais importantes.
Recorreremos tanto à forma geral do teorema — segundo a qual a intersecção de uma sucessão de intervalos fechados, limitados, não vazios e encaixados é, ela própria, não vazia — como à forma mais forte: se as amplitudes dos intervalos tendem para zero, então a intersecção reduz-se a um único ponto.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left[0,\frac{1}{n}\right]. \]
Determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{0\}. \]
Resolução
Os intervalos são fechados e limitados. Além disso,
\[ I_{n+1} = \left[0,\frac{1}{n+1}\right] \subseteq \left[0,\frac{1}{n}\right] = I_n, \]
uma vez que
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. \]
A sucessão é, portanto, constituída por intervalos encaixados.
Além disso, a amplitude de \(I_n\) é
\[ \frac{1}{n}-0=\frac{1}{n}, \]
e tem-se
\[ \frac{1}{n}\longrightarrow 0. \]
Pela forma forte do teorema dos intervalos encaixados, quando as amplitudes tendem para zero a intersecção reduz-se a um único ponto.
Observemos que \(0\) pertence a todos os intervalos \(I_n\).
Por outro lado, se \(x>0\), escolhendo \(n\) suficientemente grande obtém-se
\[ \frac{1}{n}<x. \]
Daqui resulta que \(x\notin I_n\), pelo que \(x\) não pode pertencer à intersecção de todos os intervalos.
O único ponto comum a todos os intervalos é, assim, \(0\).
Por conseguinte,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[0,\frac{1}{n}\right] = \{0\}. \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n= \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right]. \]
Determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{0\}. \]
Resolução
Os intervalos são fechados, limitados e não vazios.
Além disso,
\[ \left[ -\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1} \right] \subseteq \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right], \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Trata-se, pois, de uma sucessão de intervalos encaixados.
A amplitude de \(I_n\) vale
\[ \frac{1}{n} - \left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{2}{n}, \]
e
\[ \frac{2}{n}\longrightarrow 0. \]
O teorema dos intervalos encaixados garante, então, que a intersecção contém um único ponto.
Como
\[ -\frac{1}{n} \leq 0 \leq \frac{1}{n} \qquad \forall n, \]
o número \(0\) pertence a todos os intervalos.
Se, pelo contrário, \(x\neq0\), então \(|x|>0\). Escolhendo \(n\) suficientemente grande tem-se
\[ \frac{1}{n}<|x|. \]
Daí decorre que \(x\notin I_n\).
Por conseguinte,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right] = \{0\}. \]
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left[1,1+\frac{1}{n}\right]. \]
Determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{1\}. \]
Resolução
Os intervalos \(I_n\) são fechados, limitados e não vazios. Além disso, à medida que \(n\) cresce, o extremo direito \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\) diminui, enquanto o extremo esquerdo se mantém igual a \(1\). Logo, os intervalos são encaixados.
Com efeito, para todo \(n\in\mathbb N\) tem-se
\[ I_{n+1}\subseteq I_n. \]
A amplitude do intervalo \(I_n\) é
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)-1=\frac{1}{n}. \]
Uma vez que \(\frac{1}{n}\to0\), o teorema dos intervalos encaixados garante que a intersecção contém um só ponto.
O ponto \(1\) pertence a todos os intervalos, pois é sempre o extremo esquerdo de \(I_n\). Assim,
\[ 1\in\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Como a intersecção contém um só ponto e esse ponto é \(1\), concluímos que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[1,1+\frac{1}{n}\right]=\{1\}. \]
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left[2-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right]. \]
Determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{2\}. \]
Resolução
Os intervalos são fechados, limitados e não vazios. Além disso, à medida que \(n\) cresce, o extremo esquerdo
\[ 2-\frac{1}{n} \]
cresce para \(2\), enquanto o extremo direito
\[ 2+\frac{1}{n} \]
decresce para \(2\). Logo, os intervalos são encaixados.
A amplitude de \(I_n\) é
\[ \left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(2-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}, \]
e, portanto,
\[ \frac{2}{n}\longrightarrow0. \]
Pelo teorema dos intervalos encaixados, a intersecção contém um único ponto.
Como
\[ 2-\frac{1}{n}\leq 2\leq 2+\frac{1}{n} \]
para todo \(n\), o ponto \(2\) pertence a todos os intervalos.
Por conseguinte,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[2-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right] = \{2\}. \]
Exercício 5 — nível ★☆☆☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left[0,2+\frac{1}{n}\right]. \]
Determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,2]. \]
Resolução
Os intervalos são fechados, limitados e não vazios. Além disso, dado que
\[ 2+\frac{1}{n+1}<2+\frac{1}{n}, \]
tem-se
\[ I_{n+1}\subseteq I_n. \]
Trata-se, pois, de uma sucessão de intervalos encaixados.
Neste caso, porém, as amplitudes dos intervalos não tendem para zero. Com efeito,
\[ \left(2+\frac{1}{n}\right)-0=2+\frac{1}{n}, \]
e, por conseguinte,
\[ 2+\frac{1}{n}\longrightarrow2. \]
Por isso, a intersecção não tem necessariamente de se reduzir a um só ponto.
Observemos que qualquer ponto \(x\in[0,2]\) pertence a todos os intervalos, porque
\[ 0\leq x\leq2<2+\frac{1}{n} \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Assim,
\[ [0,2]\subseteq\bigcap_{n=1}^{+\infty}I_n. \]
Se, pelo contrário, \(x<0\), então \(x\notin I_n\) para todo \(n\), visto que todos os intervalos têm extremo esquerdo igual a \(0\).
Reciprocamente, se \(x>2\), então \(x-2>0\). Pela propriedade arquimediana, existe \(n\) tal que
\[ \frac{1}{n}<x-2. \]
Donde
\[ 2+\frac{1}{n}<x. \]
Portanto, \(x\notin I_n\), pelo que \(x\) não pertence à intersecção de todos os intervalos.
Concluímos que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[0,2+\frac{1}{n}\right] = [0,2]. \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left[1-\frac{1}{n},3+\frac{1}{n}\right]. \]
Determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[1,3]. \]
Resolução
Os intervalos são fechados, limitados e não vazios. À medida que \(n\) cresce, o extremo esquerdo \(1-\displaystyle \frac{1}{n}\) cresce para \(1\), enquanto o extremo direito \(3+\displaystyle \frac{1}{n}\) decresce para \(3\). Logo, os intervalos são encaixados.
A amplitude de \(I_n\) é
\[ \left(3+\frac{1}{n}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)=2+\frac{2}{n}. \]
Uma vez que \(2+\displaystyle \frac{2}{n}\to2\), a amplitude não tende para zero. Logo, a intersecção não se reduz a um só ponto.
Os extremos esquerdos têm supremo \(1\), enquanto os extremos direitos têm ínfimo \(3\). Pelo teorema dos intervalos encaixados, obtém-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[1,3]. \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left[-\frac{1}{n},1\right]. \]
Determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,1]. \]
Resolução
Os intervalos são fechados, limitados e não vazios. Além disso, o extremo esquerdo \(-\displaystyle \frac{1}{n}\) cresce para \(0\), enquanto o extremo direito se mantém igual a \(1\). Logo, os intervalos são encaixados.
A amplitude de \(I_n\) é
\[ 1-\left(-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{1}{n}. \]
Uma vez que \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\to1\), a amplitude não tende para zero.
O supremo dos extremos esquerdos é \(0\), enquanto o ínfimo dos extremos direitos é \(1\). Por conseguinte,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},1\right]=[0,1]. \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left[2-\frac{1}{n},5\right]. \]
Determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[2,5]. \]
Resolução
Os intervalos são fechados, limitados e não vazios. O extremo esquerdo \(2-\displaystyle \frac{1}{n}\) cresce para \(2\), enquanto o extremo direito se mantém constante e igual a \(5\). Logo, os intervalos são encaixados.
A amplitude de \(I_n\) é
\[ 5-\left(2-\frac{1}{n}\right)=3+\frac{1}{n}. \]
Uma vez que \(3+\displaystyle \frac{1}{n}\to3\), a amplitude não tende para zero.
O supremo dos extremos esquerdos é \(2\), enquanto o ínfimo dos extremos direitos é \(5\). Assim,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[2-\frac{1}{n},5\right]=[2,5]. \]
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left[-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]. \]
Determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,1]. \]
Resolução
Os intervalos são fechados, limitados e não vazios. O extremo esquerdo \(-\displaystyle \frac{1}{n}\) cresce para \(0\), enquanto o extremo direito \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\) decresce para \(1\). Logo, os intervalos são encaixados.
A amplitude de \(I_n\) é
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)-\left(-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{2}{n}. \]
Uma vez que \(1+\displaystyle \frac{2}{n}\to1\), a amplitude não tende para zero.
O supremo dos extremos esquerdos é \(0\), enquanto o ínfimo dos extremos direitos é \(1\). Por conseguinte,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]=[0,1]. \]
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left[\frac{n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]. \]
Determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\left[1,\frac{3}{2}\right]. \]
Resolução
Reescrevamos os extremos do intervalo:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}, \qquad 2-\frac{1}{n+1}. \]
Assim,
\[ I_n=\left[1-\frac{1}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]. \]
Os intervalos são fechados, limitados e não vazios. Contudo, não estão encaixados de forma decrescente: à medida que \(n\) cresce, ambos os extremos se deslocam para a direita.
Com efeito,
\[ I_1=\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right], \qquad I_2=\left[\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right]. \]
O intervalo \(I_2\) não está contido em \(I_1\), uma vez que o seu extremo direito é maior do que o de \(I_1\). Logo, o teorema dos intervalos encaixados não se aplica directamente.
Determinemos, ainda assim, a intersecção. Um número \(x\) pertence a todos os intervalos se e só se
\[ 1-\frac{1}{n+1}\leq x\leq 2-\frac{1}{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Da primeira desigualdade, exigindo que se verifique para todo \(n\), obtém-se
\[ x\geq1. \]
Com efeito, os extremos esquerdos \(1-\frac{1}{n+1}\) crescem para \(1\).
Da segunda desigualdade, por sua vez, a restrição mais forte obtém-se para \(n=1\), visto que os extremos direitos \(2-\frac{1}{n+1}\) crescem à medida que \(n\) cresce. Portanto, deve ter-se
\[ x\leq 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. \]
Por conseguinte, todo o ponto da intersecção deve satisfazer
\[ 1\leq x\leq\frac{3}{2}. \]
Reciprocamente, se \(1\leq x\leq\frac{3}{2}\), então para todo \(n\in\mathbb N\) tem-se
\[ 1-\frac{1}{n+1}\leq1\leq x \]
e, além disso,
\[ x\leq\frac{3}{2}\leq2-\frac{1}{n+1}. \]
Logo, \(x\in I_n\) para todo \(n\in\mathbb N\).
Concluímos que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]=\left[1,\frac{3}{2}\right]. \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left(0,\frac{1}{n}\right). \]
Estabeleça-se se o teorema dos intervalos encaixados é aplicável e determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
O teorema dos intervalos encaixados não é aplicável, porque os intervalos não são fechados. Além disso,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac{1}{n}\right)=\varnothing. \]
Resolução
Os intervalos \(I_n\) são abertos, limitados, não vazios e encaixados. Com efeito, à medida que \(n\) cresce, o extremo direito \(\displaystyle \frac{1}{n}\) diminui.
Contudo, o teorema dos intervalos encaixados exige intervalos fechados e limitados. Neste caso os intervalos não são fechados, pelo que o teorema não pode ser aplicado.
Determinemos agora a intersecção. Se \(x\) pertencesse a todos os intervalos, deveria verificar-se
\[ 0\lt x\lt\frac{1}{n} \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Mas, se \(x\gt0\), pela propriedade arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac{1}{n}\lt x. \]
Para esse \(n\), o número \(x\) não pertence a \(I_n\).
Logo, nenhum número real pertence a todos os intervalos. Por conseguinte,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac{1}{n}\right)=\varnothing. \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=[n,+\infty). \]
Estabeleça-se se o teorema dos intervalos encaixados é aplicável e determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
O teorema dos intervalos encaixados não é aplicável, porque os intervalos não são limitados. Além disso,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[n,+\infty)=\varnothing. \]
Resolução
Os intervalos \(I_n=[n,+\infty)\) são fechados e não vazios. Além disso, são encaixados, porque
\[ [n+1,+\infty)\subseteq[n,+\infty). \]
Contudo, não são limitados. O teorema dos intervalos encaixados exige intervalos fechados e limitados, pelo que neste caso não é aplicável.
Determinemos a intersecção. Se \(x\) pertencesse a todos os intervalos, deveria verificar-se
\[ x\geq n \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Isto é impossível, visto que nenhum número real é maior ou igual a todos os números naturais.
Portanto,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[n,+\infty)=\varnothing. \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]. \]
Estabeleça-se se o teorema dos intervalos encaixados é aplicável e determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
O teorema dos intervalos encaixados não é aplicável, porque os intervalos não são limitados. Além disso,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]=(-\infty,0]. \]
Resolução
Os intervalos são fechados e não vazios, mas não são limitados inferiormente. Logo, o teorema dos intervalos encaixados não pode ser aplicado directamente.
Os intervalos são, ainda assim, encaixados, uma vez que o extremo direito \(\displaystyle\frac{1}{n}\) decresce para \(0\).
Se \(x\leq0\), então
\[ x\leq0\lt\frac{1}{n} \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Portanto, todo \(x\leq0\) pertence a todos os intervalos.
Se, pelo contrário, \(x\gt0\), pela propriedade arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac{1}{n}\lt x. \]
Para esse \(n\), tem-se \(x\notin I_n\).
Por conseguinte, os pontos comuns a todos os intervalos são exactamente os números reais menores ou iguais a \(0\):
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]=(-\infty,0]. \]
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left[0,1+\frac{(-1)^n}{2}\right]. \]
Estabeleça-se se os intervalos são encaixados e se o teorema dos intervalos encaixados é aplicável.
Resultado
Os intervalos não são encaixados. O teorema dos intervalos encaixados não é aplicável.
Resolução
Calculemos os primeiros intervalos. Para \(n=1\) tem-se
\[ I_1=\left[0,\frac{1}{2}\right], \]
ao passo que para \(n=2\) se tem
\[ I_2=\left[0,\frac{3}{2}\right]. \]
Logo, \(I_2\) não está contido em \(I_1\). Com efeito,
\[ \frac{3}{2}\in I_2, \qquad \frac{3}{2}\notin I_1. \]
A sucessão de intervalos não é, pois, encaixada.
Embora os intervalos sejam fechados, limitados e não vazios, falha a hipótese de encaixe. Por conseguinte, o teorema dos intervalos encaixados não é aplicável.
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Considere-se a sucessão de intervalos
\[ I_n=\left(0,1+\frac{1}{n}\right). \]
Estabeleça-se se o teorema dos intervalos encaixados é aplicável e determine-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
O teorema dos intervalos encaixados não é aplicável, porque os intervalos não são fechados. Além disso,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,1+\frac{1}{n}\right)=(0,1]. \]
Resolução
Os intervalos são abertos, limitados, não vazios e encaixados, uma vez que o extremo direito \(1+\displaystyle\frac{1}{n}\) decresce para \(1\).
Contudo, o teorema dos intervalos encaixados exige intervalos fechados e limitados. Como os intervalos \(I_n\) não são fechados, o teorema não é aplicável.
Determinemos agora a intersecção. Se \(0\lt x\leq1\), então
\[ 0\lt x\lt1+\frac{1}{n} \]
para todo \(n\in\mathbb N\), pelo que \(x\in I_n\) para todo \(n\).
Por conseguinte,
\[ (0,1]\subseteq\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Reciprocamente, se \(x\leq0\), então \(x\notin I_n\) para todo \(n\). Se, pelo contrário, \(x\gt1\), então \(x-1\gt0\), e pela propriedade arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac{1}{n}\lt x-1. \]
Donde
\[ 1+\frac{1}{n}\lt x. \]
Para esse \(n\), o número \(x\) não pertence a \(I_n\).
Concluímos que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,1+\frac{1}{n}\right)=(0,1]. \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Construa-se uma sucessão de intervalos fechados e limitados, encaixados e com amplitude tendente para zero, cuja intersecção seja \(\{\sqrt{2}\}\).
Resultado
Um exemplo possível é
\[ I_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]. \]
Nesse caso,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Resolução
Consideremos
\[ I_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]. \]
Cada \(I_n\) é um intervalo fechado, limitado e não vazio.
À medida que \(n\) cresce, o extremo esquerdo cresce para \(\sqrt{2}\), enquanto o extremo direito decresce para \(\sqrt{2}\). Logo, os intervalos são encaixados.
A amplitude de \(I_n\) é
\[ \left(\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right)-\left(\sqrt{2}-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}. \]
Uma vez que \( \displaystyle \frac{2}{n}\to0\), o teorema dos intervalos encaixados garante que a intersecção contém um só ponto.
O ponto \(\sqrt{2}\) pertence a todos os intervalos, pois encontra-se sempre entre os extremos \(\sqrt{2}-\displaystyle \frac{1}{n}\) e \(\sqrt{2}+\displaystyle \frac{1}{n}\).
Por conseguinte, o único ponto comum a todos os intervalos é \(\sqrt{2}\), isto é,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]=\{\sqrt{2}\}. \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Seja \(f(x)=x^2-2\). Considere-se o intervalo inicial \([1,2]\), no qual \(f(1)\lt0\) e \(f(2)\gt0\). Construa-se, por bissecção, uma sucessão de intervalos fechados e encaixados que contenha sempre uma solução da equação
\[ x^2=2. \]
Explique-se por que razão a intersecção contém um único ponto.
Resultado
O método da bissecção produz uma sucessão de intervalos fechados, limitados e encaixados, com amplitude tendente para zero. A intersecção contém um único ponto, que é \(\sqrt{2}\).
Resolução
Partimos do intervalo
\[ I_1=[1,2]. \]
Como \(f(1)=1^2-2=-1\) e \(f(2)=2^2-2=2\), a função muda de sinal entre \(1\) e \(2\).
Dividimos \(I_1\) em duas partes iguais e escolhemos a metade na qual a função volta a mudar de sinal. Chamamos \(I_2\) a esse intervalo. Repetindo o procedimento, obtemos uma sucessão de intervalos
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Por construção, cada \(I_n\) é fechado, limitado e não vazio. Além disso, os intervalos são encaixados.
Em cada passo a amplitude é reduzida a metade. Como a amplitude inicial é \(1\), a amplitude de \(I_n\) é
\[ \frac{1}{2^{n-1}}. \]
Visto que
\[ \frac{1}{2^{n-1}}\to0, \]
o teorema dos intervalos encaixados garante que a intersecção contém um único ponto.
Designemos por \(x_0\) o único ponto que pertence a todos os intervalos \(I_n\). Por construção, cada intervalo \(I_n\) contém pelo menos uma solução da equação \(x^2=2\).
Designemos por \(x_0\) o único ponto que pertence a todos os intervalos \(I_n\). Por construção, em cada passo escolhemos um subintervalo que contém a solução positiva da equação \(x^2=2\).
Essa solução positiva é \(\sqrt{2}\). Portanto, \(\sqrt{2}\in I_n\) para todo \(n\in\mathbb N\). Como a intersecção de todos os intervalos contém um único ponto, esse ponto deve ser precisamente \(\sqrt{2}\).
Por conseguinte,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Sejam \((a_n)\) e \((b_n)\) duas sucessões reais tais que
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Suponhamos, além disso, que
\[ b_n-a_n\to0. \]
Demonstre-se que as duas sucessões convergem para o mesmo limite.
Resultado
As sucessões \((a_n)\) e \((b_n)\) convergem para o mesmo limite.
Resolução
Consideremos os intervalos
\[ I_n=[a_n,b_n]. \]
A condição
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
implica que
\[ I_{n+1}\subseteq I_n \]
para todo \(n\). Logo, \((I_n)\) é uma sucessão de intervalos encaixados.
Além disso, os intervalos são fechados, limitados e não vazios. Como \(b_n-a_n\to0\), o teorema dos intervalos encaixados garante que existe um único ponto \(x_0\) tal que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\}. \]
Visto que \(x_0\in I_n\) para todo \(n\), tem-se
\[ a_n\leq x_0\leq b_n \]
para todo \(n\).
Desta dupla desigualdade resulta
\[ 0\leq x_0-a_n\leq b_n-a_n \]
e também
\[ 0\leq b_n-x_0\leq b_n-a_n. \]
Como \(b_n-a_n\to0\), pelo teorema do enquadramento obtemos
\[ a_n\to x_0 \qquad\text{e}\qquad b_n\to x_0. \]
Por conseguinte, as duas sucessões convergem para o mesmo limite.
Exercício 19 — nível ★★★★★
Mostre-se que o teorema dos intervalos encaixados pode falhar em \(\mathbb Q\).
Resultado
Em \(\mathbb Q\) existem sucessões de intervalos racionais fechados, limitados e encaixados, com amplitude tendente para zero, cuja intersecção é vazia.
Resolução
Construímos intervalos racionais que encerram cada vez mais estreitamente o número irracional \(\sqrt{2}\).
Sejam \(a_n\) e \(b_n\) números racionais tais que
\[ a_n\lt\sqrt{2}\lt b_n \]
e tais que
\[ b_n-a_n\to0. \]
Por exemplo, podem tomar-se \(a_n\) e \(b_n\) como aproximações decimais racionais de \(\sqrt{2}\), por defeito e por excesso, respectivamente.
Escolhamo-los, além disso, de modo que os intervalos
\[ [a_n,b_n] \]
sejam encaixados.
Consideremos agora os conjuntos
\[ I_n=[a_n,b_n]\cap\mathbb Q. \]
Em \(\mathbb Q\), os conjuntos \(I_n\) são intervalos racionais fechados e limitados, relativamente à topologia relativa e à ordem usual de \(\mathbb Q\). São, além disso, encaixados e a sua amplitude tende para zero.
Em \(\mathbb R\), a intersecção dos intervalos \([a_n,b_n]\) é o único ponto \(\sqrt{2}\):
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[a_n,b_n]=\{\sqrt{2}\}. \]
Contudo,
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Logo, se trabalharmos dentro de \(\mathbb Q\), nenhum número racional pertence a todos os intervalos \(I_n\).
Por conseguinte,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\varnothing. \]
Isto mostra que o teorema dos intervalos encaixados depende da completude de \(\mathbb R\) e pode falhar em \(\mathbb Q\).
Exercício 20 — nível ★★★★★
Demonstre-se a seguinte forma do teorema dos intervalos encaixados: se
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad I_{n+1}\subseteq I_n \]
para todo \(n\in\mathbb N\), e se
\[ b_n-a_n\to0, \]
então existe um único ponto que pertence a todos os intervalos \(I_n\).
Resultado
Existe um único \(x_0\in\mathbb R\) tal que
\[ x_0\in I_n \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Resolução
Uma vez que os intervalos são encaixados, tem-se
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
para todo \(n\).
Logo, a sucessão \((a_n)\) é crescente, enquanto a sucessão \((b_n)\) é decrescente.
Mostremos que cada \(b_n\) é um majorante do conjunto \(\{a_k:k\in\mathbb N\}\). Com efeito, se \(k\leq n\), então
\[ a_k\leq a_n\leq b_n. \]
Se, pelo contrário, \(k>n\), então
\[ a_k\leq b_k\leq b_n. \]
Em qualquer caso, \(a_k\leq b_n\). Portanto, cada \(b_n\) é um majorante de \(\{a_k:k\in\mathbb N\}\).
Pela completude de \(\mathbb R\), existe
\[ x_0=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}. \]
Em consequência, tem-se
\[ x_0\leq b_n \]
para todo \(n\). Além disso, pela definição de supremo, tem-se
\[ a_n\leq x_0 \]
para todo \(n\).
Assim,
\[ a_n\leq x_0\leq b_n \]
para todo \(n\), e, portanto, \(x_0\in I_n\) para todo \(n\).
Ficou assim demonstrado que a intersecção não é vazia.
Mostremos agora a unicidade. Suponhamos que \(x\) e \(y\) pertencem a todos os intervalos \(I_n\), com \(x\leq y\). Então, para todo \(n\),
\[ a_n\leq x\leq y\leq b_n. \]
Segue-se que
\[ 0\leq y-x\leq b_n-a_n. \]
Como \(b_n-a_n\to0\), obtemos \(y-x=0\), isto é, \(x=y\).
Logo, o ponto comum a todos os intervalos é único.