O teorema dos intervalos encaixados — conhecido também como teorema de Cantor dos intervalos encaixados — é um dos resultados fundamentais da análise real: afirma que toda a sucessão de intervalos fechados e limitados, contidos uns nos outros, possui sempre pelo menos um ponto em comum.
Este resultado é uma consequência da completude dos números reais e constitui uma ferramenta essencial para demonstrar numerosos teoremas fundamentais, entre os quais o teorema de Bolzano-Weierstrass.
Nas secções que se seguem enunciaremos o teorema, daremos a sua demonstração, discutiremos a sua interpretação geométrica, mostraremos por que razão as hipóteses são indispensáveis e analisaremos a sua relação com a completude de \(\mathbb{R}\).
Índice
- Teorema dos intervalos encaixados
- Interpretação geométrica
- As hipóteses são necessárias
- Exemplos de aplicação
- Relação com a completude de \(\mathbb{R}\)
Teorema dos intervalos encaixados
Consideremos uma sucessão de intervalos fechados e limitados
\[ I_n=[a_n,b_n],\qquad a_n\leq b_n,\qquad n\in\mathbb{N}, \]
tais que cada intervalo esteja contido no anterior:
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Uma sucessão deste tipo recebe o nome de sucessão de intervalos encaixados. A condição de inclusão \(I_{n+1}\subseteq I_n\) equivale a
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \qquad \forall n\in\mathbb{N}, \]
ou seja: os extremos inferiores formam uma sucessão crescente e os extremos superiores uma sucessão decrescente.
Teorema (de Cantor, dos intervalos encaixados). Seja \((I_n)\) uma sucessão de intervalos fechados e limitados, não vazios, tais que
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Então a intersecção é não vazia:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n\neq\varnothing. \]
Mais precisamente, pondo
\[ x_0=\sup_{n}\,a_n \qquad\text{e}\qquad y_0=\inf_{n}\,b_n, \]
tem-se
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0]. \]
Se, além disso, a amplitude dos intervalos tender para zero,
\[ b_n-a_n\longrightarrow 0, \]
então a intersecção reduz-se a um único ponto:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\}. \]
Demonstração. Procedemos por passos.
1. Comparação entre extremos. Para todo o par de índices \(m,n\in\mathbb{N}\) verifica-se
\[ a_m\leq b_n. \]
Com efeito, se \(m\leq n\) tem-se \(a_m\leq a_n\leq b_n\); se, pelo contrário, \(m\gt n\), tem-se \(a_m\leq b_m\leq b_n\). Em qualquer caso \(a_m\leq b_n\). Daqui resulta que cada \(b_n\) é um majorante do conjunto \(\{a_m:m\in\mathbb{N}\}\) e, simetricamente, cada \(a_m\) é um minorante do conjunto \(\{b_n:n\in\mathbb{N}\}\).
2. Existência de \(x_0\) e \(y_0\). O conjunto \(\{a_n\}\) é não vazio e majorado (por exemplo, por \(b_1\)). Pela completude de \(\mathbb{R}\) existe o seu supremo
\[ x_0=\sup_{n}\,a_n. \]
Analogamente, \(\{b_n\}\) é não vazio e minorado, pelo que existe
\[ y_0=\inf_{n}\,b_n. \]
3. Desigualdade \(x_0\leq y_0\). Visto que cada \(b_n\) é um majorante de \(\{a_m\}\) e \(x_0\) é o menor dos majorantes, resulta \(x_0\leq b_n\) para todo o \(n\). Logo \(x_0\) é um minorante de \(\{b_n\}\) e, dado que \(y_0\) é o maior dos minorantes,
\[ x_0\leq y_0. \]
4. Identificação da intersecção. Mostremos que \(\displaystyle\bigcap_{n} I_n=[x_0,y_0]\) por dupla inclusão.
Se \(x\in\bigcap_{n} I_n\), então \(a_n\leq x\leq b_n\) para todo o \(n\); logo \(x\) é um majorante de \(\{a_n\}\) e um minorante de \(\{b_n\}\), donde \(x\geq x_0\) e \(x\leq y_0\), isto é, \(x\in[x_0,y_0]\).
Reciprocamente, se \(x\in[x_0,y_0]\), então, para todo o \(n\),
\[ a_n\leq x_0\leq x\leq y_0\leq b_n, \]
e, portanto, \(x\in I_n\) para todo o \(n\), isto é, \(x\in\bigcap_{n} I_n\). As duas inclusões provam a igualdade
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0], \]
que é não vazia, visto que contém \(x_0\).
5. Caso da amplitude infinitesimal. Suponhamos agora que \(b_n-a_n\longrightarrow 0\). Das relações \(x_0\geq a_n\) e \(y_0\leq b_n\) resulta, para todo o \(n\),
\[ 0\leq y_0-x_0\leq b_n-a_n. \]
Passando ao limite quando \(n\to+\infty\), o segundo membro tende para \(0\), pelo que \(y_0-x_0=0\), isto é, \(x_0=y_0\). O intervalo \([x_0,y_0]\) reduz-se então a um único ponto:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0], \qquad \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\} \ \text{se}\ b_n-a_n\to0. \]
Isto conclui a demonstração.
Interpretação geométrica
O teorema afirma que, ao restringir progressivamente uma sucessão de intervalos fechados contidos uns nos outros, não é possível «perder» todos os pontos: sobrevive sempre pelo menos um, comum a todos os intervalos da sucessão.
Geometricamente, podemos imaginar uma sucessão de segmentos cada vez mais curtos, cada um interior ao anterior. Se as amplitudes \(b_n-a_n\) não tenderem para zero, a intersecção continua a ser um intervalo \([x_0,y_0]\) de amplitude positiva; se, pelo contrário, as amplitudes se tornarem arbitrariamente pequenas, os segmentos concentram-se em torno de uma única posição \(x_0\) da recta real, e a intersecção é esse único ponto.
As hipóteses são necessárias
As hipóteses de os intervalos serem fechados e limitados não são supérfluas: se faltar uma só delas, a tese pode revelar-se falsa.
A limitação é essencial. Consideremos os intervalos ilimitados
\[ I_n=[\,n,+\infty\,). \]
São fechados, não vazios e encaixados, mas a sua intersecção é vazia:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} [\,n,+\infty\,)=\varnothing, \]
pois nenhum número real é maior ou igual a todo o natural \(n\).
O carácter fechado é essencial. Consideremos os intervalos abertos
\[ I_n=\left(0,\frac1n\right). \]
São limitados, não vazios e encaixados, mas também neste caso
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac1n\right)=\varnothing, \]
porque um eventual ponto comum \(x\) teria de satisfazer \(0\lt x\lt \displaystyle \frac1n\) para todo o \(n\), o que é impossível, dado que \(\displaystyle \frac1n\to 0\).
Exemplos de aplicação
Exemplo 1. Consideremos os intervalos
\[ I_n=\left[0,\frac1n\right]. \]
São fechados, limitados, não vazios e encaixados, e a amplitude \(\displaystyle \frac1n\to 0\). Por conseguinte,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[0,\frac1n\right]=\{0\}. \]
Exemplo 2. Consideremos os intervalos
\[ I_n=\left[-\frac1n,\frac1n\right]. \]
Também aqui a amplitude \(\displaystyle \frac2n\to 0\), e a intersecção vale
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac1n,\frac1n\right]=\{0\}. \]
Exemplo 3. Se, pelo contrário, a amplitude não tender para zero, a intersecção é um intervalo não degenerado. Por exemplo, com
\[ I_n=\left[-\frac1n,\,1+\frac1n\right] \]
tem-se \(x_0=\sup_n\!\left(-\displaystyle \frac1n\right)=0\) e \(y_0=\inf_n\!\left(1+\displaystyle \frac1n\right)=1\), donde
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac1n,\,1+\frac1n\right]=[0,1]. \]
Relação com a completude de \(\mathbb{R}\)
O teorema dos intervalos encaixados é uma consequência directa da completude dos números reais: na demonstração utilizámos de modo essencial a existência do supremo \(x_0=\sup_n a_n\) (e do ínfimo \(y_0=\inf_n b_n\)).
Esta propriedade não se verifica no corpo dos racionais. Construamos, por exemplo, uma sucessão de intervalos racionais encaixados que «aperta» o número irracional \(\sqrt{2}\): sejam \(a_n\) e \(b_n\) os truncamentos decimais por defeito e por excesso de \(\sqrt{2}\),
\[ a_1=1{,}4,\ a_2=1{,}41,\ a_3=1{,}414,\ \ldots \qquad b_n=a_n+10^{-n}. \]
Os conjuntos
\[ I_n=[a_n,b_n]\cap\mathbb Q. \]
São encaixados e têm amplitude \(10^{-n}\to 0\). Em \(\mathbb R\), a intersecção dos intervalos \([a_n,b_n]\) é \(\{\sqrt2\}\); mas em \(\mathbb Q\), onde \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), resulta
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\varnothing. \]
O teorema reflecte, pois, a ausência de «buracos» na recta real.
Observação (caracterização da completude). Convém precisar que a propriedade dos intervalos encaixados, por si só, não é equivalente à completude: só o é quando acompanhada da propriedade arquimediana de \(\mathbb{R}\). Por outras palavras, num corpo ordenado arquimediano, a propriedade dos intervalos encaixados é equivalente à propriedade do supremo. É precisamente a propriedade arquimediana (isto é, \(\displaystyle \frac1n\to 0\)) que garante, nos nossos exemplos, que a amplitude dos intervalos tende efectivamente para zero.
Por esta razão, o teorema dos intervalos encaixados representa uma ferramenta fundamental na análise matemática e intervém na demonstração de numerosos resultados clássicos, entre os quais o teorema de Bolzano-Weierstrass e o teorema de Heine-Borel.