Uma coleção progressiva de 20 exercícios resolvidos sobre o valor absoluto, concebida para aprender a usar corretamente a definição de valor absoluto, o seu significado geométrico e as principais propriedades operativas.
Em cada exercício, o valor absoluto não é tratado como uma simples regra mecânica para "eliminar o sinal negativo", mas como uma quantidade que mede uma distância. Por este motivo, cada passo é justificado com rigor, distinguindo os casos em que a expressão dentro do módulo é positiva, nula ou negativa.
Os exercícios partem do cálculo direto de valores absolutos numéricos e chegam gradualmente a expressões literais, distâncias na reta real, simplificações com módulos e primeiras equações com valor absoluto.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ |7| \]
Resultado
\[ |7|=7 \]
Resolução
O valor absoluto de um número real mede a sua distância a \(0\) na reta real. Como uma distância não pode ser negativa, o valor absoluto é sempre um número maior ou igual a zero.
Neste caso, o número dentro do valor absoluto é \(7\). Como:
\[ 7>0, \]
devemos aplicar o primeiro caso da definição:
\[ |x|=x \qquad \text{se } x\geq 0. \]
Portanto:
\[ |7|=7. \]
Geometricamente, isto significa que o número \(7\) se encontra a uma distância de \(7\) de \(0\) na reta real.
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ |-9| \]
Resultado
\[ |-9|=9 \]
Resolução
O número dentro do valor absoluto é \(-9\), ou seja, um número negativo.
Neste caso, devemos aplicar o segundo ramo da definição de valor absoluto:
\[ |x|=-x \qquad \text{se } x<0. \]
Aqui \(x=-9\). Portanto:
\[ |-9|=-(-9). \]
Como o oposto de \(-9\) é \(9\), obtemos:
\[ |-9|=9. \]
Isto não significa que o valor absoluto "muda sempre o sinal". Significa antes que devolve a distância do número a \(0\). O número \(-9\) encontra-se a \(9\) unidades de \(0\), pelo que o seu valor absoluto é \(9\).
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ |0| \]
Resultado
\[ |0|=0 \]
Resolução
O valor absoluto de \(0\) é \(0\), porque \(0\) tem distância nula a si mesmo.
Podemos também verificar diretamente pela definição. Como:
\[ 0\geq 0, \]
aplica-se o primeiro caso:
\[ |x|=x \qquad \text{se } x\geq 0. \]
Substituindo \(x=0\), obtemos:
\[ |0|=0. \]
Este exemplo é importante porque mostra que o valor absoluto não devolve sempre um número positivo, mas sim um número não negativo. De facto, \(0\) não é positivo: é nulo.
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Calcular:
\[ |3-8| \]
Resultado
\[ |3-8|=5 \]
Resolução
Antes de aplicar o valor absoluto, devemos calcular a expressão que se encontra no seu interior.
Temos:
\[ 3-8=-5. \]
Portanto a expressão torna-se:
\[ |3-8|=|-5|. \]
O número \(-5\) é negativo. Por definição, se \(x<0\), então:
\[ |x|=-x. \]
Aplicando esta regra a \(x=-5\), obtemos:
\[ |-5|=-(-5)=5. \]
Logo:
\[ |3-8|=5. \]
O erro a evitar é escrever imediatamente \(|3-8|=3-8\). Isso estaria errado, porque primeiro é necessário determinar se a expressão interior é positiva, nula ou negativa.
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Calcular:
\[ |-4|+|6|-|{-2}| \]
Resultado
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=8 \]
Resolução
A expressão contém vários valores absolutos. Convém calculá-los um a um, observando o sinal dos números que aparecem no interior dos módulos.
Consideremos o primeiro valor absoluto:
\[ |-4|. \]
Como \(-4\) é negativo, o seu valor absoluto é o seu oposto:
\[ |-4|=4. \]
Consideremos agora:
\[ |6|. \]
Como \(6\) é positivo, o valor absoluto coincide com o próprio número:
\[ |6|=6. \]
Por fim:
\[ |{-2}|. \]
Como \(-2\) é negativo, temos:
\[ |{-2}|=2. \]
Substituindo estes valores na expressão inicial:
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=4+6-2. \]
Realizando os cálculos:
\[ 4+6-2=10-2=8. \]
Portanto:
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=8. \]
Este exercício mostra que o valor absoluto deve ser calculado antes das operações externas. Só depois de ter eliminado corretamente os módulos podemos efetuar somas e subtrações.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Calcular:
\[ |2-7|+|-3| \]
Resultado
\[ |2-7|+|-3|=8 \]
Resolução
Para calcular corretamente a expressão, devemos primeiro simplificar o que se encontra no interior dos valores absolutos.
Consideremos o primeiro módulo:
\[ |2-7|. \]
Efetuamos a subtração:
\[ 2-7=-5. \]
Portanto:
\[ |2-7|=|-5|. \]
Como \(-5\) é negativo, o seu valor absoluto é:
\[ |-5|=5. \]
Consideremos agora o segundo valor absoluto:
\[ |-3|. \]
Também \(-3\) é negativo, pelo que:
\[ |-3|=3. \]
Substituindo estes resultados na expressão inicial, obtemos:
\[ |2-7|+|-3|=5+3. \]
Efetuando a soma:
\[ 5+3=8. \]
Logo:
\[ |2-7|+|-3|=8. \]
Do ponto de vista geométrico, os valores absolutos representam distâncias na reta real. As distâncias são sempre quantidades não negativas, razão pela qual os módulos são transformados em números positivos ou nulos.
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ |x| \qquad \text{sabendo que } x<0 \]
Resultado
\[ |x|=-x \]
Resolução
A expressão contém uma variável, pelo que não podemos calcular diretamente o valor absoluto como fizemos nos exercícios numéricos. Devemos em vez disso recorrer à definição.
O enunciado diz-nos que:
\[ x<0. \]
Isto significa que \(x\) é um número negativo.
Por definição:
\[ |x|= \begin{cases} x & \text{se } x\geq 0,\\ -x & \text{se } x<0. \end{cases} \]
Como nos encontramos no caso \(x<0\), devemos aplicar o segundo ramo da definição:
\[ |x|=-x. \]
É importante compreender o significado desta expressão. Se \(x\) é negativo, então \(-x\) é positivo. Por exemplo, se:
\[ x=-4, \]
então:
\[ |x|=-(-4)=4. \]
Portanto:
\[ |x|=-x \qquad \text{quando } x<0. \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ |x-3| \qquad \text{sabendo que } x>3 \]
Resultado
\[ |x-3|=x-3 \]
Resolução
Para eliminar o valor absoluto devemos estudar o sinal da expressão que se encontra no seu interior.
No interior do módulo aparece:
\[ x-3. \]
O enunciado diz-nos que:
\[ x>3. \]
Subtraindo \(3\) de ambos os membros da inequação, obtemos:
\[ x-3>0. \]
Portanto a expressão dentro do valor absoluto é positiva.
Quando uma quantidade é positiva ou nula, o valor absoluto coincide com a própria quantidade:
\[ |a|=a \qquad \text{se } a\geq 0. \]
Aplicando esta propriedade com \(a=x-3\), obtemos:
\[ |x-3|=x-3. \]
Geometricamente, isto significa que, para valores de \(x\) maiores do que \(3\), a distância entre \(x\) e \(3\) coincide simplesmente com \(x-3\).
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Simplificar:
\[ |x-3| \qquad \text{sabendo que } x<3 \]
Resultado
\[ |x-3|=3-x \]
Resolução
Também neste exercício devemos estudar o sinal da expressão que aparece dentro do módulo.
A expressão é:
\[ x-3. \]
O enunciado diz-nos que:
\[ x<3. \]
Subtraindo \(3\) de ambos os membros, obtemos:
\[ x-3<0. \]
Portanto a expressão dentro do valor absoluto é negativa.
Quando uma quantidade é negativa, o valor absoluto é igual ao seu oposto:
\[ |a|=-a \qquad \text{se } a<0. \]
Aplicando esta regra a \(a=x-3\), obtemos:
\[ |x-3|=-(x-3). \]
Agora eliminamos o parêntesis mudando o sinal a todos os termos:
\[ -(x-3)=-x+3. \]
Podemos também escrever:
\[ -x+3=3-x. \]
Portanto:
\[ |x-3|=3-x. \]
Este resultado é coerente com a interpretação geométrica do valor absoluto. Se \(x\) se encontra à esquerda de \(3\) na reta real, a distância entre \(x\) e \(3\) é dada por \(3-x\).
Exercício 10 — nível ★★★☆☆
Calcular:
\[ |{-3}\cdot 4| \]
Resultado
\[ |{-3}\cdot 4|=12 \]
Resolução
Podemos resolver o exercício de dois modos diferentes.
O primeiro método consiste em calcular primeiro o produto dentro do valor absoluto.
Temos:
\[ -3\cdot 4=-12. \]
Portanto:
\[ |{-3}\cdot 4|=|-12|. \]
Como \(-12\) é negativo:
\[ |-12|=12. \]
Obtemos assim:
\[ |{-3}\cdot 4|=12. \]
Podemos, no entanto, usar também a propriedade do valor absoluto do produto:
\[ |ab|=|a|\cdot |b|. \]
Aplicando-a, obtemos:
\[ |{-3}\cdot 4|=|{-3}|\cdot |4|. \]
Agora:
\[ |{-3}|=3 \qquad \text{e} \qquad |4|=4. \]
Portanto:
\[ |{-3}\cdot 4|=3\cdot 4=12. \]
Os dois métodos conduzem ao mesmo resultado:
\[ |{-3}\cdot 4|=12. \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Calcular:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right| \]
Resultado
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4 \]
Resolução
Também neste exercício podemos proceder de dois modos diferentes.
O primeiro método consiste em calcular primeiro a divisão que aparece no interior do valor absoluto.
Temos:
\[ \frac{-12}{3}=-4. \]
A expressão torna-se então:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=|-4|. \]
Como \(-4\) é negativo, o seu valor absoluto é o seu oposto:
\[ |-4|=4. \]
Logo:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4. \]
Podemos, no entanto, usar também a propriedade do valor absoluto do quociente:
\[ \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|} \qquad \text{com } b\neq 0. \]
Aplicando esta propriedade, obtemos:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right| = \frac{|-12|}{|3|}. \]
Agora:
\[ |-12|=12 \qquad \text{e} \qquad |3|=3. \]
Portanto:
\[ \frac{|-12|}{|3|} = \frac{12}{3}=4. \]
Também com este método obtemos:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4. \]
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Simplificar:
\[ \sqrt{(-5)^2} \]
Resultado
\[ \sqrt{(-5)^2}=5 \]
Resolução
Este exercício é muito importante porque permite esclarecer uma das propriedades fundamentais do valor absoluto:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Muitos estudantes escrevem erroneamente:
\[ \sqrt{x^2}=x, \]
mas esta igualdade não é verdadeira para todos os números reais. A raiz quadrada principal devolve sempre um número não negativo.
No nosso caso:
\[ \sqrt{(-5)^2}=|-5|. \]
Calculemos agora o valor absoluto:
\[ |-5|=5. \]
Portanto:
\[ \sqrt{(-5)^2}=5. \]
Podemos também verificar o resultado diretamente:
\[ (-5)^2=25. \]
Logo:
\[ \sqrt{25}=5. \]
O resultado é \(5\), e não \(-5\), porque a raiz quadrada principal é sempre não negativa.
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Calcular a distância entre os números:
\[ -2 \qquad \text{e} \qquad 5 \]
Resultado
\[ 7 \]
Resolução
A distância entre dois números reais \(a\) e \(b\) calcula-se através do valor absoluto da sua diferença:
\[ |a-b|. \]
Neste exercício os dois números são:
\[ a=-2 \qquad \text{e} \qquad b=5. \]
Podemos então escrever:
\[ |-2-5|. \]
Efetuamos a subtração:
\[ -2-5=-7. \]
Obtemos:
\[ |-7|. \]
Como \(-7\) é negativo:
\[ |-7|=7. \]
Logo a distância entre \(-2\) e \(5\) é:
\[ 7. \]
Geometricamente, isto significa que, na reta real, são necessárias \(7\) unidades para ir de \(-2\) a \(5\).
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Simplificar:
\[ |x|^2 \]
Resultado
\[ |x|^2=x^2 \]
Resolução
Uma propriedade fundamental do valor absoluto afirma que:
\[ |x|^2=x^2. \]
Esta igualdade é verdadeira para qualquer número real \(x\).
Para compreender porquê, devemos distinguir dois casos.
Primeiro caso: \(x\geq 0\).
Neste caso:
\[ |x|=x. \]
Elevando ao quadrado:
\[ |x|^2=x^2. \]
Segundo caso: \(x<0\).
Neste caso:
\[ |x|=-x. \]
Elevando ao quadrado:
\[ |x|^2=(-x)^2. \]
Mas o quadrado de um número e o quadrado do seu oposto coincidem:
\[ (-x)^2=x^2. \]
Portanto também neste caso:
\[ |x|^2=x^2. \]
Podemos assim concluir que:
\[ |x|^2=x^2 \]
para qualquer número real \(x\).
Exercício 15 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ |x|=4 \]
Resultado
\[ S=\{-4,4\} \]
Resolução
A equação:
\[ |x|=4 \]
pede para encontrar todos os números que têm distância \(4\) de \(0\) na reta real.
Existem dois números com esta propriedade:
\[ 4 \qquad \text{e} \qquad -4. \]
De facto:
\[ |4|=4 \]
e:
\[ |-4|=4. \]
Podemos então escrever:
\[ x=4 \qquad \text{ou} \qquad x=-4. \]
O conjunto solução é portanto:
\[ S=\{-4,4\}. \]
Em geral, quando:
\[ |x|=a \qquad \text{com } a>0, \]
as soluções são:
\[ x=\pm a. \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ |x|=0 \]
Resultado
\[ S=\{0\} \]
Resolução
O valor absoluto de um número representa a sua distância a \(0\) na reta real.
A equação:
\[ |x|=0 \]
pede então para encontrar todos os números que têm distância nula de \(0\).
Existe um único número com esta propriedade:
\[ x=0. \]
De facto:
\[ |0|=0. \]
Nenhum outro número satisfaz a equação, porque o valor absoluto de um número diferente de zero é sempre estritamente positivo.
Podemos assim concluir que:
\[ S=\{0\}. \]
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ |x|=-3 \]
Resultado
\[ S=\varnothing \]
Resolução
O valor absoluto de um número real é sempre maior ou igual a zero. De facto:
\[ |x|\geq 0 \]
para qualquer número real \(x\).
Na equação:
\[ |x|=-3 \]
o segundo membro é negativo.
Tal é impossível, porque uma distância não pode ser negativa.
Não existe portanto nenhum número real cujo valor absoluto seja igual a \(-3\).
Logo a equação não tem soluções:
\[ S=\varnothing. \]
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Resolver:
\[ |x-2|=5 \]
Resultado
\[ S=\{-3,7\} \]
Resolução
A equação:
\[ |x-2|=5 \]
exprime uma distância. Em particular, \(|x-2|\) representa a distância entre \(x\) e \(2\) na reta real.
A equação pede então para encontrar todos os números que distam \(5\) unidades de \(2\).
Na reta real existem duas possibilidades:
- o número encontra-se \(5\) unidades à direita de \(2\);
- o número encontra-se \(5\) unidades à esquerda de \(2\).
Do ponto de vista algébrico, isto significa resolver as duas equações:
\[ x-2=5 \]
ou:
\[ x-2=-5. \]
Resolvemos a primeira:
\[ x-2=5. \]
Somando \(2\) a ambos os membros:
\[ x=7. \]
Resolvemos agora a segunda:
\[ x-2=-5. \]
Somando \(2\) a ambos os membros:
\[ x=-3. \]
As soluções da equação são portanto:
\[ x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=7. \]
Logo:
\[ S=\{-3,7\}. \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
Resolver:
\[ |2x-1|=7 \]
Resultado
\[ S=\left\{-3,4\right\} \]
Resolução
Quando uma equação tem a forma:
\[ |A|=k \qquad \text{com } k>0, \]
devemos considerar duas possibilidades:
\[ A=k \]
ou:
\[ A=-k. \]
No nosso caso:
\[ A=2x-1 \qquad \text{e} \qquad k=7. \]
Devemos portanto resolver as duas equações:
\[ 2x-1=7 \]
ou:
\[ 2x-1=-7. \]
Resolvemos a primeira:
\[ 2x-1=7. \]
Somamos \(1\) a ambos os membros:
\[ 2x=8. \]
Dividindo por \(2\):
\[ x=4. \]
Passamos agora à segunda equação:
\[ 2x-1=-7. \]
Somamos \(1\):
\[ 2x=-6. \]
Dividindo por \(2\):
\[ x=-3. \]
As soluções da equação são portanto:
\[ x=-3 \qquad \text{ou} \qquad x=4. \]
Logo:
\[ S=\left\{-3,4\right\}. \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolver:
\[ |x+4|=|x-2| \]
Resultado
\[ S=\{-1\} \]
Resolução
A equação:
\[ |x+4|=|x-2| \]
compara duas distâncias.
O termo:
\[ |x+4|=|x-(-4)| \]
representa a distância entre \(x\) e \(-4\).
O termo:
\[ |x-2| \]
representa a distância entre \(x\) e \(2\).
A equação pede então para encontrar o ponto da reta real que tem a mesma distância a \(-4\) e a \(2\).
Intuitivamente, esse ponto é o ponto médio entre \(-4\) e \(2\).
Calculemos agora a solução de forma algébrica.
Elevamos ao quadrado ambos os membros:
\[ |x+4|^2=|x-2|^2. \]
Como:
\[ |a|^2=a^2, \]
obtemos:
\[ (x+4)^2=(x-2)^2. \]
Desenvolvemos ambos os quadrados:
\[ x^2+8x+16=x^2-4x+4. \]
Eliminamos \(x^2\) de ambos os membros:
\[ 8x+16=-4x+4. \]
Passamos os termos em \(x\) para o primeiro membro e os termos independentes para o segundo:
\[ 8x+4x=4-16. \]
Obtemos:
\[ 12x=-12. \]
Dividindo por \(12\):
\[ x=-1. \]
Verifiquemos:
\[ |-1+4|=|3|=3 \]
e:
\[ |-1-2|=|-3|=3. \]
Os dois membros coincidem, portanto a solução está correta.
Logo:
\[ S=\{-1\}. \]