O logaritmo surge como operação inversa da potenciação. Se uma potência permite determinar o resultado conhecendo a base e o expoente, o logaritmo permite determinar o expoente conhecendo a base e o resultado.
Mais precisamente, dada uma base \(b>0\), com \(b\neq 1\), e um número \(x>0\), o logaritmo de \(x\) na base \(b\), denotado por \(\log_b(x)\), é o expoente ao qual é necessário elevar \(b\) para obter \(x\). Em símbolos,
\[ \log_b(x)=y \iff b^y=x. \]
A partir desta definição, demonstraremos as principais propriedades dos logaritmos, que permitem transformar produtos, quocientes e potências em expressões mais simples. Veremos ainda as identidades fundamentais que relacionam logaritmos e exponenciais, juntamente com a fórmula de mudança de base.
Índice
- Definição de logaritmo
- Identidades fundamentais e valores notáveis
- Logaritmo de um produto
- Logaritmo de um quociente
- Logaritmo de uma potência
- Fórmula de mudança de base
Definição de logaritmo
Sejam \(b\) e \(x\) dois números reais tais que
\[ b>0,\qquad b\neq 1,\qquad x>0. \]
Uma vez que a função exponencial \(y\mapsto b^y\) é estritamente monótona e assume todos os valores reais positivos, para cada \(x>0\) existe um único número real \(y\) tal que
\[ b^y=x. \]
Esse número denomina-se logaritmo de \(x\) na base \(b\). Em símbolos,
\[ \log_b(x)=y \iff b^y=x. \]
A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de \(1\), enquanto o seu argumento deve ser estritamente positivo.
A condição \(b>0\) garante que a potência \(b^y\) esteja definida para todo expoente real \(y\). A condição \(b\neq 1\) é necessária porque
\[ 1^y=1 \]
para todo \(y\in\mathbb{R}\). Assim, quando \(b=1\), nenhum expoente produz um número positivo diferente de \(1\), ao passo que qualquer expoente real produz \(1\). Consequentemente, o logaritmo não pode ser definido como operação inversa.
Além disso, uma vez que
\[ b^y>0 \]
para todo \(y\in\mathbb{R}\), o logaritmo está definido apenas para argumentos positivos.
Por exemplo,
\[ \log_2(8)=3, \]
porque
\[ 2^3=8. \]
Analogamente,
\[ \log_3\left(\frac{1}{9}\right)=-2, \]
porque
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
O logaritmo pode, portanto, assumir valores positivos, nulos ou negativos, ao passo que o seu argumento deve ser sempre positivo.
Identidades fundamentais e valores notáveis
Uma vez que o logaritmo e a potenciação são operações inversas, verificam-se as identidades fundamentais
\[ b^{\log_b(x)}=x, \qquad x>0, \]
e
\[ \log_b(b^y)=y, \qquad y\in\mathbb{R}, \]
onde \(b>0\) e \(b\neq 1\).
A primeira identidade decorre imediatamente da definição de logaritmo: \(\log_b(x)\) é, por definição, o expoente ao qual é necessário elevar \(b\) para obter \(x\).
A segunda exprime a mesma relação em sentido inverso: o logaritmo na base \(b\) da potência \(b^y\) é igual ao expoente \(y\).
Da definição obtêm-se ainda dois valores notáveis:
\[ \log_b(1)=0 \]
porque
\[ b^0=1, \]
e
\[ \log_b(b)=1 \]
porque
\[ b^1=b. \]
Por exemplo,
\[ 5^{\log_5(12)}=12 \]
e
\[ \log_2(2^{-3})=-3. \]
Logaritmo de um produto
O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores. Se
\[ x>0,\qquad y>0, \]
então
\[ \log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y), \]
onde \(b>0\) e \(b\neq 1\).
Demonstração. Sejam
\[ u=\log_b(x) \qquad\text{e}\qquad v=\log_b(y). \]
Por definição de logaritmo,
\[ x=b^u \qquad\text{e}\qquad y=b^v. \]
Multiplicando as duas igualdades, obtemos
\[ xy=b^u\cdot b^v=b^{u+v}. \]
Tomando o logaritmo na base \(b\) em ambos os membros,
\[ \log_b(xy)=\log_b\left(b^{u+v}\right)=u+v. \]
Como \(u=\log_b(x)\) e \(v=\log_b(y)\), segue-se que
\[ \log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y). \]
Exemplo. Calculemos
\[ \log_2(4\cdot 8). \]
Aplicando a propriedade do produto,
\[ \log_2(4\cdot 8)=\log_2(4)+\log_2(8)=2+3=5. \]
Com efeito,
\[ 4\cdot 8=32 \qquad\text{e}\qquad \log_2(32)=5. \]
A propriedade estende-se a qualquer produto finito de fatores positivos. Se \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geq 2\), e \(x_1,\ldots,x_n>0\), então
\[ \log_b(x_1x_2\cdots x_n) = \log_b(x_1)+\log_b(x_2)+\cdots+\log_b(x_n). \]
Logaritmo de um quociente
O logaritmo de um quociente é igual à diferença entre o logaritmo do numerador e o logaritmo do denominador. Se
\[ x>0,\qquad y>0, \]
então
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y), \]
onde \(b>0\) e \(b\neq 1\).
Demonstração. Sejam
\[ u=\log_b(x) \qquad\text{e}\qquad v=\log_b(y). \]
Por definição de logaritmo,
\[ x=b^u \qquad\text{e}\qquad y=b^v. \]
Dividindo a primeira igualdade pela segunda, obtemos
\[ \frac{x}{y}=\frac{b^u}{b^v}=b^{u-v}. \]
Tomando o logaritmo na base \(b\) em ambos os membros,
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b\left(b^{u-v}\right) = u-v. \]
Uma vez que \(u=\log_b(x)\) e \(v=\log_b(y)\), segue-se que
\[ \log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b(x)-\log_b(y). \]
Exemplo. Calculemos
\[ \log_3\left(\frac{81}{9}\right). \]
Aplicando a propriedade do quociente,
\[ \log_3\left(\frac{81}{9}\right) = \log_3(81)-\log_3(9) = 4-2 = 2. \]
Com efeito,
\[ \frac{81}{9}=9 \qquad\text{e}\qquad \log_3(9)=2. \]
Logaritmo de uma potência
O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Se
\[ x>0 \]
e \(\alpha\in\mathbb{R}\), então
\[ \log_b(x^\alpha)=\alpha\log_b(x), \]
onde \(b>0\) e \(b\neq 1\).
Demonstração. Seja
\[ u=\log_b(x). \]
Por definição de logaritmo,
\[ x=b^u. \]
Elevando ambos os membros à potência \(\alpha\), obtemos
\[ x^\alpha=(b^u)^\alpha=b^{\alpha u}. \]
Tomando o logaritmo na base \(b\) em ambos os membros,
\[ \log_b(x^\alpha) = \log_b\left(b^{\alpha u}\right) = \alpha u. \]
Uma vez que \(u=\log_b(x)\), segue-se que
\[ \log_b(x^\alpha)=\alpha\log_b(x). \]
Exemplo. Calculemos
\[ \log_2(8^4). \]
Aplicando a propriedade da potência,
\[ \log_2(8^4)=4\log_2(8)=4\cdot 3=12. \]
Com efeito,
\[ 8^4=(2^3)^4=2^{12}, \]
e, portanto,
\[ \log_2(8^4)=12. \]
Um caso particular importante obtém-se tomando \(\alpha=-1\):
\[ \log_b\left(\frac{1}{x}\right) = \log_b(x^{-1}) = -\log_b(x), \qquad x>0. \]
Analogamente, tomando \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{n}\), com \(n\in\mathbb{N}\) e \(n\geq 2\), obtemos
\[ \log_b\left(\sqrt[n]{x}\right) = \frac{1}{n}\log_b(x), \qquad x>0. \]
Fórmula de mudança de base
A fórmula de mudança de base permite exprimir um logaritmo numa base dada por meio de logaritmos calculados noutra base. Se
\[ x>0,\qquad b>0,\qquad b\neq 1,\qquad c>0,\qquad c\neq 1, \]
então
\[ \log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Demonstração. Seja
\[ y=\log_b(x). \]
Por definição de logaritmo,
\[ b^y=x. \]
Tomando o logaritmo na base \(c\) em ambos os membros, obtemos
\[ \log_c(b^y)=\log_c(x). \]
Pela propriedade da potência,
\[ y\log_c(b)=\log_c(x). \]
Uma vez que \(b\neq 1\), tem-se \(\log_c(b)\neq 0\). Podemos, então, dividir ambos os membros por \(\log_c(b)\):
\[ y=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Recordando que \(y=\log_b(x)\), segue-se que
\[ \log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_c(b)}. \]
Logaritmos decimais e logaritmos naturais
Duas bases particularmente importantes são \(10\) e \(e\). O logaritmo na base \(10\) é denominado logaritmo decimal e, na matemática elementar, é geralmente denotado por
\[ \log(x)=\log_{10}(x), \]
enquanto o logaritmo na base \(e\) é denominado logaritmo natural ou logaritmo neperiano e é denotado por
\[ \ln(x)=\log_e(x). \]
A fórmula de mudança de base permite, portanto, escrever
\[ \log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)} \]
ou então
\[ \log_b(x)=\frac{\log(x)}{\log(b)}. \]
Exemplo. Escrevamos \(\log_2(40)\) em termos do logaritmo natural:
\[ \log_2(40)=\frac{\ln(40)}{\ln(2)}. \]
Com uma calculadora, obtemos
\[ \log_2(40)\approx 5{,}322. \]
Este valor está compreendido entre \(5\) e \(6\), como seria de esperar a partir da desigualdade
\[ 2^5=32<40<64=2^6. \]