Nesta colecção, apresentamos 20 exercícios resolvidos sobre inequações com parâmetro, ordenados por grau de dificuldade e desenvolvidos passo a passo.
O objectivo é aprender a identificar os valores do parâmetro que alteram a estrutura da inequação: o sinal de um coeficiente, o sentido da desigualdade, o grau da expressão, o discriminante e a concavidade da parábola.
Cada exercício mostra como estruturar correctamente a discussão por casos, evitando os erros mais comuns e chegando a uma descrição completa do conjunto solução em função do parâmetro.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Resolva:
\[ (k-3)x > 6 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x > \dfrac{6}{k-3}, & k > 3, \\[6pt] x < \dfrac{6}{k-3}, & k < 3, \\[6pt] S = \emptyset, & k = 3. \end{cases} \]
Resolução
A inequação é linear na incógnita \(x\). O coeficiente de \(x\) é:
\[ k - 3. \]
Para isolar \(x\), seria necessário dividir ambos os membros por \(k-3\). Contudo, o sinal de \(k-3\) depende do parâmetro \(k\), pelo que é necessário distinguir três casos:
\[ k-3 > 0, \qquad k-3 < 0, \qquad k-3 = 0. \]
Caso \(k > 3\)
Se \(k > 3\), então \(k-3 > 0\), pelo que podemos dividir por \(k-3\) sem alterar o sentido da inequação:
\[ x > \frac{6}{k-3}. \]
Caso \(k < 3\)
Se \(k < 3\), então \(k-3 < 0\), pelo que, ao dividir por uma quantidade negativa, o sentido da inequação inverte-se:
\[ x < \frac{6}{k-3}. \]
Caso \(k = 3\)
Se \(k = 3\), o coeficiente de \(x\) anula-se. A inequação fica:
\[ 0 \cdot x > 6, \qquad \text{ou seja} \qquad 0 > 6. \]
Esta proposição é falsa, pelo que não existe nenhum valor real de \(x\) que satisfaça a inequação. Portanto:
\[ S = \emptyset. \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Resolva:
\[ (k+1)x - 4 \leq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x \leq \dfrac{4}{k+1}, & k > -1, \\[6pt] x \geq \dfrac{4}{k+1}, & k < -1, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = -1. \end{cases} \]
Resolução
Passando o termo independente para o segundo membro:
\[ (k+1)x \leq 4. \]
Também neste caso o coeficiente da incógnita depende do parâmetro: \(k+1\). Para dividir correctamente, é necessário saber se \(k+1\) é positivo, negativo ou nulo.
Caso \(k > -1\)
Se \(k > -1\), então \(k+1 > 0\). Dividindo por uma quantidade positiva, o sentido não se altera:
\[ x \leq \frac{4}{k+1}. \]
Caso \(k < -1\)
Se \(k < -1\), então \(k+1 < 0\). Dividindo por uma quantidade negativa, o sentido inverte-se:
\[ x \geq \frac{4}{k+1}. \]
Caso \(k = -1\)
Se \(k = -1\), o coeficiente de \(x\) anula-se. A inequação inicial fica:
\[ 0 \cdot x - 4 \leq 0, \qquad \text{ou seja} \qquad -4 \leq 0. \]
Esta proposição é verdadeira para qualquer valor real de \(x\). Logo:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Exercício 3 — nível ★★☆☆☆
Resolva:
\[ (k-2)x + 5 \geq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x \geq -\dfrac{5}{k-2}, & k > 2, \\[6pt] x \leq -\dfrac{5}{k-2}, & k < 2, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = 2. \end{cases} \]
Resolução
Isolemos o termo que contém a incógnita:
\[ (k-2)x \geq -5. \]
O coeficiente de \(x\) é \(k-2\). Como depende do parâmetro, não é possível dividir sem antes discutir o seu sinal.
Caso \(k > 2\)
Se \(k > 2\), então \(k-2 > 0\). Dividindo por \(k-2\), o sentido mantém-se:
\[ x \geq -\frac{5}{k-2}. \]
Caso \(k < 2\)
Se \(k < 2\), então \(k-2 < 0\). Dividindo por uma quantidade negativa, o sentido inverte-se:
\[ x \leq -\frac{5}{k-2}. \]
Caso \(k = 2\)
Se \(k = 2\), o termo que contém \(x\) desaparece:
\[ 0 \cdot x + 5 \geq 0, \qquad \text{ou seja} \qquad 5 \geq 0. \]
Esta proposição é sempre verdadeira. Por conseguinte, qualquer número real é solução:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Exercício 4 — nível ★★☆☆☆
Resolva:
\[ (k^2 - 1)x < 2 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x < \dfrac{2}{k^2-1}, & k < -1 \ \text{ou}\ k > 1, \\[6pt] x > \dfrac{2}{k^2-1}, & -1 < k < 1, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k = \pm 1. \end{cases} \]
Resolução
A inequação é linear na incógnita \(x\), mas o coeficiente de \(x\) é:
\[ k^2 - 1 = (k-1)(k+1). \]
Estudemos o sinal de \(k^2-1\):
\[ k^2 - 1 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k < -1 \ \text{ou}\ k > 1, \]
\[ k^2 - 1 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -1 < k < 1, \]
\[ k^2 - 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = \pm 1. \]
Caso \(k < -1\) ou \(k > 1\)
Neste caso \(k^2-1 > 0\). Podemos dividir sem alterar o sentido:
\[ x < \frac{2}{k^2-1}. \]
Caso \(-1 < k < 1\)
Neste caso \(k^2-1 < 0\). Dividindo por uma quantidade negativa, o sentido inverte-se:
\[ x > \frac{2}{k^2-1}. \]
Caso \(k = \pm 1\)
Se \(k = \pm 1\), então \(k^2 - 1 = 0\). A inequação fica:
\[ 0 \cdot x < 2, \qquad \text{ou seja} \qquad 0 < 2. \]
Esta proposição é verdadeira para todo o \(x \in \mathbb{R}\). Logo:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Exercício 5 — nível ★★☆☆☆
Resolva:
\[ (k-1)x^2 - 4 > 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x < -\dfrac{2}{\sqrt{k-1}} \ \text{ou}\ x > \dfrac{2}{\sqrt{k-1}}, & k > 1, \\[10pt] S = \emptyset, & k \leq 1. \end{cases} \]
Resolução
A inequação contém o termo \(x^2\), cujo coeficiente é \(k-1\). É necessário distinguir os casos em que esse coeficiente é positivo, nulo ou negativo.
Caso \(k > 1\)
Se \(k > 1\), então \(k-1 > 0\). Podemos dividir sem alterar o sentido:
\[ x^2 > \frac{4}{k-1}. \]
O segundo membro é positivo, pelo que:
\[ |x| > \frac{2}{\sqrt{k-1}}, \]
ou seja:
\[ x < -\frac{2}{\sqrt{k-1}} \quad \text{ou} \quad x > \frac{2}{\sqrt{k-1}}. \]
Caso \(k = 1\)
Se \(k = 1\), o termo quadrático anula-se. A inequação fica \(-4 > 0\), que é falsa. Logo:
\[ S = \emptyset. \]
Caso \(k < 1\)
Se \(k < 1\), então \(k-1 < 0\). Como \(x^2 \geq 0\) para todo o \(x \in \mathbb{R}\), tem-se \((k-1)x^2 \leq 0\), pelo que:
\[ (k-1)x^2 - 4 < 0 \]
para todo o \(x \in \mathbb{R}\). A inequação não tem soluções:
\[ S = \emptyset. \]
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Resolva:
\[ (k+2)x^2 + 1 \geq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k \geq -2, \\[8pt] -\dfrac{1}{\sqrt{-k-2}} \leq x \leq \dfrac{1}{\sqrt{-k-2}}, & k < -2. \end{cases} \]
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k+2\). É necessário distinguir os casos \(k+2 > 0\), \(k+2 = 0\) e \(k+2 < 0\).
Caso \(k > -2\)
Se \(k > -2\), então \(k+2 > 0\). Como \(x^2 \geq 0\), tem-se \((k+2)x^2 \geq 0\), pelo que:
\[ (k+2)x^2 + 1 \geq 1 > 0. \]
A inequação é verificada para todo o \(x \in \mathbb{R}\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k = -2\)
Se \(k = -2\), o termo quadrático desaparece e a inequação fica \(1 \geq 0\), sempre verdadeira:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k < -2\)
Se \(k < -2\), então \(k+2 < 0\). Partindo da inequação:
\[ (k+2)x^2 \geq -1. \]
Como \(k+2 < 0\), ao dividir por \(k+2\) o sentido inverte-se:
\[ x^2 \leq \frac{-1}{k+2} = \frac{1}{-k-2}. \]
Portanto:
\[ -\frac{1}{\sqrt{-k-2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{-k-2}}. \]
Exercício 7 — nível ★★★☆☆
Resolva:
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 > 0 \]
Resultado
\[ x < k-1 \quad \text{ou} \quad x > k+1. \]
Resolução
Observemos que o trinómio pode ser reescrito como um quadrado perfeito menos \(1\):
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 = (x-k)^2 - 1. \]
A inequação fica:
\[ (x-k)^2 > 1, \]
ou seja, \(|x-k| > 1\). Logo:
\[ x - k < -1 \quad \text{ou} \quad x - k > 1, \]
de onde:
\[ x < k-1 \quad \text{ou} \quad x > k+1. \]
O conjunto solução é:
\[ S = (-\infty,\, k-1) \cup (k+1,\, +\infty). \]
Exercício 8 — nível ★★★☆☆
Resolva:
\[ x^2 + (k-3)x + k < 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x_1 < x < x_2, & k < 1 \ \text{ou}\ k > 9, \\[6pt] S = \emptyset, & 1 \leq k \leq 9, \end{cases} \]
onde, para \(k < 1\) ou \(k > 9\),
\[ x_1 = \frac{3-k-\sqrt{k^2-10k+9}}{2}, \qquad x_2 = \frac{3-k+\sqrt{k^2-10k+9}}{2}. \]
Resolução
Consideremos o trinómio \(P(x) = x^2 + (k-3)x + k\). O coeficiente de \(x^2\) é \(a = 1 > 0\), pelo que a parábola tem sempre concavidade voltada para cima.
Como a inequação exige \(P(x) < 0\), o trinómio deve ter duas raízes reais distintas (com concavidade voltada para cima, o trinómio é negativo apenas entre as duas raízes).
Calculemos o discriminante:
\[ \Delta = (k-3)^2 - 4k = k^2 - 6k + 9 - 4k = k^2 - 10k + 9 = (k-1)(k-9). \]
Estudemos o sinal:
\[ \Delta > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k < 1 \ \text{ou}\ k > 9, \]
\[ \Delta = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = 1 \ \text{ou}\ k = 9, \]
\[ \Delta < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 < k < 9. \]
Caso \(k < 1\) ou \(k > 9\)
O trinómio tem duas raízes reais distintas e a parábola tem concavidade voltada para cima, pelo que é negativo entre as duas raízes:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k = 1\) ou \(k = 9\)
O trinómio tem uma raiz dupla. Com concavidade voltada para cima, é sempre \(\geq 0\), mas a inequação exige \(P(x) < 0\). Portanto:
\[ S = \emptyset. \]
Caso \(1 < k < 9\)
O discriminante é negativo. A parábola, voltada para cima, não intersecta o eixo das abcissas e o trinómio é sempre positivo. Logo:
\[ S = \emptyset. \]
Exercício 9 — nível ★★★☆☆
Resolva:
\[ (k-4)x^2 + 2x - 3 \leq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k \leq \dfrac{11}{3}, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{ou}\ x \geq x_2, & \dfrac{11}{3} < k < 4, \\[8pt] x \leq \dfrac{3}{2}, & k = 4, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & k > 4, \end{cases} \]
onde \(x_1\) e \(x_2\) denotam as duas raízes ordenadas do trinómio, com \(x_1 < x_2\).
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k-4\). Antes de estudar o discriminante, é necessário verificar se a inequação é efectivamente de segundo grau.
Caso \(k = 4\)
Se \(k = 4\), o termo quadrático anula-se e a inequação fica \(2x - 3 \leq 0\), de onde:
\[ x \leq \frac{3}{2}. \]
Caso \(k \neq 4\)
Para \(k \neq 4\), consideremos \(P(x) = (k-4)x^2 + 2x - 3\). O discriminante é:
\[ \Delta = 4 - 4(k-4)(-3) = 4 + 12(k-4) = 12k - 44 = 4(3k-11). \]
Estudemos o sinal:
\[ \Delta > 0 \iff k > \tfrac{11}{3}, \qquad \Delta = 0 \iff k = \tfrac{11}{3}, \qquad \Delta < 0 \iff k < \tfrac{11}{3}. \]
A concavidade depende do sinal de \(k-4\).
Caso \(k < \dfrac{11}{3}\)
Neste caso \(\Delta < 0\) e \(k - 4 < 0\). A parábola tem concavidade voltada para baixo e não intersecta o eixo das abcissas: o trinómio é sempre negativo. Como a inequação exige \(P(x) \leq 0\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k = \dfrac{11}{3}\)
Neste caso \(\Delta = 0\) e \(k - 4 = \frac{11}{3} - 4 = -\frac{1}{3} < 0\). A parábola tem concavidade voltada para baixo e é tangente ao eixo na raiz dupla: o trinómio é sempre \(\leq 0\). Portanto:
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(\dfrac{11}{3} < k < 4\)
Neste caso \(\Delta > 0\) e \(k - 4 < 0\). O trinómio tem duas raízes reais distintas e a parábola tem concavidade voltada para baixo: é positivo entre as raízes e negativo no exterior. Para \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{ou} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(k > 4\)
Neste caso \(\Delta > 0\) e \(k - 4 > 0\). O trinómio tem duas raízes reais distintas e a parábola tem concavidade voltada para cima: é negativo entre as raízes. Como a inequação é não estrita, as raízes incluem-se:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Exercício 10 — nível ★★★★☆
Resolva:
\[ (k-1)x^2 + (k+1)x + k > 0 \]
Resultado
Defina-se:
\[ k_1 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, \qquad k_2 = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq k_1, \\[6pt] x_1 < x < x_2, & k_1 < k < 1, \\[6pt] x > -\dfrac{1}{2}, & k = 1, \\[8pt] x < x_1 \ \text{ou}\ x > x_2, & 1 < k < k_2, \\[6pt] S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}, & k = k_2, \\[6pt] S = \mathbb{R}, & k > k_2. \end{cases} \]
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k-1\). O primeiro valor a considerar é \(k = 1\).
Caso \(k = 1\)
Se \(k = 1\), a inequação fica \(2x + 1 > 0\), de onde:
\[ x > -\frac{1}{2}. \]
Caso \(k \neq 1\)
Para \(k \neq 1\), calculemos o discriminante:
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-1)k = k^2 + 2k + 1 - 4k^2 + 4k = -3k^2 + 6k + 1. \]
Fazendo \(\Delta = 0\): \(3k^2 - 6k - 1 = 0\), com soluções:
\[ k = \frac{6 \pm \sqrt{36+12}}{6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}. \]
Como o discriminante (enquanto função de \(k\)) é uma parábola com concavidade voltada para baixo:
\[ \Delta > 0 \iff k_1 < k < k_2, \quad \Delta = 0 \iff k = k_1 \ \text{ou}\ k = k_2, \quad \Delta < 0 \iff k < k_1 \ \text{ou}\ k > k_2. \]
Caso \(k < k_1\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 1 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio sempre negativo. Logo \(S = \emptyset\).
Caso \(k = k_1\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 1 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio sempre \(\leq 0\). A inequação é estrita, pelo que \(S = \emptyset\).
Caso \(k_1 < k < 1\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 1 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio positivo entre as raízes. Logo:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(1 < k < k_2\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 1 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio positivo no exterior das raízes. Logo:
\[ x < x_1 \quad \text{ou} \quad x > x_2. \]
Caso \(k = k_2\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 1 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre \(\geq 0\), mas anula-se na raiz dupla \(x_0 = -\dfrac{k+1}{2(k-1)}\). Como a inequação é estrita:
\[ S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}. \]
Caso \(k > k_2\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 1 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre positivo. Portanto \(S = \mathbb{R}\).
Exercício 11 — nível ★★★★☆
Resolva:
\[ (k^2 - 4)x^2 - 1 < 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} -\dfrac{1}{\sqrt{k^2-4}} < x < \dfrac{1}{\sqrt{k^2-4}}, & |k| > 2, \\[10pt] S = \mathbb{R}, & |k| \leq 2. \end{cases} \]
Resolução
O coeficiente de \(x^2\) é \(k^2 - 4 = (k-2)(k+2)\). Estudemos o seu sinal:
\[ k^2 - 4 > 0 \iff |k| > 2, \quad k^2 - 4 = 0 \iff k = \pm 2, \quad k^2 - 4 < 0 \iff |k| < 2. \]
Caso \(|k| > 2\)
Como \(k^2 - 4 > 0\), dividimos sem alterar o sentido:
\[ x^2 < \frac{1}{k^2 - 4}. \]
Logo:
\[ -\frac{1}{\sqrt{k^2-4}} < x < \frac{1}{\sqrt{k^2-4}}. \]
Caso \(|k| < 2\)
Como \(k^2 - 4 < 0\) e \(x^2 \geq 0\), tem-se \((k^2-4)x^2 \leq 0\), pelo que:
\[ (k^2-4)x^2 - 1 < 0 \]
para todo o \(x \in \mathbb{R}\). Logo \(S = \mathbb{R}\).
Caso \(k = \pm 2\)
Se \(k = \pm 2\), a inequação fica \(-1 < 0\), sempre verdadeira. Portanto \(S = \mathbb{R}\).
Exercício 12 — nível ★★★★☆
Resolva:
\[ (k-2)x^2 + (k+1)x + 1 \geq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x_1 \leq x \leq x_2, & k < 2, \\[6pt] x \geq -\dfrac{1}{3}, & k = 2, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{ou}\ x \geq x_2, & k > 2, \end{cases} \]
onde \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes ordenadas do trinómio, com \(x_1 < x_2\).
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k-2\).
Caso \(k = 2\)
Se \(k = 2\), a inequação fica \(3x + 1 \geq 0\), de onde:
\[ x \geq -\frac{1}{3}. \]
Caso \(k \neq 2\)
Calculemos o discriminante:
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-2) = k^2 + 2k + 1 - 4k + 8 = k^2 - 2k + 9 = (k-1)^2 + 8. \]
Como \((k-1)^2 + 8 > 0\) para todo o \(k \in \mathbb{R}\), o trinómio tem sempre duas raízes reais distintas quando \(k \neq 2\). Resta apenas discutir a concavidade, ou seja, o sinal de \(k-2\).
Caso \(k < 2\)
Parábola voltada para baixo, trinómio positivo entre as raízes. Para \(P(x) \geq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(k > 2\)
Parábola voltada para cima, trinómio positivo no exterior das raízes. Para \(P(x) \geq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{ou} \quad x \geq x_2. \]
Exercício 13 — nível ★★★★☆
Resolva:
\[ (k+1)x^2 - 2(k-1)x + k \leq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x \leq \dfrac{1}{4}, & k = -1, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & -1 < k < \dfrac{1}{3}, \\[8pt] x = x_0, & k = \dfrac{1}{3}, \\[8pt] S = \emptyset, & k > \dfrac{1}{3}, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{ou}\ x \geq x_2, & k < -1. \end{cases} \]
Nos casos com duas raízes reais distintas, \(x_1\) e \(x_2\) denotam as raízes ordenadas, com \(x_1 < x_2\). No caso \(k = \dfrac{1}{3}\), \(x_0\) é a raiz dupla.
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k+1\). O primeiro valor a discutir é \(k = -1\).
Caso \(k = -1\)
Substituindo \(k = -1\), a inequação fica \(4x - 1 \leq 0\), de onde:
\[ x \leq \frac{1}{4}. \]
Caso \(k \neq -1\)
Calculemos o discriminante:
\[ \Delta = 4(k-1)^2 - 4k(k+1) = 4\bigl[(k-1)^2 - k(k+1)\bigr] = 4(1-3k). \]
Estudemos o sinal:
\[ \Delta > 0 \iff k < \tfrac{1}{3}, \quad \Delta = 0 \iff k = \tfrac{1}{3}, \quad \Delta < 0 \iff k > \tfrac{1}{3}. \]
A concavidade depende do sinal de \(k+1\).
Caso \(k < -1\)
\(\Delta > 0\) e \(k+1 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio negativo no exterior das raízes. Para \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{ou} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(-1 < k < \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta > 0\) e \(k+1 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio negativo entre as raízes. Para \(P(x) \leq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(k = \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta = 0\) e \(k+1 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre \(\geq 0\), anula-se apenas na raiz dupla. Logo:
\[ x = x_0. \]
Caso \(k > \dfrac{1}{3}\)
\(\Delta < 0\) e \(k+1 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre positivo. Portanto \(S = \emptyset\).
Exercício 14 — nível ★★★★☆
Resolva:
\[ x^2 - 2(k+1)x + k^2 + k < 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} k+1-\sqrt{k+1} < x < k+1+\sqrt{k+1}, & k > -1, \\[8pt] S = \emptyset, & k \leq -1. \end{cases} \]
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(a = 1 > 0\): a parábola tem sempre concavidade voltada para cima. Calculemos o discriminante:
\[ \Delta = 4(k+1)^2 - 4(k^2+k) = 4\bigl[(k+1)^2 - (k^2+k)\bigr] = 4(k+1). \]
Estudemos o sinal:
\[ \Delta > 0 \iff k > -1, \quad \Delta = 0 \iff k = -1, \quad \Delta < 0 \iff k < -1. \]
Caso \(k > -1\)
Duas raízes reais distintas. Como \(\sqrt{4(k+1)} = 2\sqrt{k+1}\):
\[ x_{1,2} = \frac{2(k+1) \pm 2\sqrt{k+1}}{2} = k+1 \mp \sqrt{k+1}. \]
A parábola é voltada para cima, pelo que o trinómio é negativo entre as duas raízes:
\[ k+1-\sqrt{k+1} < x < k+1+\sqrt{k+1}. \]
Caso \(k = -1\)
\(\Delta = 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre \(\geq 0\). A inequação exige \(P(x) < 0\), pelo que \(S = \emptyset\).
Caso \(k < -1\)
\(\Delta < 0\): trinómio sempre positivo. Portanto \(S = \emptyset\).
Exercício 15 — nível ★★★★★
Resolva:
\[ (k-3)x^2 + (2k-1)x + k > 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k < -\dfrac{1}{8}, \\[8pt] S = \emptyset, & k = -\dfrac{1}{8}, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & -\dfrac{1}{8} < k < 3, \\[8pt] x > -\dfrac{3}{5}, & k = 3, \\[8pt] x < x_1 \ \text{ou}\ x > x_2, & k > 3. \end{cases} \]
Nos casos com duas raízes reais distintas, \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes ordenadas, com \(x_1 < x_2\).
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k-3\). O primeiro caso a tratar é \(k = 3\).
Caso \(k = 3\)
Se \(k = 3\), a inequação fica \(5x + 3 > 0\), de onde:
\[ x > -\frac{3}{5}. \]
Caso \(k \neq 3\)
Calculemos o discriminante:
\[ \Delta = (2k-1)^2 - 4(k-3)k = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 12k = 8k + 1. \]
Estudemos o sinal:
\[ \Delta > 0 \iff k > -\tfrac{1}{8}, \quad \Delta = 0 \iff k = -\tfrac{1}{8}, \quad \Delta < 0 \iff k < -\tfrac{1}{8}. \]
Caso \(k < -\dfrac{1}{8}\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 3 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio sempre negativo. \(S = \emptyset\).
Caso \(k = -\dfrac{1}{8}\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 3 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio sempre \(\leq 0\). A inequação é estrita, pelo que \(S = \emptyset\).
Caso \(-\dfrac{1}{8} < k < 3\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 3 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio positivo entre as raízes:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k > 3\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 3 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio positivo no exterior das raízes:
\[ x < x_1 \quad \text{ou} \quad x > x_2. \]
Exercício 16 — nível ★★★★★
Resolva:
\[ (k^2-1)x^2 + 2kx + 1 \geq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x \leq x_1 \ \text{ou}\ x \geq x_2, & |k| > 1, \\[8pt] x \geq -\dfrac{1}{2}, & k = 1, \\[8pt] x \leq \dfrac{1}{2}, & k = -1, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & |k| < 1. \end{cases} \]
Nos casos quadráticos, \(x_1\) e \(x_2\) são as duas raízes ordenadas, com \(x_1 < x_2\).
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k^2 - 1 = (k-1)(k+1)\). Os casos degenerados ocorrem para \(k = \pm 1\).
Caso \(k = 1\)
A inequação fica \(2x + 1 \geq 0\), de onde \(x \geq -\dfrac{1}{2}\).
Caso \(k = -1\)
A inequação fica \(-2x + 1 \geq 0\), de onde \(x \leq \dfrac{1}{2}\).
Caso \(k \neq \pm 1\)
Calculemos o discriminante:
\[ \Delta = (2k)^2 - 4(k^2-1) = 4k^2 - 4k^2 + 4 = 4. \]
O discriminante é sempre positivo: o trinómio tem sempre duas raízes reais distintas. Resta estudar a concavidade:
\[ k^2 - 1 > 0 \iff |k| > 1, \qquad k^2 - 1 < 0 \iff |k| < 1. \]
Caso \(|k| > 1\)
Parábola voltada para cima, \(P(x) \geq 0\) no exterior das raízes:
\[ x \leq x_1 \quad \text{ou} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(|k| < 1\)
Parábola voltada para baixo, trinómio positivo entre as raízes. Para \(P(x) \geq 0\):
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Exercício 17 — nível ★★★★★
Resolva:
\[ (k-2)x^2 - 4x + k < 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \mathbb{R}, & k < 1-\sqrt{5}, \\[6pt] S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}, & k = 1-\sqrt{5}, \\[6pt] x < x_1 \ \text{ou}\ x > x_2, & 1-\sqrt{5} < k < 2, \\[8pt] x > \dfrac{1}{2}, & k = 2, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & 2 < k < 1+\sqrt{5}, \\[6pt] S = \emptyset, & k \geq 1+\sqrt{5}. \end{cases} \]
Nos casos com duas raízes reais distintas, \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes ordenadas, com \(x_1 < x_2\). No caso \(k = 1-\sqrt{5}\), \(x_0\) é a raiz dupla.
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k-2\).
Caso \(k = 2\)
Se \(k = 2\), a inequação fica \(-4x + 2 < 0\), de onde:
\[ x > \frac{1}{2}. \]
Caso \(k \neq 2\)
Calculemos o discriminante:
\[ \Delta = 16 - 4(k-2)k = 16 - 4k^2 + 8k = -4(k^2 - 2k - 4). \]
As raízes de \(k^2 - 2k - 4 = 0\) são \(k = 1 \pm \sqrt{5}\). Como \(\Delta = -4(k^2 - 2k - 4)\):
\[ \Delta > 0 \iff 1-\sqrt{5} < k < 1+\sqrt{5}, \]
\[ \Delta = 0 \iff k = 1-\sqrt{5} \ \text{ou}\ k = 1+\sqrt{5}, \]
\[ \Delta < 0 \iff k < 1-\sqrt{5} \ \text{ou}\ k > 1+\sqrt{5}. \]
Caso \(k < 1-\sqrt{5}\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 2 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio sempre negativo. A inequação \(P(x) < 0\) é satisfeita para todo o \(x\):
\[ S = \mathbb{R}. \]
Caso \(k = 1-\sqrt{5}\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 2 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio sempre \(\leq 0\), anula-se na raiz dupla \(x_0\). Como a inequação é estrita:
\[ S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}. \]
Caso \(1-\sqrt{5} < k < 2\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 2 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio negativo no exterior das raízes:
\[ x < x_1 \quad \text{ou} \quad x > x_2. \]
Caso \(2 < k < 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 2 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio negativo entre as raízes:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k = 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 2 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre \(\geq 0\). A inequação \(P(x) < 0\) não tem soluções:
\[ S = \emptyset. \]
Caso \(k > 1+\sqrt{5}\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 2 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre positivo. Portanto \(S = \emptyset\).
Exercício 18 — nível ★★★★★
Resolva:
\[ (k+1)x^2 + (k-1)x - 2 > 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} x_1 < x < x_2, & k < -3, \\[6pt] S = \emptyset, & k = -3, \\[6pt] x_1 < x < x_2, & -3 < k < -1, \\[6pt] x < -1, & k = -1, \\[6pt] x < x_1 \ \text{ou}\ x > x_2, & k > -1. \end{cases} \]
Nos casos com duas raízes reais distintas, \(x_1\) e \(x_2\) denotam as raízes ordenadas do trinómio, com \(x_1 < x_2\).
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k+1\).
Caso \(k = -1\)
Se \(k = -1\), a inequação fica \(-2x - 2 > 0\), de onde \(x < -1\).
Caso \(k \neq -1\)
Calculemos o discriminante:
\[ \Delta = (k-1)^2 + 8(k+1) = k^2 - 2k + 1 + 8k + 8 = k^2 + 6k + 9 = (k+3)^2. \]
O discriminante é sempre \(\geq 0\):
\[ \Delta = 0 \iff k = -3, \qquad \Delta > 0 \iff k \neq -3. \]
A concavidade depende do sinal de \(k+1\).
Caso \(k < -3\)
\(\Delta > 0\) e \(k+1 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio positivo entre as raízes:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k = -3\)
\(\Delta = 0\) e \(k+1 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio sempre \(\leq 0\). A inequação é estrita, pelo que \(S = \emptyset\).
Caso \(-3 < k < -1\)
\(\Delta > 0\) e \(k+1 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio positivo entre as raízes:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k > -1\)
\(\Delta > 0\) e \(k+1 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio positivo no exterior das raízes:
\[ x < x_1 \quad \text{ou} \quad x > x_2. \]
Exercício 19 — nível ★★★★★
Resolva:
\[ (k-1)x^2 + (k-1)x + k > 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k \leq -\dfrac{1}{3}, \\[8pt] x_1 < x < x_2, & -\dfrac{1}{3} < k < 1, \\[8pt] S = \mathbb{R}, & k \geq 1. \end{cases} \]
No caso \(-\dfrac{1}{3} < k < 1\), \(x_1\) e \(x_2\) são as duas raízes ordenadas, com \(x_1 < x_2\).
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k-1\). O primeiro caso a considerar é \(k = 1\).
Caso \(k = 1\)
Se \(k = 1\), a inequação fica \(1 > 0\), sempre verdadeira. Portanto \(S = \mathbb{R}\).
Caso \(k \neq 1\)
Calculemos o discriminante:
\[ \Delta = (k-1)^2 - 4(k-1)k = (k-1)\bigl[(k-1) - 4k\bigr] = (k-1)(-3k-1). \]
Os valores críticos são \(k = 1\) e \(k = -\dfrac{1}{3}\). Obtém-se:
\[ \Delta > 0 \iff -\tfrac{1}{3} < k < 1, \quad \Delta = 0 \iff k = -\tfrac{1}{3} \ \text{ou}\ k = 1, \quad \Delta < 0 \iff k < -\tfrac{1}{3} \ \text{ou}\ k > 1. \]
Caso \(k < -\dfrac{1}{3}\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 1 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio sempre negativo. \(S = \emptyset\).
Caso \(k = -\dfrac{1}{3}\)
\(\Delta = 0\) e \(k - 1 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio sempre \(\leq 0\). A inequação é estrita, pelo que \(S = \emptyset\).
Caso \(-\dfrac{1}{3} < k < 1\)
\(\Delta > 0\) e \(k - 1 < 0\): parábola voltada para baixo, trinómio positivo entre as raízes:
\[ x_1 < x < x_2. \]
Caso \(k > 1\)
\(\Delta < 0\) e \(k - 1 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre positivo. Portanto \(S = \mathbb{R}\).
Exercício 20 — nível ★★★★★
Resolva:
\[ (k^2-9)x^2 + 6x + 1 \leq 0 \]
Resultado
\[ \begin{cases} S = \emptyset, & k < -3\sqrt{2}, \\[6pt] x = x_0, & k = -3\sqrt{2}, \\[6pt] x_1 \leq x \leq x_2, & -3\sqrt{2} < k < -3, \\[8pt] x \leq -\dfrac{1}{6}, & k = -3, \\[8pt] x \leq x_1 \ \text{ou}\ x \geq x_2, & -3 < k < 3, \\[8pt] x_1 \leq x \leq x_2, & 3 < k < 3\sqrt{2}, \\[6pt] x = x_0, & k = 3\sqrt{2}, \\[6pt] S = \emptyset, & k > 3\sqrt{2}. \end{cases} \]
Nos casos com duas raízes reais distintas, \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes ordenadas, com \(x_1 < x_2\). Nos casos \(k = \pm 3\sqrt{2}\), \(x_0\) é a raiz dupla.
Resolução
O coeficiente do termo quadrático é \(k^2 - 9 = (k-3)(k+3)\). Os casos degenerados ocorrem para \(k = \pm 3\).
Caso \(k = -3\) ou \(k = 3\)
Se \(k = \pm 3\), o termo quadrático anula-se e a inequação fica \(6x + 1 \leq 0\), de onde:
\[ x \leq -\frac{1}{6}. \]
Caso \(k \neq \pm 3\)
Calculemos o discriminante:
\[ \Delta = 36 - 4(k^2-9) = 36 - 4k^2 + 36 = 72 - 4k^2 = 4(18 - k^2). \]
Como \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\):
\[ \Delta > 0 \iff -3\sqrt{2} < k < 3\sqrt{2}, \quad \Delta = 0 \iff k = \pm 3\sqrt{2}, \quad \Delta < 0 \iff |k| > 3\sqrt{2}. \]
A concavidade depende do sinal de \(k^2 - 9\):
\[ k^2 - 9 > 0 \iff |k| > 3, \qquad k^2 - 9 < 0 \iff |k| < 3. \]
Caso \(k < -3\sqrt{2}\)
\(\Delta < 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre positivo. \(S = \emptyset\).
Caso \(k = -3\sqrt{2}\)
\(\Delta = 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre \(\geq 0\). Como a inequação é não estrita, a única solução é a raiz dupla:
\[ x = x_0. \]
Caso \(-3\sqrt{2} < k < -3\)
\(\Delta > 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio negativo entre as raízes:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(-3 < k < 3\)
\(k^2 - 9 < 0\) (e necessariamente \(\Delta > 0\)): parábola voltada para baixo, trinómio negativo no exterior das raízes. Para \(P(x) \leq 0\):
\[ x \leq x_1 \quad \text{ou} \quad x \geq x_2. \]
Caso \(3 < k < 3\sqrt{2}\)
\(\Delta > 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio negativo entre as raízes:
\[ x_1 \leq x \leq x_2. \]
Caso \(k = 3\sqrt{2}\)
\(\Delta = 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio que se anula apenas na raiz dupla:
\[ x = x_0. \]
Caso \(k > 3\sqrt{2}\)
\(\Delta < 0\) e \(k^2 - 9 > 0\): parábola voltada para cima, trinómio sempre positivo. Portanto \(S = \emptyset\).