Esta coletânea propõe 20 exercícios resolvidos sobre monómios e polinómios, ordenados segundo uma progressão que acompanha passo a passo a teoria. Começaremos pelo reconhecimento dos monómios e pela sua redução à forma normal; estudaremos em seguida o coeficiente, a parte literal, o grau e as operações fundamentais. Passaremos por fim à estrutura dos polinómios, à sua classificação, às operações e ao cálculo do valor numérico.
Cada exercício é acompanhado de uma resolução completa, na qual se justificam as regras utilizadas e se esclarecem as condições necessárias para as aplicar. O objetivo não é apenas obter o resultado correto, mas compreender a estrutura das expressões e o significado de cada passo.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a expressão
\[ 5x^2y^3 \]
é um monómio.
Resultado
Sim, a expressão é um monómio.
Resolução
Um monómio é uma expressão algébrica constituída pelo produto de um coeficiente numérico e, caso existam, de potências de variáveis com expoentes inteiros não negativos.
Na expressão
\[ 5x^2y^3 \]
o fator numérico é \(5\), ao passo que a parte literal é
\[ x^2y^3. \]
A variável \(x\) figura com expoente \(2\), enquanto a variável \(y\) figura com expoente \(3\). Ambos os expoentes são números inteiros não negativos.
Além disso, as variáveis não figuram no denominador, sob um radical nem no expoente de outras potências. A expressão possui, portanto, exatamente a estrutura exigida pela definição de monómio.
Assim,
\[ 5x^2y^3 \]
é um monómio de coeficiente \(5\) e parte literal \(x^2y^3\).
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar se a expressão
\[ \frac{3}{x} \]
é um monómio.
Resultado
Não, a expressão não é um monómio.
Resolução
Num monómio as variáveis só podem figurar como bases de potências com expoentes inteiros não negativos.
Na expressão
\[ \frac{3}{x} \]
a variável \(x\) figura no denominador. Para \(x\neq0\), a expressão pode ser reescrita recorrendo a um expoente negativo:
\[ \frac{3}{x}=3x^{-1}. \]
O expoente de \(x\) é, portanto, \(-1\), que é um número inteiro negativo e não pertence ao conjunto
\[ \mathbb{N}_0=\{0,1,2,3,\dots\}. \]
A presença da variável no denominador ou, de modo equivalente, de um expoente negativo, impede que a expressão seja um monómio.
Assim,
\[ \frac{3}{x} \]
não é um monómio.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Reduzir à forma normal o monómio
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2. \]
Resultado
\[ -6x^6y^3 \]
Resolução
Um monómio está escrito na forma normal quando todos os fatores numéricos foram multiplicados entre si e cada variável figura uma só vez, elevada ao seu próprio expoente.
Na expressão
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2 \]
os fatores numéricos são \(2\) e \(-3\). O seu produto é
\[ 2\cdot(-3)=-6. \]
Passemos agora à parte literal. A variável \(x\) figura nas potências
\[ x^2 \qquad\text{e}\qquad x^4. \]
Aplicando a propriedade do produto de potências com a mesma base,
\[ x^m x^n=x^{m+n}, \]
obtemos
\[ x^2x^4=x^{2+4}=x^6. \]
A variável \(y\) figura uma primeira vez sem expoente escrito e uma segunda vez na potência \(y^2\). Uma vez que
\[ y=y^1, \]
tem-se
\[ y\cdot y^2=y^{1+2}=y^3. \]
Reunindo o coeficiente e a parte literal, obtemos
\[ 2x^2\cdot(-3)y\cdot x^4y^2 = -6x^6y^3. \]
O monómio está agora escrito na forma normal: o seu coeficiente é \(-6\) e cada variável figura uma só vez.
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
No monómio
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2 \]
identificar o coeficiente e a parte literal.
Resultado
O coeficiente é
\[ -\frac{5}{2}, \]
ao passo que a parte literal é
\[ a^3b^2. \]
Resolução
Num monómio não nulo escrito na forma normal distinguem-se duas componentes: o fator numérico, incluindo o sinal, recebe o nome de coeficiente; o produto das potências das variáveis constitui, por sua vez, a parte literal.
Consideremos o monómio
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2. \]
O seu fator numérico é
\[ -\frac{5}{2}. \]
O sinal menos pertence ao coeficiente e não deve ser dele separado. O coeficiente do monómio é, portanto,
\[ -\frac{5}{2}. \]
Os fatores literais são, por sua vez,
\[ a^3 \qquad\text{e}\qquad b^2. \]
O seu produto forma a parte literal:
\[ a^3b^2. \]
Assim, no monómio
\[ -\frac{5}{2}a^3b^2 \]
o coeficiente é \(\displaystyle -\frac{5}{2}\) e a parte literal é \(a^3b^2\).
Exercício 5 — nível ★☆☆☆☆
Determinar o grau em relação a cada variável e o grau total do monómio
\[ -7x^3y^2z. \]
Resultado
O grau em relação a \(x\) é \(3\), o grau em relação a \(y\) é \(2\) e o grau em relação a \(z\) é \(1\).
O grau total do monómio é
\[ 6. \]
Resolução
O grau em relação a uma variável é o expoente com que essa variável figura na forma normal do monómio.
Consideremos
\[ -7x^3y^2z. \]
A variável \(x\) figura na potência \(x^3\). O grau em relação a \(x\) é, portanto,
\[ 3. \]
A variável \(y\) figura na potência \(y^2\). O grau em relação a \(y\) é, por conseguinte,
\[ 2. \]
A variável \(z\) figura sem expoente escrito. Neste caso o expoente é implicitamente igual a \(1\), uma vez que
\[ z=z^1. \]
O grau em relação a \(z\) é, assim,
\[ 1. \]
O grau total de um monómio não nulo obtém-se somando os expoentes de todas as variáveis presentes na sua parte literal.
No nosso caso tem-se
\[ 3+2+1=6. \]
O coeficiente \(-7\) não influi no grau, pois este depende exclusivamente dos expoentes da parte literal.
Por conseguinte, o monómio
\[ -7x^3y^2z \]
tem grau \(3\) em relação a \(x\), grau \(2\) em relação a \(y\), grau \(1\) em relação a \(z\) e grau total \(6\).
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Considerar os monómios
\[ A=2x^2\cdot 3y,\qquad B=6yx^2,\qquad C=-6x^2y,\qquad D=4xy^2. \]
Determinar que monómios são iguais, quais são semelhantes e quais são simétricos.
Resultado
Os monómios \(A\) e \(B\) são iguais.
Os monómios \(A\), \(B\) e \(C\) são semelhantes.
Os monómios \(A\) e \(C\), bem como \(B\) e \(C\), são simétricos.
O monómio \(D\) não é semelhante aos restantes.
Resolução
Para comparar corretamente vários monómios é necessário escrevê-los antes de mais na forma normal. Deste modo é possível reconhecer de imediato o coeficiente e a parte literal de cada um deles.
O primeiro monómio é
\[ A=2x^2\cdot 3y. \]
Multiplicando os coeficientes numéricos obtém-se
\[ 2\cdot 3=6, \]
ao passo que a parte literal é já constituída pelo produto \(x^2y\). Por conseguinte,
\[ A=6x^2y. \]
O segundo monómio é
\[ B=6yx^2. \]
A ordem dos fatores literais não altera o produto, pois a multiplicação é comutativa. Dispondo as variáveis por ordem alfabética obtém-se
\[ B=6x^2y. \]
Os monómios \(A\) e \(B\) têm, portanto, o mesmo coeficiente e a mesma parte literal. São, por conseguinte, iguais.
O terceiro monómio é
\[ C=-6x^2y. \]
A sua parte literal é de novo
\[ x^2y, \]
ao passo que o seu coeficiente é \(-6\). Uma vez que \(A\), \(B\) e \(C\) possuem a mesma parte literal, são semelhantes.
Dois monómios semelhantes dizem-se simétricos quando os seus coeficientes são simétricos. Os coeficientes de \(A\) e \(C\) são, respetivamente, \(6\) e \(-6\); o mesmo se passa com \(B\) e \(C\). Em consequência,
\[ A+C=6x^2y-6x^2y=0 \]
e
\[ B+C=6x^2y-6x^2y=0. \]
Assim, \(A\) e \(C\) são simétricos, tal como \(B\) e \(C\).
Consideremos por fim
\[ D=4xy^2. \]
A sua parte literal é
\[ xy^2, \]
que é distinta de \(x^2y\). O monómio \(D\) não é, portanto, semelhante a \(A\), \(B\) ou \(C\).
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Reduzir a seguinte soma algébrica de monómios:
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2. \]
Resultado
\[ 4x^2y+3xy^2 \]
Resolução
Na adição e na subtração de monómios só podem ser reunidos diretamente os termos semelhantes, isto é, os monómios que possuem a mesma parte literal.
Consideremos a expressão
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2. \]
Os monómios
\[ 7x^2y \qquad\text{e}\qquad -3x^2y \]
são semelhantes, pois ambos possuem a parte literal
\[ x^2y. \]
Somam-se então algebricamente os respetivos coeficientes:
\[ 7-3=4. \]
Obtém-se, portanto,
\[ 7x^2y-3x^2y=4x^2y. \]
Também os monómios
\[ 5xy^2 \qquad\text{e}\qquad -2xy^2 \]
são semelhantes, pois ambos têm parte literal
\[ xy^2. \]
Somando os coeficientes tem-se
\[ 5-2=3, \]
e por conseguinte
\[ 5xy^2-2xy^2=3xy^2. \]
Reunindo os resultados obtidos,
\[ 7x^2y-3x^2y+5xy^2-2xy^2 = 4x^2y+3xy^2. \]
Os monómios \(4x^2y\) e \(3xy^2\) não são semelhantes, pois as suas partes literais são distintas. Não podem, portanto, ser reunidos ulteriormente.
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Calcular o produto
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4). \]
Resultado
\[ -10x^5y^5 \]
Resolução
O produto de dois monómios é sempre um monómio. Para o calcular multiplicam-se os coeficientes numéricos e somam-se os expoentes das potências com a mesma base.
Consideremos
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4). \]
Os coeficientes numéricos são \(2\) e \(-5\). O seu produto é
\[ 2\cdot(-5)=-10. \]
Para a variável \(x\) tem-se
\[ x^3\cdot x^2. \]
Aplicando a propriedade do produto de potências com a mesma base,
\[ x^m x^n=x^{m+n}, \]
obtemos
\[ x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5. \]
Para a variável \(y\), por sua vez, tem-se
\[ y\cdot y^4. \]
Uma vez que \(y=y^1\),
\[ y\cdot y^4=y^{1+4}=y^5. \]
Reunindo o coeficiente e a parte literal, obtém-se
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4) = -10x^5y^5. \]
O resultado está já escrito na forma normal.
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Calcular a potência
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3. \]
Resultado
\[ -8x^9y^6 \]
Resolução
Para elevar um monómio a um expoente inteiro positivo eleva-se o coeficiente a esse expoente e multiplica-se cada expoente da parte literal pelo expoente da potência.
Consideremos
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3. \]
A potência incide sobre o monómio inteiro. Podemos, portanto, escrever
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = (-2)^3\left(x^3\right)^3\left(y^2\right)^3. \]
Calculemos antes de mais a potência do coeficiente:
\[ (-2)^3=-8. \]
O resultado é negativo porque o coeficiente é negativo e o expoente \(3\) é ímpar.
Para a variável \(x\) aplica-se a propriedade da potência de uma potência:
\[ \left(x^m\right)^n=x^{mn}. \]
Por conseguinte,
\[ \left(x^3\right)^3=x^{3\cdot3}=x^9. \]
De modo análogo, para a variável \(y\) tem-se
\[ \left(y^2\right)^3=y^{2\cdot3}=y^6. \]
Reunindo o coeficiente e a parte literal, obtemos
\[ \left(-2x^3y^2\right)^3 = -8x^9y^6. \]
O resultado está já escrito na forma normal.
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Determinar se o monómio
\[ 12x^5y^3 \]
é divisível pelo monómio
\[ 3x^2y \]
e, em caso afirmativo, determinar o monómio quociente.
Resultado
O monómio \(12x^5y^3\) é divisível por \(3x^2y\).
O monómio quociente é
\[ 4x^3y^2. \]
Resolução
Um monómio \(M\) é divisível por um monómio não nulo \(N\) quando existe um monómio \(Q\) tal que
\[ M=NQ. \]
Para que o quociente seja ainda um monómio, o expoente de cada variável no dividendo deve ser maior ou igual ao expoente correspondente no divisor.
No nosso caso, o dividendo é
\[ 12x^5y^3, \]
ao passo que o divisor é
\[ 3x^2y. \]
Comparemos antes de mais os expoentes da variável \(x\). No dividendo o expoente é \(5\), ao passo que no divisor é \(2\). Uma vez que
\[ 5\geq2, \]
a condição exigida está satisfeita.
Para a variável \(y\), o expoente no dividendo é \(3\), ao passo que no divisor é \(1\), pois \(y=y^1\). Também neste caso
\[ 3\geq1. \]
O monómio \(12x^5y^3\) é, portanto, divisível por \(3x^2y\).
Para determinar o quociente dividem-se os coeficientes:
\[ \frac{12}{3}=4, \]
e subtraem-se os expoentes das potências com a mesma base:
\[ x^{5-2}=x^3 \]
e
\[ y^{3-1}=y^2. \]
O monómio quociente é, por conseguinte,
\[ Q=4x^3y^2. \]
Verifiquemos o resultado multiplicando o divisor pelo quociente:
\[ (3x^2y)(4x^3y^2) = 12x^{2+3}y^{1+2} = 12x^5y^3. \]
O produto coincide com o dividendo, pelo que a divisão foi efetuada corretamente.
Exercício 11 — nível ★★☆☆☆
Determinar se a expressão
\[ 3x^2y-5xy^3+7 \]
é um polinómio.
Resultado
Sim, a expressão é um polinómio nas variáveis \(x\) e \(y\).
Resolução
Um polinómio é uma soma algébrica finita de monómios nas mesmas variáveis.
Consideremos a expressão
\[ 3x^2y-5xy^3+7. \]
Para determinar se se trata de um polinómio, devemos verificar que cada um dos seus termos é um monómio.
O primeiro termo é
\[ 3x^2y. \]
O seu coeficiente é \(3\), ao passo que as variáveis \(x\) e \(y\) figuram, respetivamente, com expoentes \(2\) e \(1\). Ambos os expoentes são inteiros não negativos, pelo que \(3x^2y\) é um monómio.
O segundo termo é
\[ -5xy^3. \]
O seu coeficiente é \(-5\), ao passo que \(x\) figura com expoente \(1\) e \(y\) com expoente \(3\). Também este termo é, portanto, um monómio.
O terceiro termo é o número real
\[ 7. \]
Todo o número real é um monómio constante; em consequência, \(7\) é igualmente um monómio.
A expressão dada é, pois, uma soma algébrica finita de três monómios:
\[ 3x^2y,\qquad -5xy^3,\qquad 7. \]
Por conseguinte,
\[ 3x^2y-5xy^3+7 \]
é um polinómio nas variáveis \(x\) e \(y\).
Exercício 12 — nível ★★☆☆☆
Considerar o polinómio
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
Identificar os seus termos, os respetivos coeficientes e o termo independente.
Resultado
Os termos do polinómio são
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
Os respetivos coeficientes são
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7. \]
O termo independente é
\[ -7. \]
Resolução
Os monómios que compõem um polinómio recebem o nome de termos do polinómio.
Consideremos
\[ P(x,y)=4x^3y-2xy^2+5x-7. \]
O polinómio é formado por quatro monómios, separados pelos sinais \(+\) e \(-\). Os seus termos são, portanto,
\[ 4x^3y,\qquad -2xy^2,\qquad 5x,\qquad -7. \]
O sinal de cada termo está incluído no respetivo coeficiente.
No termo
\[ 4x^3y \]
o coeficiente é \(4\) e a parte literal é \(x^3y\).
No termo
\[ -2xy^2 \]
o coeficiente é \(-2\) e a parte literal é \(xy^2\).
No termo
\[ 5x \]
o coeficiente é \(5\) e a parte literal é \(x\).
O último termo é
\[ -7. \]
Trata-se de um monómio constante: o seu coeficiente é \(-7\) e a sua parte literal é \(1\).
O termo de um polinómio que não contém variáveis recebe o nome de termo independente. No polinómio dado, portanto, o termo independente é
\[ -7. \]
Em conclusão, os coeficientes dos quatro termos são, respetivamente,
\[ 4,\qquad -2,\qquad 5,\qquad -7, \]
ao passo que o termo independente é \(-7\).
Exercício 13 — nível ★★☆☆☆
Reduzir o polinómio
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1. \]
Resultado
\[ 5x^2-x+6 \]
Resolução
Um polinómio está escrito na forma reduzida quando todos os seus termos são monómios na forma normal e não figuram dois termos semelhantes.
Reduzir um polinómio significa, portanto, identificar os termos semelhantes e reuni-los somando algebricamente os respetivos coeficientes.
Consideremos o polinómio
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1. \]
Os termos
\[ 3x^2 \qquad\text{e}\qquad 2x^2 \]
são semelhantes, pois ambos possuem a parte literal \(x^2\). Somando os coeficientes obtém-se
\[ 3+2=5, \]
e por conseguinte
\[ 3x^2+2x^2=5x^2. \]
Também os termos
\[ -5x \qquad\text{e}\qquad 4x \]
são semelhantes, pois ambos possuem a parte literal \(x\). Somando algebricamente os coeficientes tem-se
\[ -5+4=-1. \]
Portanto,
\[ -5x+4x=-x. \]
Por fim, os termos constantes
\[ 7 \qquad\text{e}\qquad -1 \]
são monómios semelhantes, pois ambos têm parte literal igual a \(1\). A sua soma é
\[ 7-1=6. \]
Reunindo os resultados obtidos, tem-se
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1 = 5x^2-x+6. \]
No polinómio obtido não figuram termos semelhantes e cada termo está já escrito na forma normal. O polinómio está, pois, na forma reduzida.
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Reduzir o polinómio e determinar o seu grau:
\[ P(x)=3x^4-2x^3+x^2-3x^4+5x^3-4. \]
Resultado
A forma reduzida do polinómio é
\[ P(x)=3x^3+x^2-4. \]
O grau do polinómio é
\[ 3. \]
Resolução
O grau de um polinómio não nulo é o maior grau total dos monómios presentes na sua forma reduzida.
Não basta, portanto, observar o expoente mais elevado da escrita inicial: antes de determinar o grau é necessário reduzir o polinómio, reunindo os eventuais termos semelhantes.
Consideremos
\[ P(x)=3x^4-2x^3+x^2-3x^4+5x^3-4. \]
Os termos
\[ 3x^4 \qquad\text{e}\qquad -3x^4 \]
são semelhantes. Somando os seus coeficientes obtém-se
\[ 3-3=0. \]
Por conseguinte, os dois termos de quarto grau anulam-se:
\[ 3x^4-3x^4=0. \]
Também os termos
\[ -2x^3 \qquad\text{e}\qquad 5x^3 \]
são semelhantes. Somando algebricamente os coeficientes tem-se
\[ -2+5=3, \]
e portanto
\[ -2x^3+5x^3=3x^3. \]
Os termos \(x^2\) e \(-4\) não têm termos semelhantes com que ser reunidos e permanecem, portanto, inalterados.
A forma reduzida do polinómio é, por conseguinte,
\[ P(x)=3x^3+x^2-4. \]
Os termos não nulos da forma reduzida têm, respetivamente, grau
\[ 3,\qquad 2,\qquad 0. \]
O grau máximo é \(3\). Em consequência,
\[ \deg(P)=3. \]
Embora na escrita inicial figurassem termos de quarto grau, estes anularam-se durante a redução. O grau do polinómio é, portanto, \(3\) e não \(4\).
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Reduzir, quando necessário, os seguintes polinómios e classificá-los segundo o número de termos:
\[ A(x)=4x^3, \]
\[ B(x)=x^2-1, \]
\[ C(x)=x^2+3x-2x+1, \]
\[ D(x)=5x^2-5x^2. \]
Resultado
\(A(x)\) é um monómio.
\(B(x)\) é um binómio.
\(C(x)\) reduz-se a
\[ x^2+x+1 \]
e é, portanto, um trinómio.
\(D(x)\) reduz-se ao polinómio nulo e não é classificado segundo o número de termos.
Resolução
Para classificar um polinómio segundo o número de termos é necessário considerar a sua forma reduzida.
Um polinómio não nulo formado por um só termo é um monómio; se possuir dois termos é um binómio; se possuir três é um trinómio.
Consideremos antes de mais
\[ A(x)=4x^3. \]
O polinómio está já escrito na forma reduzida e é formado por um só termo não nulo:
\[ 4x^3. \]
Por conseguinte, \(A(x)\) é um monómio.
Passemos agora ao polinómio
\[ B(x)=x^2-1. \]
Os seus termos são
\[ x^2 \qquad\text{e}\qquad -1. \]
Os dois termos não são semelhantes e não podem, portanto, ser reunidos. O polinómio está já na forma reduzida e possui dois termos.
Por conseguinte, \(B(x)\) é um binómio.
Consideremos em seguida
\[ C(x)=x^2+3x-2x+1. \]
Antes de o classificar devemos reunir os termos semelhantes. Os termos
\[ 3x \qquad\text{e}\qquad -2x \]
têm a mesma parte literal \(x\). Somando os coeficientes obtém-se
\[ 3-2=1, \]
e portanto
\[ 3x-2x=x. \]
A forma reduzida de \(C(x)\) é, por conseguinte,
\[ C(x)=x^2+x+1. \]
Os seus termos são
\[ x^2,\qquad x,\qquad 1. \]
Uma vez que o polinómio possui três termos, \(C(x)\) é um trinómio.
Consideremos, por fim,
\[ D(x)=5x^2-5x^2. \]
Os dois termos são simétricos e a sua soma é igual a zero:
\[ 5x^2-5x^2=0. \]
Por conseguinte,
\[ D(x)=0. \]
O resultado é o polinómio nulo. Na sua forma reduzida não possui termos não nulos e constitui, portanto, um caso particular: não é classificado como monómio, binómio ou trinómio segundo o número de termos.
Exercício 16 — nível ★★★☆☆
Considerar os polinómios
\[ A(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5, \]
\[ B(x)=2x^4+3x-1, \]
\[ C(x)=-4+x-2x^3+3x^4. \]
Determinar, para cada polinómio, se é ordenado, completo e mónico.
Resultado
\(A(x)\) está ordenado segundo as potências decrescentes de \(x\), é completo e é mónico.
\(B(x)\) está ordenado segundo as potências decrescentes de \(x\), é incompleto e não é mónico.
\(C(x)\) está ordenado segundo as potências crescentes de \(x\), é incompleto e não é mónico.
Resolução
Um polinómio numa variável diz-se ordenado quando os seus termos estão dispostos segundo as potências crescentes ou decrescentes da variável.
Um polinómio de grau \(n\) diz-se completo quando contém, com coeficientes não nulos, todas as potências da variável desde \(n\) até \(0\).
Por fim, um polinómio não nulo numa variável diz-se mónico quando o seu coeficiente principal é igual a \(1\).
Consideremos antes de mais
\[ A(x)=x^4-3x^3+2x^2+x-5. \]
Os expoentes de \(x\) figuram pela ordem
\[ 4,\qquad 3,\qquad 2,\qquad 1,\qquad 0. \]
Estão dispostos por ordem decrescente. O polinómio está, portanto, ordenado segundo as potências decrescentes de \(x\).
O grau de \(A(x)\) é \(4\). Estão presentes todas as potências desde \(4\) até \(0\):
\[ x^4,\qquad x^3,\qquad x^2,\qquad x,\qquad x^0. \]
Todos os coeficientes correspondentes são diferentes de zero. Por conseguinte, \(A(x)\) é completo.
O termo principal é
\[ x^4, \]
cujo coeficiente é \(1\). Em consequência, \(A(x)\) é também mónico.
Consideremos agora
\[ B(x)=2x^4+3x-1. \]
Os expoentes das potências presentes são
\[ 4,\qquad 1,\qquad 0. \]
Estão dispostos por ordem decrescente, pelo que o polinómio está ordenado segundo as potências decrescentes de \(x\).
O grau de \(B(x)\) é \(4\), mas não figuram termos em \(x^3\) nem em \(x^2\). Os coeficientes dessas potências são implicitamente iguais a zero.
Por conseguinte, \(B(x)\) é incompleto.
O termo principal é
\[ 2x^4, \]
e o coeficiente principal é \(2\), não \(1\). Em consequência, \(B(x)\) não é mónico.
Consideremos, por fim,
\[ C(x)=-4+x-2x^3+3x^4. \]
Os expoentes das potências presentes são
\[ 0,\qquad 1,\qquad 3,\qquad 4. \]
Estão dispostos por ordem crescente. Por conseguinte, \(C(x)\) está ordenado segundo as potências crescentes de \(x\).
O grau do polinómio é \(4\), mas não figura qualquer termo em \(x^2\). O coeficiente de \(x^2\) é, portanto, implicitamente igual a \(0\).
Em consequência, \(C(x)\) é incompleto.
Para determinar se o polinómio é mónico há que identificar o coeficiente do termo de maior grau. O termo principal é
\[ 3x^4, \]
e o coeficiente principal é \(3\). Por conseguinte, \(C(x)\) não é mónico.
Exercício 17 — nível ★★★☆☆
Determinar quais dos seguintes polinómios são homogéneos e, em caso afirmativo, determinar o seu grau:
\[ A(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3, \]
\[ B(x,y)=x^2+xy+y, \]
\[ C(a,b,c)=2a^2b-3abc+4b^2c. \]
Resultado
\(A(x,y)\) é um polinómio homogéneo de grau \(3\).
\(B(x,y)\) não é um polinómio homogéneo.
\(C(a,b,c)\) é um polinómio homogéneo de grau \(3\).
Resolução
Um polinómio não nulo em várias variáveis diz-se homogéneo quando todos os seus termos têm o mesmo grau total.
Para determinar se um polinómio é homogéneo devemos, portanto, calcular o grau total de cada um dos seus termos. O grau total de um monómio obtém-se somando os expoentes de todas as variáveis presentes na sua parte literal.
Consideremos antes de mais
\[ A(x,y)=3x^3-2x^2y+5xy^2-y^3. \]
O primeiro termo é
\[ 3x^3. \]
A variável \(x\) figura com expoente \(3\), ao passo que \(y\) não figura e tem, portanto, expoente \(0\). O grau total do termo é
\[ 3+0=3. \]
O segundo termo é
\[ -2x^2y. \]
Os expoentes de \(x\) e \(y\) são, respetivamente, \(2\) e \(1\). O grau total é, portanto,
\[ 2+1=3. \]
O terceiro termo é
\[ 5xy^2. \]
Neste caso os expoentes são \(1\) e \(2\), pelo que o grau total é
\[ 1+2=3. \]
O último termo é
\[ -y^3. \]
A variável \(x\) não figura e tem expoente \(0\), ao passo que \(y\) tem expoente \(3\). O grau total é, pois,
\[ 0+3=3. \]
Todos os termos de \(A(x,y)\) têm grau total \(3\). Por conseguinte, \(A(x,y)\) é um polinómio homogéneo de grau \(3\).
Consideremos agora
\[ B(x,y)=x^2+xy+y. \]
O termo \(x^2\) tem grau total
\[ 2. \]
O termo \(xy\) tem grau total
\[ 1+1=2. \]
O termo \(y\), por sua vez, tem grau total
\[ 1. \]
Os termos não têm todos o mesmo grau total. Em consequência, \(B(x,y)\) não é um polinómio homogéneo.
Consideremos, por fim,
\[ C(a,b,c)=2a^2b-3abc+4b^2c. \]
O termo
\[ 2a^2b \]
tem grau total
\[ 2+1+0=3. \]
O termo
\[ -3abc \]
tem grau total
\[ 1+1+1=3. \]
O termo
\[ 4b^2c \]
tem grau total
\[ 0+2+1=3. \]
Também neste caso todos os termos têm o mesmo grau total. Por conseguinte, \(C(a,b,c)\) é um polinómio homogéneo de grau \(3\).
Exercício 18 — nível ★★★☆☆
Considerar os polinómios
\[ P(x)=3x^3-2x^2+5x-1 \]
e
\[ Q(x)=-x^3+4x^2-3x+6. \]
Calcular
\[ P(x)+Q(x) \]
e
\[ P(x)-Q(x). \]
Resultado
A soma é
\[ P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2+2x+5. \]
A diferença é
\[ P(x)-Q(x)=4x^3-6x^2+8x-7. \]
Resolução
Para somar ou subtrair dois polinómios reúnem-se os termos semelhantes, isto é, os termos que contêm a mesma potência da variável.
Consideremos antes de mais a soma
\[ P(x)+Q(x). \]
Substituindo as expressões dos dois polinómios, obtemos
\[ P(x)+Q(x) = (3x^3-2x^2+5x-1)+(-x^3+4x^2-3x+6). \]
Os parênteses podem ser eliminados sem alterar os sinais dos termos, pois entre os dois polinómios figura o sinal \(+\):
\[ P(x)+Q(x) = 3x^3-2x^2+5x-1-x^3+4x^2-3x+6. \]
Reunamos agora os termos semelhantes.
Os termos de terceiro grau são
\[ 3x^3 \qquad\text{e}\qquad -x^3. \]
Somando os coeficientes tem-se
\[ 3-1=2, \]
e portanto
\[ 3x^3-x^3=2x^3. \]
Os termos de segundo grau são
\[ -2x^2 \qquad\text{e}\qquad 4x^2. \]
Somando os coeficientes obtém-se
\[ -2+4=2, \]
pelo que
\[ -2x^2+4x^2=2x^2. \]
Os termos de primeiro grau são
\[ 5x \qquad\text{e}\qquad -3x. \]
A sua soma é
\[ 5x-3x=2x. \]
Por fim, os termos independentes são
\[ -1 \qquad\text{e}\qquad 6. \]
Tem-se
\[ -1+6=5. \]
Por conseguinte,
\[ P(x)+Q(x)=2x^3+2x^2+2x+5. \]
Calculemos agora a diferença
\[ P(x)-Q(x). \]
Substituindo as expressões dos dois polinómios, obtemos
\[ P(x)-Q(x) = (3x^3-2x^2+5x-1)-(-x^3+4x^2-3x+6). \]
Subtrair um polinómio significa somar o seu simétrico. O sinal menos colocado antes do segundo parêntese altera, portanto, o sinal de cada termo de \(Q(x)\):
\[ -Q(x)=x^3-4x^2+3x-6. \]
Em consequência,
\[ P(x)-Q(x) = 3x^3-2x^2+5x-1+x^3-4x^2+3x-6. \]
Reunamos de novo os termos semelhantes.
Para os termos de terceiro grau tem-se
\[ 3x^3+x^3=4x^3. \]
Para os termos de segundo grau,
\[ -2x^2-4x^2=-6x^2. \]
Para os termos de primeiro grau,
\[ 5x+3x=8x. \]
Por fim, para os termos independentes,
\[ -1-6=-7. \]
Por conseguinte,
\[ P(x)-Q(x)=4x^3-6x^2+8x-7. \]
Em nenhum dos dois resultados figuram termos semelhantes, pelo que os polinómios obtidos estão já escritos na forma reduzida.
Exercício 19 — nível ★★★★☆
Considerar os polinómios
\[ P(x)=2x-3 \]
e
\[ Q(x)=x^2+4x+1. \]
Calcular
\[ P(x)Q(x) \]
e
\[ P(x)^2. \]
Resultado
O produto dos dois polinómios é
\[ P(x)Q(x)=2x^3+5x^2-10x-3. \]
O quadrado de \(P(x)\) é
\[ P(x)^2=4x^2-12x+9. \]
Resolução
O produto de dois polinómios calcula-se aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: cada termo do primeiro polinómio deve ser multiplicado por cada termo do segundo.
Consideremos antes de mais
\[ P(x)Q(x)=(2x-3)(x^2+4x+1). \]
O primeiro polinómio é formado pelos termos \(2x\) e \(-3\). Multipliquemos cada um deles pelo polinómio inteiro \(Q(x)\):
\[ (2x-3)(x^2+4x+1) = 2x(x^2+4x+1)-3(x^2+4x+1). \]
Desenvolvamos o primeiro produto:
\[ 2x(x^2+4x+1) = 2x\cdot x^2+2x\cdot4x+2x\cdot1. \]
Calculando cada termo, obtemos
\[ 2x\cdot x^2=2x^3, \]
\[ 2x\cdot4x=8x^2 \]
e
\[ 2x\cdot1=2x. \]
Por conseguinte,
\[ 2x(x^2+4x+1)=2x^3+8x^2+2x. \]
Desenvolvamos agora o segundo produto:
\[ -3(x^2+4x+1) = -3\cdot x^2-3\cdot4x-3\cdot1. \]
Obtém-se
\[ -3(x^2+4x+1)=-3x^2-12x-3. \]
Reunindo os dois desenvolvimentos, temos
\[ P(x)Q(x) = 2x^3+8x^2+2x-3x^2-12x-3. \]
Os termos
\[ 8x^2 \qquad\text{e}\qquad -3x^2 \]
são semelhantes. Somando os coeficientes tem-se
\[ 8-3=5, \]
e portanto
\[ 8x^2-3x^2=5x^2. \]
Também os termos
\[ 2x \qquad\text{e}\qquad -12x \]
são semelhantes. A sua soma é
\[ 2x-12x=-10x. \]
O produto reduzido é, por conseguinte,
\[ P(x)Q(x)=2x^3+5x^2-10x-3. \]
Calculemos agora a segunda potência de \(P(x)\):
\[ P(x)^2=(2x-3)^2. \]
Elevar um polinómio ao quadrado significa multiplicá-lo por si próprio:
\[ P(x)^2=(2x-3)(2x-3). \]
Apliquemos de novo a propriedade distributiva:
\[ (2x-3)(2x-3) = 2x(2x-3)-3(2x-3). \]
Desenvolvendo o primeiro produto obtém-se
\[ 2x(2x-3)=2x\cdot2x-2x\cdot3=4x^2-6x. \]
Desenvolvendo o segundo produto tem-se
\[ -3(2x-3)=-6x+9. \]
Reunindo os resultados,
\[ P(x)^2=4x^2-6x-6x+9. \]
Os termos \(-6x\) e \(-6x\) são semelhantes e a sua soma é
\[ -6x-6x=-12x. \]
Por conseguinte,
\[ P(x)^2=4x^2-12x+9. \]
Em ambos os cálculos o resultado é ainda um polinómio, tal como garante o fecho do conjunto dos polinómios em relação à multiplicação.
Exercício 20 — nível ★★★★☆
Considerar o polinómio
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Calcular o seu valor numérico para
\[ x=2 \qquad\text{e}\qquad y=-1. \]
Resultado
\[ P(2,-1)=-11 \]
Resolução
Calcular o valor numérico de um polinómio significa substituir cada variável pelo valor atribuído e efetuar as operações indicadas.
O polinómio é
\[ P(x,y)=3x^2y-2xy^2+5. \]
Devemos substituir
\[ x=2 \qquad\text{e}\qquad y=-1. \]
A escrita
\[ P(2,-1) \]
designa, portanto, o número obtido substituindo \(2\) em cada ocorrência de \(x\) e \(-1\) em cada ocorrência de \(y\).
Efetuando as substituições, obtém-se
\[ P(2,-1) = 3\cdot 2^2\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot(-1)^2 + 5. \]
O valor negativo atribuído a \(y\) foi colocado entre parênteses. Este passo é essencial, sobretudo quando o número tem de ser elevado a uma potência.
Calculemos antes de mais as potências:
\[ 2^2=4 \]
e
\[ (-1)^2=1. \]
A segunda potência é positiva porque o produto de dois números negativos é positivo:
\[ (-1)^2=(-1)(-1)=1. \]
Substituindo os valores das potências, obtemos
\[ P(2,-1) = 3\cdot4\cdot(-1) - 2\cdot2\cdot1 + 5. \]
Calculemos agora o primeiro produto:
\[ 3\cdot4\cdot(-1)=12\cdot(-1)=-12. \]
O segundo produto é
\[ 2\cdot2\cdot1=4. \]
Por conseguinte,
\[ P(2,-1)=-12-4+5. \]
Efetuando por fim a adição algébrica,
\[ -12-4=-16 \]
e
\[ -16+5=-11. \]
O valor numérico pedido é, pois,
\[ P(2,-1)=-11. \]