Nesta secção apresentamos 20 exercícios resolvidos sobre pontos de acumulação, pontos isolados e o conjunto derivado. Os exercícios estão ordenados por dificuldade crescente e foram concebidos para aplicar, passo a passo, as definições estudadas na teoria.
Exercício 1 — nível ★☆☆☆☆
Determinar os pontos isolados e os pontos de acumulação do conjunto
\[ A=\{2,5,9\}. \]
Resultado
Todos os pontos de \(A\), isto é, \(2,5,9\), são pontos isolados. O conjunto \(A\) não possui pontos de acumulação:
\[ A'=\varnothing. \]
Resolução
O conjunto \(A\) contém apenas três pontos. Para verificar que cada um deles é isolado, devemos mostrar que em torno de cada ponto existe uma vizinhança que não contém outros elementos de \(A\).
Consideremos, por exemplo, o ponto \(2\). A distância entre \(2\) e o elemento mais próximo de \(A\), isto é, \(5\), é
\[ |5-2|=3. \]
Podemos então escolher, por exemplo, a vizinhança
\[ \left(2-\frac12,2+\frac12\right). \]
Esta vizinhança contém \(2\), mas não contém nem \(5\) nem \(9\). Logo, \(2\) é um ponto isolado.
Com o mesmo raciocínio, também \(5\) e \(9\) são pontos isolados. Além disso, um conjunto finito de números reais não possui pontos de acumulação, pois em torno de cada um dos seus elementos é possível construir uma vizinhança suficientemente pequena que o separa dos restantes pontos do conjunto.
Por conseguinte,
\[ A'=\varnothing. \]
Exercício 2 — nível ★☆☆☆☆
Determinar os pontos isolados e os pontos de acumulação do conjunto
\[ A=(0,1). \]
Resultado
O conjunto \(A\) não tem pontos isolados. Os seus pontos de acumulação são exactamente os pontos do intervalo fechado:
\[ A'=[0,1]. \]
Resolução
Todo o ponto \(x_0\in(0,1)\) é um ponto de acumulação de \(A\). Com efeito, qualquer que seja \(r>0\), a vizinhança
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
contém infinitos pontos do intervalo \((0,1)\) distintos de \(x_0\).
O ponto \(0\) é igualmente um ponto de acumulação. De facto, para todo o \(r>0\), o intervalo
\[ (-r,r) \]
contém pontos positivos menores do que \(1\) e, portanto, contém elementos de \(A\).
De modo análogo, \(1\) também é um ponto de acumulação, pois toda a vizinhança de \(1\) contém pontos menores do que \(1\) e maiores do que \(0\).
Se, pelo contrário, \(x_0<0\) ou \(x_0>1\), podemos escolher uma vizinhança de \(x_0\) suficientemente pequena para não intersectar o intervalo \((0,1)\). Tais pontos não são, pois, pontos de acumulação.
Concluímos assim que
\[ A'=[0,1]. \]
Uma vez que todo o ponto de \(A\) é um ponto de acumulação, nenhum ponto de \(A\) é isolado.
Exercício 3 — nível ★☆☆☆☆
Determinar os pontos isolados e o conjunto derivado de
\[ A=[0,1]. \]
Resultado
O conjunto \(A\) não tem pontos isolados e
\[ A'=[0,1]. \]
Resolução
Consideremos primeiro um ponto \(x_0\in(0,1)\). Toda a vizinhança de \(x_0\) contém infinitos pontos do intervalo \([0,1]\) distintos de \(x_0\), pelo que \(x_0\) é um ponto de acumulação.
Consideremos agora o extremo \(0\). Toda a vizinhança de \(0\), ou seja, todo o intervalo da forma
\[ (-r,r), \qquad r>0, \]
contém pontos de \([0,1]\) distintos de \(0\), por exemplo, pontos positivos suficientemente pequenos. Logo, \(0\) é um ponto de acumulação.
Do mesmo modo, toda a vizinhança de \(1\) contém pontos de \([0,1]\) distintos de \(1\), por exemplo, pontos menores do que \(1\) e suficientemente próximos dele. Assim, \(1\) é também um ponto de acumulação.
Nenhum ponto exterior a \([0,1]\) é de acumulação, pois se \(x_0<0\) ou \(x_0>1\), existe uma vizinhança de \(x_0\) que não intersecta \([0,1]\).
Por conseguinte,
\[ A'=[0,1]. \]
Uma vez que todo o ponto de \(A\) é ponto de acumulação, o conjunto \(A\) não possui pontos isolados.
Exercício 4 — nível ★☆☆☆☆
Determinar os pontos isolados e os pontos de acumulação de
\[ A=\mathbb Z. \]
Resultado
Todos os inteiros são pontos isolados e
\[ A'=\varnothing. \]
Resolução
Consideremos um inteiro qualquer \(n\in\mathbb Z\). A vizinhança
\[ \left(n-\frac12,n+\frac12\right) \]
contém um único número inteiro, a saber, o próprio \(n\).
De facto, o inteiro anterior é \(n-1\) e o seguinte é \(n+1\), ambos à distância \(1\) de \(n\). Escolhendo um raio menor do que \(1\), por exemplo \(\displaystyle \frac12\), excluímos todos os restantes inteiros.
Assim, todo o \(n\in\mathbb Z\) é um ponto isolado de \(\mathbb Z\).
Além disso, nenhum número real é ponto de acumulação de \(\mathbb Z\). Intuitivamente, os inteiros não se acumulam em nenhum ponto da recta real: estão sempre separados uns dos outros por uma distância de \(1\).
Por conseguinte,
\[ \mathbb Z'=\varnothing. \]
Exercício 5 — nível ★☆☆☆☆
Determinar o conjunto derivado de
\[ A=\mathbb Q. \]
Resultado
Todo o número real é ponto de acumulação de \(\mathbb Q\). Logo,
\[ \mathbb Q'=\mathbb R. \]
O conjunto \(\mathbb Q\) não tem pontos isolados.
Resolução
A propriedade fundamental a utilizar é a densidade dos racionais em \(\mathbb R\): entre dois números reais distintos existe sempre, pelo menos, um número racional; mais ainda, existem infinitos.
Seja \(x_0\in\mathbb R\). Devemos verificar que toda a vizinhança de \(x_0\) contém um número racional distinto de \(x_0\).
Consideremos uma vizinhança arbitrária
\[ (x_0-r,x_0+r), \qquad r>0. \]
Como os racionais são densos em \(\mathbb R\), neste intervalo existem infinitos números racionais. Em particular, existe pelo menos um número racional pertencente à vizinhança e distinto de \(x_0\).
Logo, \(x_0\) é ponto de acumulação de \(\mathbb Q\). Visto que \(x_0\) era um número real arbitrário, todo o número real é ponto de acumulação de \(\mathbb Q\).
Por conseguinte,
\[ \mathbb Q'=\mathbb R. \]
Além disso, \(\mathbb Q\) não tem pontos isolados, pois toda a vizinhança de um número racional contém infinitos outros racionais.
Exercício 6 — nível ★★☆☆☆
Determinar os pontos isolados e o conjunto derivado de
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
Todos os pontos da forma \(\displaystyle \frac1n\) são pontos isolados. O único ponto de acumulação é \(0\). Logo,
\[ A'=\{0\}. \]
Resolução
Os elementos de \(A\) são
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
Aproximam-se cada vez mais de \(0\), mas \(0\) não pertence a \(A\).
Mostremos primeiro que \(0\) é um ponto de acumulação. Seja \(r>0\). Como \(\displaystyle \frac1n\to0\), existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Assim, a vizinhança \((-r,r)\) contém um elemento de \(A\) distinto de \(0\). Isto vale para todo o \(r>0\), pelo que \(0\) é ponto de acumulação.
Mostremos agora que todo o ponto \(\displaystyle \frac1n\) é isolado.
Se \(n=1\), basta escolher um raio
\[ r<1-\frac12=\frac12. \]
A vizinhança \((1-r,1+r)\) não contém outros elementos de \(A\).
Se \(n\ge2\), o ponto \(\displaystyle \frac1n\) está compreendido entre os dois termos consecutivos
\[ \frac1{n-1} \qquad\text{e}\qquad \frac1{n+1}. \]
Tomemos
\[ r=\frac12 \min\!\left\{ \frac1{n-1}-\frac1n, \frac1n-\frac1{n+1} \right\}. \]
Como as duas quantidades no interior do mínimo são positivas, resulta \(r>0\).
Com esta escolha, a vizinhança
\[ \left(\frac1n-r,\frac1n+r\right) \]
não contém nenhum outro elemento de \(A\). Logo, \(\displaystyle \frac1n\) é um ponto isolado.
O único ponto de acumulação é, pois, \(0\), e por isso
\[ A'=\{0\}. \]
Exercício 7 — nível ★★☆☆☆
Determinar os pontos isolados e o conjunto derivado de
\[ A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
O ponto \(0\) é ponto de acumulação e pertence a \(A\). Todos os pontos \(\displaystyle \frac1n\) são isolados. Além disso,
\[ A'=\{0\}. \]
Resolução
O conjunto é formado pelo ponto \(0\) e pelos pontos da sucessão
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
O ponto \(0\) pertence ao conjunto, mas isso não impede que seja também um ponto de acumulação. Com efeito, para todo o \(r>0\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Logo, toda a vizinhança de \(0\) contém pontos de \(A\) distintos de \(0\).
Consideremos agora um ponto da forma \(\displaystyle \frac1n\). Com \(n\) fixo, este ponto está separado dos restantes elementos do conjunto por uma distância positiva. Podemos, pois, escolher uma vizinhança suficientemente pequena que contenha apenas \(\displaystyle \frac1n\).
Em consequência, todo o ponto \(\displaystyle \frac1n\) é isolado.
O único ponto de acumulação é \(0\), pelo que
\[ A'=\{0\}. \]
Exercício 8 — nível ★★☆☆☆
Determinar os pontos isolados e o conjunto derivado de
\[ A=(0,1)\cup\{2\}. \]
Resultado
O ponto \(2\) é isolado. Os pontos de acumulação são exactamente os pontos de \([0,1]\). Logo,
\[ A'=[0,1]. \]
Resolução
O conjunto \(A\) é formado pelo intervalo aberto \((0,1)\) e pelo ponto isolado \(2\).
Como já sabemos, o intervalo \((0,1)\) tem como pontos de acumulação todos os pontos do intervalo fechado \([0,1]\). De facto, toda a vizinhança de um ponto de \([0,1]\) contém elementos de \((0,1)\).
O ponto \(2\), pelo contrário, não é um ponto de acumulação. Com efeito, podemos escolher, por exemplo, a vizinhança
\[ \left(\frac32,\frac52\right). \]
Esta vizinhança contém o ponto \(2\), mas não contém outros elementos de \(A\), pois o intervalo \((0,1)\) situa-se inteiramente à esquerda de \(\displaystyle \frac32\).
Logo, \(2\) é um ponto isolado.
Não há outros pontos de acumulação: os pontos exteriores a \([0,1]\), distintos de \(2\), podem ser separados de \(A\) por uma vizinhança adequada, ao passo que \(2\) é isolado.
Por conseguinte,
\[ A'=[0,1]. \]
Exercício 9 — nível ★★☆☆☆
Determinar os pontos isolados e o conjunto derivado de
\[ A=[0,1]\cup\{2,3\}. \]
Resultado
Os pontos \(2\) e \(3\) são isolados. O conjunto derivado é
\[ A'=[0,1]. \]
Resolução
O intervalo \([0,1]\) é constituído inteiramente por pontos de acumulação. De facto, todo o ponto interior do intervalo tem infinitos pontos do conjunto arbitrariamente próximos, e o mesmo sucede com os extremos \(0\) e \(1\).
Consideremos agora o ponto \(2\). Podemos escolher uma vizinhança pequena de \(2\), por exemplo
\[ \left(\frac32,\frac52\right). \]
Esta vizinhança contém \(2\), mas não contém pontos de \([0,1]\) nem contém \(3\). Logo, \(2\) é isolado.
De modo análogo, para o ponto \(3\) podemos escolher uma vizinhança suficientemente pequena, por exemplo
\[ \left(\frac52,\frac72\right), \]
que contém \(3\), mas não contém outros pontos de \(A\). Logo, \(3\) é também isolado.
Os pontos isolados não pertencem ao conjunto derivado, pois não são pontos de acumulação. Em consequência,
\[ A'=[0,1]. \]
Exercício 10 — nível ★★☆☆☆
Determinar os pontos isolados e o conjunto derivado de
\[ A=\left\{1+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
Todos os pontos da forma \(\displaystyle 1+\frac1n\) são isolados. O único ponto de acumulação é \(1\). Logo,
\[ A'=\{1\}. \]
Resolução
Os elementos do conjunto são
\[ 2,\frac32,\frac43,\frac54,\ldots \]
São todos maiores do que \(1\) e aproximam-se de \(1\) quando \(n\) se torna grande, porque
\[ 1+\frac1n\to1. \]
Assim, \(1\) é um ponto de acumulação de \(A\). Com efeito, se \(r>0\), existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac1n<r. \]
Então
\[ \left|\left(1+\frac1n\right)-1\right|=\frac1n<r. \]
Logo, toda a vizinhança de \(1\) contém elementos de \(A\).
Cada ponto da forma \(\displaystyle 1+\frac1n\), pelo contrário, é isolado. De facto, com \(n\) fixo, este ponto está separado dos restantes termos da sucessão por uma distância positiva.
Por conseguinte,
\[ A'=\{1\}. \]
Exercício 11 — nível ★★★☆☆
Determinar os pontos isolados e o conjunto derivado de
\[ A=(-1,0)\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
Os pontos da forma \(\displaystyle \frac1n\) são isolados. O conjunto derivado é
\[ A'=[-1,0]\cup\{0\}=[-1,0]. \]
Em particular, \(0\) é ponto de acumulação tanto do intervalo \((-1,0)\) como da sucessão \(\displaystyle \frac1n\).
Resolução
O conjunto \(A\) é a reunião de duas partes:
- o intervalo \((-1,0)\);
- a sucessão \(\displaystyle 1,\frac12,\frac13,\ldots\).
O intervalo \((-1,0)\) tem como pontos de acumulação todos os pontos do intervalo fechado \([-1,0]\). De facto, todo o ponto interior é manifestamente ponto de acumulação, ao passo que os extremos \(-1\) e \(0\), embora não pertençam ao intervalo, são atingidos por pontos do intervalo arbitrariamente próximos.
A sucessão \(\displaystyle \frac1n\) tem como único ponto de acumulação \(0\).
Reunindo as duas informações, obtemos
\[ A'=[-1,0]\cup\{0\}. \]
Como \(0\in[-1,0]\), podemos simplificar:
\[ A'=[-1,0]. \]
Os pontos da forma \(\displaystyle \frac1n\) são isolados, pois cada um deles pode ser separado dos restantes termos da sucessão e do intervalo \((-1,0)\), que se situa inteiramente na parte negativa da recta real.
Exercício 12 — nível ★★★☆☆
Determinar os pontos isolados e o conjunto derivado de
\[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
O conjunto tem dois pontos de acumulação:
\[ A'=\{-1,1\}. \]
Todos os elementos de \(A\) são pontos isolados.
Resolução
Estudamos separadamente os termos de índice par e os de índice ímpar.
Se \(n\) é par, então \((-1)^n=1\), pelo que os termos correspondentes são da forma
\[ 1+\frac1n. \]
Quando \(n\to\infty\), estes termos tendem para \(1\).
Se \(n\) é ímpar, então \((-1)^n=-1\), pelo que os termos correspondentes são da forma
\[ -1+\frac1n. \]
Quando \(n\to\infty\), estes termos tendem para \(-1\).
Assim, os dois candidatos naturais a pontos de acumulação são \(-1\) e \(1\).
Mostremos que ambos o são. Toda a vizinhança de \(1\) contém termos de índice par da sucessão, porque
\[ 1+\frac1n\to1 \]
ao longo dos índices pares. De modo análogo, toda a vizinhança de \(-1\) contém termos de índice ímpar da sucessão, porque
\[ -1+\frac1n\to-1 \]
ao longo dos índices ímpares.
Todos os elementos do conjunto são isolados: fixado um termo da sucessão, está separado dos restantes termos por uma distância positiva, pois não coincide com um ponto limite, mas sim com um único valor da sucessão.
Por conseguinte,
\[ A'=\{-1,1\}. \]
Exercício 13 — nível ★★★☆☆
Determinar os pontos isolados e o conjunto derivado de
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\left\{2+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
Todos os elementos de \(A\) são isolados. Os pontos de acumulação são \(0\) e \(2\), pelo que
\[ A'=\{0,2\}. \]
Resolução
O conjunto é a reunião de duas sucessões:
\[ \frac1n\to0 \]
e
\[ 2+\frac1n\to2. \]
A primeira sucessão tem como único ponto de acumulação \(0\), pois os seus termos tornam-se arbitrariamente próximos de \(0\).
A segunda sucessão tem como único ponto de acumulação \(2\), pois os seus termos tornam-se arbitrariamente próximos de \(2\).
Assim, decerto
\[ 0,2\in A'. \]
Não existem outros pontos de acumulação. De facto, longe de \(0\) e de \(2\), cada uma das sucessões tem apenas um número finito de termos em qualquer região limitada separada destes dois pontos limite; em consequência, é possível escolher uma vizinhança que não contenha elementos de \(A\) distintos do ponto eventualmente considerado.
Todo o elemento das duas sucessões é isolado. Fixado um termo, podemos, com efeito, escolher uma vizinhança suficientemente pequena que não contenha outros termos da mesma sucessão nem termos da outra sucessão.
Concluímos, pois, que
\[ A'=\{0,2\}. \]
Exercício 14 — nível ★★★☆☆
Determinar o conjunto derivado de
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
Todos os elementos de \(A\) são isolados e
\[ A'=\{1\}. \]
Resolução
Reescrevemos o termo geral:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}. \]
A partir desta forma vê-se de imediato que
\[ \frac{n}{n+1}\to1. \]
Logo, \(1\) é um ponto de acumulação de \(A\). Com efeito, dado \(r>0\), podemos escolher \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ \frac1{n+1}<r. \]
Então
\[ \left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\frac1{n+1}<r. \]
Assim, toda a vizinhança de \(1\) contém elementos de \(A\).
Todo o ponto da forma \(\displaystyle \frac{n}{n+1}\) é isolado. De facto, os termos são distintos e, fixado um termo, é possível escolher uma vizinhança suficientemente pequena que não contenha outros elementos da sucessão.
Por conseguinte, o único ponto de acumulação é \(1\):
\[ A'=\{1\}. \]
Exercício 15 — nível ★★★☆☆
Determinar os pontos isolados e o conjunto derivado de
\[ A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup[2,3]. \]
Resultado
Os pontos da forma \(\displaystyle \frac1n\) são isolados. O conjunto derivado é
\[ A'=\{0\}\cup[2,3]. \]
Resolução
O conjunto \(A\) é formado por duas partes: uma sucessão que tende para \(0\) e um intervalo fechado \([2,3]\).
A sucessão
\[ \frac1n \]
tem como único ponto de acumulação \(0\). Todos os seus termos são isolados.
O intervalo \([2,3]\), pelo contrário, tem como conjunto derivado ele próprio. De facto, todo o ponto de \([2,3]\), incluindo os extremos, é ponto de acumulação do intervalo.
Como a sucessão \(\displaystyle \frac1n\) se situa em \((0,1]\) e o intervalo \([2,3]\) está separado dela, não surgem pontos de acumulação adicionais entre \(1\) e \(2\).
Portanto, o conjunto derivado é
\[ A'=\{0\}\cup[2,3]. \]
Exercício 16 — nível ★★★★☆
Determinar o conjunto derivado de
\[ A=\left\{\frac{m}{n}:m,n\in\mathbb N,\ 0<m<n\right\}. \]
Resultado
Tem-se
\[ A=\mathbb Q\cap(0,1), \]
de modo que
\[ A'=[0,1]. \]
O conjunto \(A\) não tem pontos isolados.
Resolução
O conjunto \(A\) é formado por todas as fracções \(\displaystyle \frac mn\), com \(m,n\in\mathbb N\) e \(0<m<n\). A condição \(0<m<n\) implica
\[ 0<\frac mn<1. \]
Além disso, todo o número racional compreendido entre \(0\) e \(1\) pode escrever-se na forma \(\displaystyle \frac mn\), com \(0<m<n\). Logo,
\[ A=\mathbb Q\cap(0,1). \]
Como os racionais são densos em \(\mathbb R\), toda a vizinhança de um ponto \(x_0\in(0,1)\) contém infinitos racionais pertencentes a \((0,1)\). Assim, todo o ponto de \((0,1)\) é ponto de acumulação.
Os pontos \(0\) e \(1\) são também pontos de acumulação, pois toda a vizinhança sua contém racionais maiores do que \(0\) e menores do que \(1\), respectivamente.
Nenhum ponto exterior a \([0,1]\) pode ser ponto de acumulação, pois pode ser separado do intervalo \((0,1)\) por uma vizinhança adequada.
Por conseguinte,
\[ A'=[0,1]. \]
Por último, \(A\) não tem pontos isolados, pois toda a vizinhança de um ponto racional de \((0,1)\) contém infinitos outros racionais de \((0,1)\).
Exercício 17 — nível ★★★★☆
Determinar o conjunto derivado de
\[ A=\mathbb Q\cap[0,1]. \]
Resultado
O conjunto derivado é
\[ A'=[0,1]. \]
O conjunto \(A\) não tem pontos isolados.
Resolução
Consideremos um ponto \(x_0\in[0,1]\). Queremos mostrar que toda a vizinhança de \(x_0\) contém pontos de \(A\) distintos de \(x_0\).
Se \(x_0\in(0,1)\), então toda a vizinhança de \(x_0\) contém infinitos números racionais. Como a vizinhança pode ser escolhida suficientemente pequena para permanecer dentro de \([0,1]\), contém infinitos elementos de \(\mathbb Q\cap[0,1]\).
Se \(x_0=0\), toda a vizinhança de \(0\) contém racionais positivos arbitrariamente pequenos, pelo que contém elementos de \(A\) distintos de \(0\).
Se \(x_0=1\), toda a vizinhança de \(1\) contém racionais menores do que \(1\) e arbitrariamente próximos dele, pelo que contém elementos de \(A\) distintos de \(1\).
Assim, todo o ponto de \([0,1]\) é ponto de acumulação de \(A\).
Se, pelo contrário, \(x_0<0\) ou \(x_0>1\), existe uma vizinhança de \(x_0\) que não intersecta \([0,1]\) e, portanto, não intersecta \(A\). Tais pontos não são pontos de acumulação.
Concluímos que
\[ A'=[0,1]. \]
Além disso, \(A\) não tem pontos isolados, pois toda a vizinhança de um dos seus pontos contém infinitos outros racionais do intervalo.
Exercício 18 — nível ★★★★☆
Determinar se o conjunto
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
é fechado em \(\mathbb R\).
Resultado
O conjunto \(A\) não é fechado, porque
\[ A'=\{0\} \]
mas \(0\notin A\).
Resolução
Um conjunto \(A\subseteq\mathbb R\) é fechado se e só se contém todos os seus pontos de acumulação.
Neste exercício temos
\[ A=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
O ponto \(0\) é ponto de acumulação de \(A\), porque
\[ \frac1n\to0. \]
Com efeito, para todo o \(r>0\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Logo, toda a vizinhança de \(0\) contém elementos de \(A\).
No entanto, \(0\notin A\), pois os elementos de \(A\) são todos positivos e da forma \(\displaystyle \frac1n\), com \(n\ge1\).
Assim, \(A\) não contém todos os seus pontos de acumulação. Por conseguinte, \(A\) não é fechado em \(\mathbb R\).
Exercício 19 — nível ★★★★★
Determinar os pontos de acumulação de
\[ A=\left\{\frac1n+\frac1m:n,m\in\mathbb N,\ n,m\ge1\right\}. \]
Resultado
O conjunto derivado é
\[ A'=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\{0\}. \]
Resolução
Os elementos de \(A\) são somas de dois termos da forma \(\displaystyle \frac1n\). Para perceber onde se podem acumular, fixamos primeiro um dos índices.
Com \(n\) fixo, consideremos a sucessão obtida fazendo variar \(m\):
\[ \frac1n+\frac1m. \]
Como \(\displaystyle \frac1m\to0\), obtemos
\[ \frac1n+\frac1m\to\frac1n. \]
Logo, todo o ponto da forma \(\displaystyle \frac1n\) é ponto de acumulação de \(A\).
Além disso, deixando ambos os índices tender para infinito, obtemos
\[ \frac1n+\frac1m\to0. \]
Assim, \(0\) é também ponto de acumulação de \(A\).
Mostremos agora que não há outros pontos de acumulação. Se uma sucessão de elementos distintos de \(A\) converge, é da forma
\[ x_k=\frac1{n_k}+\frac1{m_k}. \]
Se pelo menos um de \(n_k\) e \(m_k\) permanece constante ao longo de uma subsucessão, então — sendo os elementos distintos — o outro índice tem de tender para infinito, e o limite possível é da forma \(\displaystyle \frac1n\). Se, pelo contrário, ambos os índices tendem para infinito, então ambos os termos tendem para \(0\), e o limite é \(0\).
Por conseguinte, os únicos pontos de acumulação são
\[ \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\{0\}. \]
Exercício 20 — nível ★★★★★
Determinar o conjunto derivado de
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x=\frac1n+\frac{k}{m},\ n,m,k\in\mathbb N,\ 1\le k<m\right\}. \]
Resultado
O conjunto derivado é
\[ A'=[0,2]. \]
Resolução
Observemos que os números da forma \(\displaystyle \frac{k}{m}\), com \(1\le k<m\), são racionais pertencentes ao intervalo \((0,1)\) e são densos em \((0,1)\).
Com \(n\in\mathbb N\) fixo, o conjunto
\[ \left\{\frac1n+\frac{k}{m}:m,k\in\mathbb N,\ 1\le k<m\right\} \]
é, portanto, denso no intervalo
\[ \left(\frac1n,1+\frac1n\right). \]
Para \(n=1\) obtemos um subconjunto denso em \((1,2)\); para \(n=2\) obtemos um subconjunto denso em \(\left(\frac12,\frac32\right)\); e assim sucessivamente.
Em consequência, todos os pontos do intervalo \((0,2)\) são pontos de acumulação de \(A\).
O ponto \(0\) é também ponto de acumulação. Com efeito, podemos tomar \(n\) muito grande e, por exemplo, escolher \(\displaystyle \frac{k}{m}\) muito pequeno. Deste modo obtêm-se elementos de \(A\) positivos e arbitrariamente próximos de \(0\).
O ponto \(2\) é também ponto de acumulação. Com efeito, fixando \(n=1\), podemos escolher racionais \(\displaystyle \frac{k}{m}\in(0,1)\) arbitrariamente próximos de \(1\). Então
\[ 1+\frac{k}{m}\to2. \]
Logo, toda a vizinhança de \(2\) contém pontos de \(A\) distintos de \(2\).
Por último, nenhum ponto exterior a \([0,2]\) pode ser ponto de acumulação. De facto, todo o elemento de \(A\) satisfaz
\[ 0<\frac1n+\frac{k}{m}<2. \]
Assim, \(A\subseteq(0,2)\), e todo o ponto \(x_0<0\) ou \(x_0>2\) pode ser separado de \(A\) por uma vizinhança adequada.
Concluímos, pois, que
\[ A'=[0,2]. \]