Os conjuntos abertos e os conjuntos fechados são conceitos fundamentais da análise matemática. Permitem descrever de forma rigorosa a estrutura dos conjuntos de números reais e desempenham um papel central no estudo dos limites, da continuidade e da convergência.
Nas secções que se seguem introduziremos as definições de conjunto aberto e de conjunto fechado, estudaremos as suas propriedades fundamentais e veremos de que modo estes conceitos se relacionam com os pontos de acumulação.
Índice
- Definição de conjunto aberto
- Exemplos de conjuntos abertos
- Definição de conjunto fechado
- Exemplos de conjuntos fechados
- Relação entre conjuntos abertos e fechados
- Caracterização através dos pontos de acumulação
- Propriedades dos conjuntos abertos
- Propriedades dos conjuntos fechados
Definição de conjunto aberto
A noção de conjunto aberto assenta no conceito de vizinhança. Seja \(A\subseteq\mathbb R\). Dizemos que \(A\) é um conjunto aberto se, para cada ponto \(x_0\in A\), existir um número real \(r>0\) tal que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Por outras palavras, um conjunto é aberto se cada um dos seus pontos possuir pelo menos uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
É importante notar que o raio \(r\) pode depender do ponto escolhido. Não é, portanto, necessário que exista um único valor de \(r\) válido para todos os pontos do conjunto; o que importa é que, fixado arbitrariamente um ponto \(x_0\in A\), exista pelo menos uma vizinhança centrada em \(x_0\) contida em \(A\).
A definição pode também ser expressa por meio de quantificadores:
\[ A \text{ aberto} \iff \forall x_0\in A\ \exists r>0 \text{ tal que } (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Vejamos dois exemplos imediatos.
Consideremos o intervalo aberto
\[ A=(0,1). \]
Seja \(x_0\in(0,1)\). Como \(x_0\) está estritamente compreendido entre \(0\) e \(1\), as quantidades
\[ x_0 \qquad\text{e}\qquad 1-x_0 \]
são ambas positivas. Podemos então escolher
\[ r=\frac12\min\{x_0,1-x_0\}. \]
Com esta escolha resulta
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(0,1). \]
Uma vez que o ponto \(x_0\) era arbitrário, o intervalo \((0,1)\) é um conjunto aberto.
Consideremos agora o conjunto
\[ B=[0,1]. \]
Este conjunto não é aberto. De facto, o ponto \(0\) pertence a \(B\), mas nenhuma vizinhança de \(0\) está contida em \(B\).
Com efeito, para cada \(r>0\), a vizinhança
\[ (-r,r) \]
contém números negativos, que não pertencem a \(B\). Consequentemente, não existe nenhum raio \(r>0\) tal que
\[ (-r,r)\subseteq[0,1]. \]
Portanto, o conjunto \([0,1]\) não é aberto.
Exemplos de conjuntos abertos
A definição de conjunto aberto pode ser aplicada a numerosos conjuntos da recta real. Nesta secção analisaremos alguns dos exemplos mais importantes.
Intervalos abertos
Consideremos um intervalo aberto
\[ A=(a,b), \qquad a<b. \]
Queremos mostrar que \(A\) é um conjunto aberto. Seja \(x_0\in(a,b)\). Como \(x_0\) está estritamente compreendido entre \(a\) e \(b\), as quantidades
\[ x_0-a \qquad\text{e}\qquad b-x_0 \]
são ambas positivas. Ponhamos
\[ r=\frac12\min\{x_0-a,\; b-x_0\}. \]
Então \(r>0\) e a vizinhança
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
permanece inteiramente contida no intervalo \((a,b)\). Portanto, cada ponto do intervalo possui uma vizinhança contida no conjunto e, consequentemente, \((a,b)\) é um conjunto aberto.
Semi-rectas abertas
Consideremos agora a semi-recta
\[ A=(a,+\infty). \]
Seja \(x_0\in A\). Então \(x_0>a\), pelo que a distância entre \(x_0\) e o ponto \(a\) é positiva. Escolhendo
\[ r=\frac{x_0-a}{2}, \]
obtém-se \(r>0\) e
\[ x_0-r = \frac{x_0+a}{2} > a. \]
Segue-se que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(a,+\infty). \]
Portanto, também \((a,+\infty)\) é um conjunto aberto.
Com um raciocínio inteiramente análogo demonstra-se que também a semi-recta
\[ (-\infty,b) \]
é um conjunto aberto.
O conjunto \(\mathbb R\)
A recta real, na sua totalidade, é também um conjunto aberto. De facto, fixado arbitrariamente um ponto \(x_0\in\mathbb R\), qualquer vizinhança da forma
\[ (x_0-r,x_0+r), \qquad r>0, \]
está contida em \(\mathbb R\). Consequentemente, \(\mathbb R\) satisfaz a definição de conjunto aberto.
O conjunto vazio
Também o conjunto vazio
\[ \varnothing \]
é considerado um conjunto aberto. Com efeito, a definição exige que cada ponto do conjunto possua uma vizinhança contida no conjunto. Uma vez que o conjunto vazio não contém qualquer ponto, esta condição é automaticamente satisfeita.
Por esta razão, \(\varnothing\) e \(\mathbb R\) são sempre conjuntos abertos.
Definição de conjunto fechado
A noção de conjunto fechado está estreitamente ligada à de conjunto aberto. Seja \(A\subseteq\mathbb R\). Dizemos que \(A\) é um conjunto fechado se o seu complementar
\[ \mathbb R\setminus A \]
for um conjunto aberto.
Em símbolos:
\[ A \text{ fechado} \iff \mathbb R\setminus A \text{ aberto}. \]
Para verificar que um conjunto é fechado não é, portanto, necessário trabalhar directamente sobre o próprio conjunto; muitas vezes é mais simples estudar o seu complementar e verificar que este é aberto.
Consideremos, por exemplo, o intervalo
\[ [0,1]. \]
O seu complementar é
\[ \mathbb R\setminus[0,1] = (-\infty,0)\cup(1,+\infty). \]
Ambas as semi-rectas são abertas e, como veremos mais adiante, a união de dois conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto. Consequentemente, \(\mathbb R\setminus[0,1]\) é aberto e, portanto, \([0,1]\) é um conjunto fechado.
Consideremos agora o intervalo
\[ (0,1). \]
O seu complementar é
\[ \mathbb R\setminus(0,1) = (-\infty,0]\cup[1,+\infty). \]
Este conjunto não é aberto, pois nem o ponto \(0\) nem o ponto \(1\) possuem uma vizinhança inteiramente contida no complementar.
Portanto, \((0,1)\) não é um conjunto fechado.
Nas secções seguintes veremos uma caracterização particularmente importante dos conjuntos fechados, baseada nos pontos de acumulação.
Exemplos de conjuntos fechados
De modo análogo ao que fizemos para os conjuntos abertos, analisemos agora alguns exemplos significativos de conjuntos fechados.
Intervalos fechados
Consideremos o intervalo
\[ A=[a,b], \qquad a<b. \]
Para estabelecer que \(A\) é fechado basta estudar o seu complementar:
\[ \mathbb R\setminus A = (-\infty,a)\cup(b,+\infty). \]
As duas semi-rectas \((-\infty,a)\) e \((b,+\infty)\) são abertas. Além disso, como veremos mais adiante, a união de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto.
Portanto, \(\mathbb R\setminus A\) é aberto e, consequentemente, \([a,b]\) é um conjunto fechado.
Semi-rectas fechadas
Consideremos a semi-recta
\[ [a,+\infty). \]
O seu complementar é
\[ \mathbb R\setminus[a,+\infty) = (-\infty,a), \]
que é um conjunto aberto.
Consequentemente, \([a,+\infty)\) é um conjunto fechado.
Com o mesmo raciocínio demonstra-se que também a semi-recta
\[ (-\infty,b] \]
é um conjunto fechado.
Conjuntos constituídos por um número finito de pontos
Consideremos um conjunto formado por um único ponto:
\[ A=\{a\}. \]
O seu complementar é
\[ \mathbb R\setminus\{a\} = (-\infty,a)\cup(a,+\infty). \]
Sendo a união de dois conjuntos abertos, é aberto. Portanto, \(\{a\}\) é um conjunto fechado.
O mesmo raciocínio mostra que qualquer conjunto formado por um número finito de pontos é um conjunto fechado.
O conjunto \(\mathbb R\)
A recta real, na sua totalidade, é um conjunto fechado.
De facto, o seu complementar é o conjunto vazio:
\[ \mathbb R\setminus\mathbb R = \varnothing. \]
Como \(\varnothing\) é um conjunto aberto, segue-se que \(\mathbb R\) é fechado.
O conjunto vazio
Também o conjunto vazio é um conjunto fechado.
De facto,
\[ \mathbb R\setminus\varnothing = \mathbb R. \]
Como \(\mathbb R\) é um conjunto aberto, segue-se que \(\varnothing\) é fechado.
Obtivemos, assim, um resultado interessante: tanto \(\mathbb R\) como \(\varnothing\) são simultaneamente abertos e fechados.
Relação entre conjuntos abertos e fechados
Os conjuntos abertos e os conjuntos fechados são definidos em termos um do outro: um conjunto é fechado se e só se o seu complementar for aberto. Não se deve, contudo, pensar que as palavras «aberto» e «fechado» sejam necessariamente opostas no sentido da linguagem comum.
De facto, um conjunto aberto pode não ser fechado, um conjunto fechado pode não ser aberto, mas existem também conjuntos que são simultaneamente abertos e fechados.
Conjuntos abertos mas não fechados
O intervalo
\[ (0,1) \]
é um conjunto aberto, como já demonstrámos.
Contudo, não é fechado, pois o seu complementar
\[ (-\infty,0]\cup[1,+\infty) \]
não é aberto.
Portanto, \((0,1)\) é aberto mas não fechado.
Conjuntos fechados mas não abertos
Consideremos o intervalo
\[ [0,1]. \]
Vimos que é fechado porque o seu complementar
\[ (-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
é aberto.
Por outro lado, \([0,1]\) não é aberto, pois nem o ponto \(0\) nem o ponto \(1\) possuem uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
Portanto, \([0,1]\) é fechado mas não aberto.
Conjuntos simultaneamente abertos e fechados
Já observámos que o conjunto vazio \(\varnothing\) é aberto e que o seu complementar \(\mathbb R\) é aberto. Consequentemente, \(\varnothing\) é também fechado.
De modo análogo, \(\mathbb R\) é aberto e o seu complementar \(\varnothing\) é aberto; portanto, \(\mathbb R\) é também fechado.
Os conjuntos
\[ \varnothing \qquad\text{e}\qquad \mathbb R \]
são, assim, simultaneamente abertos e fechados.
Conjuntos nem abertos nem fechados
Existem, por fim, conjuntos que não são nem abertos nem fechados.
Um exemplo é o intervalo
\[ (0,1]. \]
Não é aberto, pois o ponto \(1\) não possui nenhuma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
Além disso, não é fechado, pois o seu complementar
\[ (-\infty,0]\cup(1,+\infty) \]
não é aberto.
Portanto, \((0,1]\) não é nem aberto nem fechado.
Em conclusão, as propriedades de ser aberto e de ser fechado são independentes: um conjunto pode possuir apenas uma das duas propriedades, ambas ou nenhuma.
Caracterização através dos pontos de acumulação
Uma das caracterizações mais importantes dos conjuntos fechados envolve o conceito de ponto de acumulação. Permite reconhecer se um conjunto é fechado observando exclusivamente a posição dos seus pontos de acumulação.
Recordemos que um ponto \(x_0\in\mathbb R\) se diz ponto de acumulação de um conjunto \(A\subseteq\mathbb R\) se qualquer vizinhança perfurada de \(x_0\) contiver pelo menos um ponto de \(A\).
Vale então o seguinte teorema fundamental.
Teorema. Um conjunto \(A\subseteq\mathbb R\) é fechado se e só se contiver todos os seus pontos de acumulação.
Em símbolos:
\[ A \text{ fechado} \iff A'\subseteq A, \]
onde \(A'\) denota o conjunto derivado de \(A\), isto é, o conjunto de todos os pontos de acumulação de \(A\).
Demonstração. Suponhamos, em primeiro lugar, que \(A\) é fechado e seja \(x_0\in A'\). Queremos demonstrar que \(x_0\in A\).
Procedamos por absurdo e suponhamos que \(x_0\notin A\).
Como \(A\) é fechado, o complementar \(\mathbb R\setminus A\) é aberto. Sendo \(x_0\in\mathbb R\setminus A\), existe uma vizinhança
\[ (x_0-r,x_0+r) \subseteq \mathbb R\setminus A. \]
Esta vizinhança não contém qualquer ponto de \(A\), em contradição com o facto de \(x_0\) ser um ponto de acumulação de \(A\).
Portanto, deve ter-se \(x_0\in A\), e, consequentemente,
\[ A'\subseteq A. \]
Demonstremos agora o recíproco. Suponhamos que
\[ A'\subseteq A \]
e consideremos um ponto
\[ x_0\in\mathbb R\setminus A. \]
Como \(x_0\notin A\) e todos os pontos de acumulação pertencem a \(A\), o ponto \(x_0\) não pode ser um ponto de acumulação de \(A\).
Pela definição de ponto de acumulação, existe então um raio \(r>0\) tal que a vizinhança perfurada
\[ (x_0-r,x_0+r)\setminus\{x_0\} \]
não contém pontos de \(A\).
Como, além disso, \(x_0\notin A\), segue-se que o intervalo inteiro
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
está contido no complementar \(\mathbb R\setminus A\).
Mostrámos, assim, que cada ponto de \(\mathbb R\setminus A\) possui uma vizinhança contida no complementar. Consequentemente, \(\mathbb R\setminus A\) é aberto.
Portanto, \(A\) é fechado.
Interpretação geométrica
O teorema afirma que um conjunto é fechado quando não «deixa de fora» nenhum dos seus pontos de acumulação.
Por exemplo, o intervalo
\[ [0,1] \]
contém todos os seus pontos de acumulação e, por isso, é fechado.
Pelo contrário, o intervalo
\[ (0,1) \]
não contém os pontos de acumulação \(0\) e \(1\). Consequentemente, não é fechado.
Esta caracterização é frequentemente o método mais simples para estabelecer se um conjunto é fechado.
Propriedades dos conjuntos abertos
Os conjuntos abertos gozam de importantes propriedades de fecho que permitem construir novos conjuntos abertos a partir de conjuntos abertos já conhecidos.
Em particular, a união arbitrária de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto, ao passo que a intersecção de um número finito de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto.
União de conjuntos abertos
Seja \(\{A_i\}_{i\in I}\) uma família de conjuntos abertos. Então
\[ \bigcup_{i\in I}A_i \]
é um conjunto aberto.
Demonstração. Ponhamos
\[ A=\bigcup_{i\in I}A_i \]
e seja \(x_0\in A\).
Pela definição de união, existe pelo menos um índice \(j\in I\) tal que
\[ x_0\in A_j. \]
Como \(A_j\) é aberto, existe um raio \(r>0\) tal que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A_j. \]
Sendo \(A_j\subseteq A\), segue-se que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Mostrámos, assim, que cada ponto de \(A\) possui uma vizinhança contida em \(A\). Portanto, \(A\) é aberto.
Intersecção finita de conjuntos abertos
Sejam \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) conjuntos abertos. Então
\[ A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \]
é um conjunto aberto.
Demonstração. Ponhamos
\[ A=A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \]
e seja \(x_0\in A\).
Então
\[ x_0\in A_1,\quad x_0\in A_2,\quad \ldots,\quad x_0\in A_n. \]
Como cada um dos conjuntos é aberto, existem raios positivos
\[ r_1,r_2,\ldots,r_n \]
tais que
\[ (x_0-r_k,x_0+r_k)\subseteq A_k, \qquad k=1,\ldots,n. \]
Ponhamos
\[ r=\min\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}. \]
Então \(r>0\) e
\[ (x_0-r,x_0+r) \subseteq A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n. \]
Portanto, \(A\) é aberto.
Porque é que a intersecção infinita pode não ser aberta?
A propriedade anterior não pode ser estendida a intersecções infinitas.
Consideremos, de facto, a família de intervalos abertos
\[ A_n= \left( -\frac1n, \frac1n \right), \qquad n\in\mathbb N. \]
Cada \(A_n\) é aberto.
No entanto,
\[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( -\frac1n, \frac1n \right) = \{0\}. \]
O conjunto \(\{0\}\) não é aberto, pois nenhuma vizinhança de \(0\) está contida em \(\{0\}\).
Este exemplo mostra que a intersecção de uma família infinita de conjuntos abertos pode não ser aberta.
Em resumo:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{A união arbitrária de conjuntos abertos é aberta;}\\[4pt] &\text{a intersecção finita de conjuntos abertos é aberta.} \end{aligned} } \]
Propriedades dos conjuntos fechados
As propriedades dos conjuntos fechados são duais relativamente às dos conjuntos abertos. Em particular, a intersecção arbitrária de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado, ao passo que a união de um número finito de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado.
Intersecção arbitrária de conjuntos fechados
Seja \(\{A_i\}_{i\in I}\) uma família de conjuntos fechados. Então
\[ \bigcap_{i\in I}A_i \]
é um conjunto fechado.
Demonstração. Ponhamos
\[ A=\bigcap_{i\in I}A_i. \]
Utilizando as leis de De Morgan, obtemos
\[ \mathbb R\setminus A = \mathbb R\setminus \left( \bigcap_{i\in I}A_i \right) = \bigcup_{i\in I} \left( \mathbb R\setminus A_i \right). \]
Como cada conjunto \(A_i\) é fechado, o complementar \(\mathbb R\setminus A_i\) é aberto.
Além disso, a união arbitrária de conjuntos abertos é aberta.
Portanto, \(\mathbb R\setminus A\) é aberto e, consequentemente, \(A\) é fechado.
União finita de conjuntos fechados
Sejam \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) conjuntos fechados. Então
\[ A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n \]
é um conjunto fechado.
Demonstração. Ponhamos
\[ A=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n. \]
Aplicando novamente as leis de De Morgan, obtemos
\[ \mathbb R\setminus A = \mathbb R\setminus \left( A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n \right) = (\mathbb R\setminus A_1) \cap (\mathbb R\setminus A_2) \cap \cdots \cap (\mathbb R\setminus A_n). \]
Como cada complementar \(\mathbb R\setminus A_k\) é aberto e a intersecção finita de conjuntos abertos é aberta, segue-se que \(\mathbb R\setminus A\) é aberto.
Portanto, \(A\) é fechado.
Porque é que a união infinita pode não ser fechada?
A propriedade anterior não pode ser estendida a uniões infinitas.
Consideremos, de facto, os conjuntos
\[ A_n= \left[ \frac1n, 1 \right], \qquad n\in\mathbb N. \]
Cada \(A_n\) é um intervalo fechado.
A sua união é
\[ \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ \frac1n, 1 \right] = (0,1]. \]
O conjunto \((0,1]\) não é fechado, pois o ponto \(0\) é um ponto de acumulação que não pertence ao conjunto.
Este exemplo mostra que a união de uma família infinita de conjuntos fechados pode não ser fechada.
Em resumo:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{A intersecção arbitrária de conjuntos fechados é fechada;}\\[4pt] &\text{a união finita de conjuntos fechados é fechada.} \end{aligned} } \]