O Teorema de Weierstrass é um dos resultados fundamentais da análise matemática. Estabelece que uma função contínua definida num intervalo fechado e limitado atinge necessariamente um valor máximo e um valor mínimo.
Em outras palavras, uma função contínua num intervalo do tipo \([a,b]\) não é apenas limitada, mas atinge efetivamente o seu máximo absoluto e o seu mínimo absoluto em pontos do intervalo.
Índice
- Enunciado do Teorema de Weierstrass
- Existência do máximo
- Existência do mínimo
- Por que razão as hipóteses são necessárias
Enunciado do Teorema de Weierstrass
Seja
\[ f:[a,b]\to\mathbb R \]
uma função contínua no intervalo fechado e limitado \([a,b]\subseteq\mathbb R\), com \(a\leq b\). Então \(f\) é limitada e atinge um máximo absoluto e um mínimo absoluto em \([a,b]\).
Isto significa que existem dois pontos \(x_M,x_m\in[a,b]\) tais que
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \]
para todo \(x\in[a,b]\).
O número \(f(x_M)\) é o máximo absoluto de \(f\) em \([a,b]\), enquanto o número \(f(x_m)\) é o mínimo absoluto de \(f\) em \([a,b]\).
Existência do máximo
Demonstremos, em primeiro lugar, que \(f\) atinge um máximo absoluto em \([a,b]\).
Suponhamos, por redução ao absurdo, que \(f\) não é limitada superiormente em \([a,b]\). Então, para cada inteiro \(n\geq 1\), existe um ponto \(x_n\in[a,b]\) tal que
\[ f(x_n)>n. \]
A sucessão \((x_n)\) está contida no intervalo fechado e limitado \([a,b]\), logo é limitada. Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, admite uma subsucessão convergente:
\[ x_{n_k}\to x_0. \]
Como \(a\leq x_{n_k}\leq b\) para todo \(k\), passando ao limite obtém-se
\[ x_0\in[a,b]. \]
Sendo \(f\) contínua em \(x_0\), tem-se
\[ f(x_{n_k})\to f(x_0). \]
Em particular, a sucessão \((f(x_{n_k}))\) tem de ser limitada, uma vez que toda a sucessão convergente é limitada.
Por outro lado, por construção temos
\[ f(x_{n_k})>n_k. \]
Como \(n_k\to+\infty\), segue-se que \(f(x_{n_k})\to+\infty\), o que contradiz que \((f(x_{n_k}))\) seja convergente e, portanto, limitada.
Assim, \(f\) é limitada superiormente em \([a,b]\).
Como \([a,b]\) não é vazio e \(f\) é limitada superiormente em \([a,b]\), o conjunto \(f([a,b])\) não é vazio e é limitado superiormente. Podemos então definir
\[ M=\sup f([a,b]). \]
Queremos demonstrar que este supremo é, de facto, atingido pela função.
Pela propriedade característica do supremo, para cada inteiro \(n\geq 1\) existe \(x_n\in[a,b]\) tal que
\[ M-\frac{1}{n}\lt f(x_n)\leq M. \]
Daqui segue-se que
\[ f(x_n)\to M. \]
A sucessão \((x_n)\) está contida em \([a,b]\), logo é limitada. Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, existe uma subsucessão
\[ x_{n_k}\to x_M \]
com \(x_M\in[a,b]\).
Pela continuidade de \(f\), tem-se
\[ f(x_{n_k})\to f(x_M). \]
Mas, como \(f(x_n)\to M\), a subsucessão \((f(x_{n_k}))\) também converge para \(M\). Pela unicidade do limite,
\[ f(x_M)=M. \]
Logo, \(f\) atinge um máximo absoluto em \([a,b]\).
Existência do mínimo
Demonstremos agora que \(f\) atinge um mínimo absoluto em \([a,b]\).
O raciocínio é análogo ao desenvolvido para o máximo.
Em primeiro lugar, \(f\) é limitada inferiormente. De facto, se não o fosse, para cada inteiro \(n\geq 1\) existiria um ponto \(w_n\in[a,b]\) tal que
\[ f(w_n)<-n. \]
A sucessão \((w_n)\), estando contida em \([a,b]\), é limitada. Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, existe uma subsucessão
\[ w_{n_k}\to w_0 \]
com \(w_0\in[a,b]\).
Pela continuidade de \(f\), ter-se-ia
\[ f(w_{n_k})\to f(w_0). \]
Mas, por construção, \(f(w_{n_k})<-n_k\), e portanto \(f(w_{n_k})\to-\infty\), o que é impossível para uma sucessão convergente para um número real.
Assim, \(f\) é limitada inferiormente em \([a,b]\).
Como \([a,b]\) não é vazio e \(f\) é limitada inferiormente em \([a,b]\), o conjunto \(f([a,b])\) não é vazio e é limitado inferiormente. Podemos então definir
\[ m=\inf f([a,b]). \]
Pela propriedade característica do ínfimo, para cada inteiro \(n\geq 1\) existe \(y_n\in[a,b]\) tal que
\[ m\leq f(y_n)\lt m+\frac{1}{n}. \]
Daqui segue-se que
\[ f(y_n)\to m. \]
Como \((y_n)\) está contida em \([a,b]\), o teorema de Bolzano-Weierstrass garante a existência de uma subsucessão
\[ y_{n_k}\to x_m \]
com \(x_m\in[a,b]\).
Pela continuidade de \(f\), tem-se
\[ f(y_{n_k})\to f(x_m). \]
Mas também \(f(y_{n_k})\to m\). Pela unicidade do limite,
\[ f(x_m)=m. \]
Logo, \(f\) atinge um mínimo absoluto em \([a,b]\).
Fica assim demonstrado que uma função contínua num intervalo fechado e limitado é limitada e atinge tanto o seu máximo absoluto como o seu mínimo absoluto.
Por que razão as hipóteses são necessárias
As hipóteses do Teorema de Weierstrass são essenciais. Se faltar a continuidade, ou se o intervalo não for fechado ou não for limitado, a conclusão pode ser falsa.
Se o intervalo não for fechado. Consideremos a função
\[ f(x)=x \]
definida no intervalo aberto \((0,1)\). A função é contínua e limitada, mas não atinge nem máximo nem mínimo. Com efeito, os valores da função podem aproximar-se arbitrariamente de \(0\) e de \(1\), mas os pontos \(0\) e \(1\) não pertencem ao domínio.
Se o intervalo não for limitado. Consideremos a função
\[ f(x)=x \]
definida em \(\mathbb R\). A função é contínua, mas não é limitada nem superiormente nem inferiormente. Consequentemente, não admite máximo nem mínimo absolutos.
Se faltar a continuidade. Consideremos a função \(f:[0,1]\to\mathbb R\) definida por
\[ f(x)= \begin{cases} x, & 0\leq x\lt 1,\\ 0, & x=1. \end{cases} \]
O domínio \([0,1]\) é fechado e limitado, mas \(f\) não é contínua em \(x=1\). A função é limitada, mas não atinge um máximo absoluto: com efeito,
\[ \sup f([0,1])=1, \]
mas não existe nenhum \(x\in[0,1]\) tal que \(f(x)=1\). Com efeito, para \(0\leq x\lt 1\) tem-se \(f(x)=x\lt 1\), enquanto \(f(1)=0\).
Estes exemplos mostram que o Teorema de Weierstrass depende, de modo essencial, de todas as suas hipóteses: a continuidade da função e a condição de o domínio ser fechado e limitado.