As potências são um instrumento fundamental da álgebra: permitem escrever de forma compacta produtos repetidos e estão na base de muitas transformações algébricas.
Nesta página estudamos as principais propriedades das potências, partindo do caso mais simples dos expoentes naturais positivos e chegando depois aos expoentes zero, negativos e racionais, isto é, expoentes do tipo \(\displaystyle \frac{p}{q}\).
Seja \(a\in\mathbb{R}\) e seja \(n\in\mathbb{N}^*\), onde
\[ \mathbb{N}^*=\{1,2,3,\dots\}. \]
A potência de expoente \(n\) de \(a\), indicada pelo símbolo \(a^n\), é definida como o produto de \(a\) por si mesmo \(n\) vezes:
\[ a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ vezes}}. \]
O número \(a\) é denominado base da potência, enquanto o número \(n\) é denominado expoente da potência.
Por exemplo,
\[ a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a. \]
Índice
- Propriedades das Potências com Expoentes Naturais
- Potência com Expoente Zero
- Potências com Expoentes Inteiros Negativos
- Potências com Expoentes Racionais
- Exemplos de Aplicação das Propriedades das Potências
Propriedades das Potências com Expoentes Naturais
Nesta parte consideramos potências com expoente natural positivo. Sejam \(a,b\in\mathbb{R}\) e sejam \(m,n\in\mathbb{N}^*\). As propriedades das potências permitem transformar produtos, quocientes e potências compostas em formas mais simples.
Cada propriedade deve ser aplicada respeitando as condições de existência das expressões envolvidas. Em particular, quando aparecem quocientes, os denominadores devem ser diferentes de zero.
Produto de potências com a mesma base
O produto de duas potências com a mesma base é uma potência que tem a mesma base e, como expoente, a soma dos expoentes:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
De facto, por definição de potência,
\[ a^m=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ vezes}}, \qquad a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ vezes}}. \]
Multiplicando as duas potências obtém-se um produto formado por \(m+n\) fatores, todos iguais a \(a\):
\[ a^m\cdot a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ vezes}} = a^{m+n}. \]
Quociente de potências com a mesma base
Se \(a\neq 0\) e \(m\geq n\), o quociente de duas potências com a mesma base é uma potência que tem a mesma base e, como expoente, a diferença dos expoentes:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
A condição \(a\neq 0\) é necessária porque \(a^n\) aparece no denominador.
Para justificar a fórmula, escrevamos as duas potências como produtos repetidos:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ vezes}}} {\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ vezes}}}. \]
Uma vez que \(a\neq 0\), podemos simplificar \(n\) fatores iguais no numerador e no denominador. Restam \(m-n\) fatores iguais a \(a\), logo
\[ \frac{a^m}{a^n} = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m-n \text{ vezes}} = a^{m-n}. \]
O caso \(m<n\) requer a introdução dos expoentes negativos e será interpretado corretamente na secção dedicada a esse tema.
Potência de uma potência
A potência de uma potência é uma potência que tem a mesma base e, como expoente, o produto dos expoentes:
\[ (a^m)^n=a^{mn}. \]
De facto, elevar \(a^m\) à potência \(n\) significa multiplicar \(a^m\) por si próprio \(n\) vezes:
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m\cdot a^m\cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ vezes}}. \]
Cada fator \(a^m\) contém \(m\) fatores iguais a \(a\). Repetindo este bloco \(n\) vezes, obtemos ao todo \(mn\) fatores iguais a \(a\):
\[ (a^m)^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{mn \text{ vezes}} = a^{mn}. \]
Potência de um produto
A potência de um produto é o produto das potências dos fatores individuais:
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
De facto,
\[ (ab)^n = \underbrace{(ab)\cdot(ab)\cdot \ldots \cdot(ab)}_{n \text{ vezes}}. \]
Usando as propriedades comutativa e associativa da multiplicação entre números reais, podemos agrupar entre si todos os fatores iguais a \(a\) e todos os fatores iguais a \(b\):
\[ (ab)^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ vezes}} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ vezes}} = a^n b^n. \]
Potência de um quociente
Se \(b\neq 0\), a potência de um quociente é o quociente das potências do numerador e do denominador:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}. \]
De facto,
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot \ldots \cdot\frac{a}{b}}_{n \text{ vezes}}. \]
Multiplicando entre si os numeradores e, separadamente, os denominadores, obtemos
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ vezes}}} {\underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ vezes}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
Também neste caso a condição \(b\neq 0\) é essencial, pois o quociente \(\displaystyle \frac{a}{b}\) tem de estar definido.
Potência com Expoente Zero
Depois de definidas as potências com expoente natural positivo, é natural perguntar se é possível atribuir também um significado a uma potência com expoente zero.
A definição de \(a^0\) não é escolhida de forma arbitrária: deve ser compatível com as propriedades das potências já estabelecidas para os expoentes naturais positivos.
Seja \(a\neq 0\). Para todo \(n\in\mathbb{N}^*\), o quociente
\[ \frac{a^n}{a^n} \]
é igual a \(1\), porque o numerador e o denominador são iguais e diferentes de zero:
\[ \frac{a^n}{a^n}=1. \]
Por outro lado, se quisermos preservar a propriedade do quociente de potências com a mesma base, devemos ter
\[ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0. \]
Comparando as duas igualdades, vemos que, por coerência, deve ser
\[ a^0=1 \qquad \text{para todo } a\neq 0. \]
A condição \(a\neq 0\) é essencial. De facto, se \(a=0\), o quociente \(\displaystyle \frac{a^n}{a^n}\) torna-se \(\displaystyle \frac{0}{0}\), que não está definido.
Por este motivo, no contexto das propriedades algébricas das potências, a expressão \(0^0\) não é definida.
A definição \(a^0=1\) permite que as propriedades das potências continuem válidas mesmo quando aparece o expoente zero. Por exemplo, se \(a\neq 0\) e \(m\in\mathbb{N}^*\), então
\[ a^m\cdot a^0=a^m\cdot 1=a^m=a^{m+0}. \]
Potências com Expoentes Inteiros Negativos
Depois de introduzido o expoente zero, podemos estender ainda mais a definição de potência aos expoentes inteiros negativos.
Também neste caso a definição não é arbitrária: é escolhida de modo que as propriedades das potências continuem válidas mesmo quando os expoentes deixam de ser apenas naturais.
Seja \(a\neq 0\) e seja \(n\in\mathbb{N}^*\). A potência de base \(a\) e expoente \(-n\) define-se pondo
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Por outras palavras, elevar um número não nulo a um expoente negativo significa tomar o inverso da potência com expoente positivo correspondente.
A condição \(a\neq 0\) é indispensável, porque o inverso de \(a^n\) só está definido se \(a^n\neq 0\).
A razão desta definição é a seguinte. Se quisermos que a propriedade do produto de potências com a mesma base continue válida, devemos ter
\[ a^n\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^0. \]
Uma vez que \(a^0=1\), tem de resultar então que
\[ a^n\cdot a^{-n}=1. \]
Isto significa precisamente que \(a^{-n}\) tem de ser o inverso de \(a^n\), isto é,
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Esta definição permite ainda interpretar corretamente o quociente de potências com a mesma base no caso em que o expoente do numerador seja menor do que o do denominador.
De facto, se \(a\neq 0\) e \(m,n\) são inteiros não negativos com \(m<n\), então \(n-m>0\) e
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}. \]
Pela definição de expoente negativo,
\[ \frac{1}{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}. \]
Uma vez que
\[ -(n-m)=m-n, \]
obtemos
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
Deste modo, a propriedade
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]
permanece válida mesmo quando \(m<n\), desde que \(a\neq 0\).
De um modo mais geral, se \(a\neq 0\), as propriedades das potências estendem-se aos expoentes inteiros. Por exemplo, para \(h,k\in\mathbb{Z}\) tem-se
\[ a^h\cdot a^k=a^{h+k}. \]
Potências com Expoentes Racionais
Depois de definidas as potências com expoente inteiro, podemos estender a noção de potência também aos expoentes racionais.
Nesta parte consideramos principalmente o caso \(a>0\), que é o contexto natural em que as potências com expoente racional se comportam de forma regular e conservam todas as propriedades fundamentais das potências.
Seja \(a>0\) e seja \(q\in\mathbb{N}^*\). A potência com expoente \(\displaystyle \frac{1}{q}\) define-se pondo
\[ a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}. \]
Esta definição é coerente com a propriedade da potência de uma potência. De facto, se quisermos que continue válida a igualdade
\[ \left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q=a^{\frac{1}{q}\cdot q}=a, \]
então \(a^{\frac{1}{q}}\) tem de ser o número positivo que, elevado à potência \(q\)-ésima, devolve \(a\). Por definição, este número é a raiz aritmética de índice \(q\) de \(a\).
De um modo mais geral, se \(p\in\mathbb{Z}\) e \(q\in\mathbb{N}^*\), definimos
\[ a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p. \]
Uma vez que \(a>0\), também \(\sqrt[q]{a}>0\), pelo que a expressão está definida mesmo quando \(p\) é negativo.
No caso \(a>0\), a mesma quantidade pode também escrever-se na forma
\[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. \]
De facto, para bases positivas, as potências inteiras e as raízes aritméticas consideradas estão sempre definidas, e as duas escritas
\[ \left(\sqrt[q]{a}\right)^p \qquad \text{e} \qquad \sqrt[q]{a^p} \]
representam o mesmo número.
Por exemplo,
\[ 16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8. \]
Se o expoente racional for negativo, usa-se também a definição de potência com expoente inteiro negativo:
\[ a^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}, \qquad a>0. \]
Por exemplo,
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}. \]
Com esta definição, as propriedades das potências estendem-se aos expoentes racionais. A verificação obtém-se escrevendo os expoentes racionais como frações com denominador comum e aplicando as propriedades já estabelecidas para as potências e para as raízes.
Em particular, para \(a>0\) e para \(r,s\in\mathbb{Q}\), são válidas as fórmulas
\[ a^r\cdot a^s=a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}, \qquad \left(a^r\right)^s=a^{rs}. \]
A restrição \(a>0\) permite evitar ambiguidades e casos particulares associados a bases nulas ou negativas. Por exemplo, se \(a=0\), as potências com expoente racional positivo podem ser definidas em muitos casos, enquanto as de expoente negativo não estão definidas. Se, pelo contrário, \(a<0\), a situação exige distinções adicionais e nem todas as propriedades permanecem válidas sem condições suplementares.
A extensão das potências aos expoentes reais requer instrumentos mais avançados relacionados com o conceito de limite, sendo tratada num contexto posterior. Nesta página limitamo-nos aos expoentes naturais, inteiros e racionais.
Exemplos de Aplicação das Propriedades das Potências
Vejamos alguns exemplos de aplicação das propriedades das potências. Os exemplos servem para mostrar como usar as regras de forma ordenada, distinguindo as potências com a mesma base, as potências de produtos, as potências de quocientes e as potências com expoente negativo ou racional.
Exemplo 1. Simplifiquemos a expressão
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4. \]
Agrupamos as potências com a mesma base e somamos os expoentes:
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4 = a^{5+3}\cdot b^{2+4} = a^8b^6. \]
Logo,
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4=a^8b^6. \]
Exemplo 2. Simplifiquemos a expressão
\[ (a^3b^2)^4. \]
Aplicamos primeiro a propriedade da potência de um produto e depois a propriedade da potência de uma potência:
\[ (a^3b^2)^4 = (a^3)^4(b^2)^4 = a^{3\cdot 4}b^{2\cdot 4} = a^{12}b^8. \]
Portanto,
\[ (a^3b^2)^4=a^{12}b^8. \]
Exemplo 3. Simplifiquemos a expressão
\[ a^5\cdot a^0, \]
supondo \(a\neq 0\). Uma vez que \(a^0=1\), obtemos
\[ a^5\cdot a^0=a^5\cdot 1=a^5. \]
Exemplo 4. Simplifiquemos a expressão
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3}, \]
supondo \(a\neq 0\) e \(b\neq 0\). Separamos as potências com a mesma base:
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3} = \frac{a^6}{a^2}\cdot\frac{b^8}{b^3}. \]
Agora subtraímos os expoentes:
\[ \frac{a^6}{a^2}\cdot\frac{b^8}{b^3} = a^{6-2}b^{8-3} = a^4b^5. \]
Logo,
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3}=a^4b^5. \]
Exemplo 5. Simplifiquemos a expressão
\[ \left(\frac{a^3b^5}{ab^2}\right)^2, \]
com \(a\neq 0\) e \(b\neq 0\). Primeiro simplificamos o quociente dentro dos parênteses:
\[ \frac{a^3b^5}{ab^2} = a^{3-1}b^{5-2} = a^2b^3. \]
Agora elevamos ao quadrado:
\[ \left(a^2b^3\right)^2 = (a^2)^2(b^3)^2 = a^4b^6. \]
Portanto,
\[ \left(\frac{a^3b^5}{ab^2}\right)^2=a^4b^6. \]
Exemplo 6. Simplifiquemos a expressão
\[ 8^{-\frac{2}{3}}. \]
O expoente é racional negativo. Primeiro transformamos a potência no inverso da potência com expoente positivo:
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}. \]
Agora usamos a definição de potência com expoente racional:
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4. \]
Logo,
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}. \]