Exercício de 15/04/2026 - 09:00 — nível ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=2x+1 \]
Resultado
Função bijetiva.
Resolução
Injetividade
Para verificar se a função é injetiva, suponhamos que dois valores têm a mesma imagem:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies 2x_1+1=2x_2+1 \]
Eliminando o termo constante obtemos:
\[ 2x_1=2x_2 \implies x_1=x_2 \]
Portanto, valores distintos não podem ter a mesma imagem: a função é injetiva.
Sobrejetividade
Para verificar se é sobrejetiva, tomemos um valor real arbitrário \(y\) e vejamos se existe \(x\) tal que \(f(x)=y\):
\[ y=2x+1 \]
Resolvendo em ordem a \(x\):
\[ x=\frac{y-1}{2} \]
Este valor é sempre real, logo todo número real é imagem de pelo menos um elemento do domínio. A função é sobrejetiva.
Conclusão
Como é simultaneamente injetiva e sobrejetiva, a função é bijetiva.
\[ \boxed{f \text{ é bijetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 09:30 — nível ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2 \]
Resultado
Não injetiva e não sobrejetiva (em \(\mathbb{R}\)).
Resolução
Injetividade
Basta encontrar dois valores distintos com a mesma imagem. Por exemplo:
\[ f(1)=1, \qquad f(-1)=1 \]
Como \(1\neq -1\), mas as imagens coincidem, a função não é injetiva.
Sobrejetividade
O quadrado de um número real é sempre não negativo:
\[ x^2 \ge 0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Portanto a função assume apenas valores em \([0,+\infty)\). Em particular, nenhum número negativo é imagem de algum \(x\).
Consequentemente, a função não é sobrejetiva em \(\mathbb{R}\).
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ não é nem injetiva nem sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 10:00 — nível ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3 \]
Resultado
Função bijetiva.
Resolução
Injetividade
Suponhamos que:
\[ f(x_1)=f(x_2) \implies x_1^3=x_2^3 \]
Como a função cúbica é estritamente crescente, desta igualdade decorre necessariamente:
\[ x_1=x_2 \]
Portanto a função é injetiva.
Sobrejetividade
Tomemos um valor arbitrário \(y\in\mathbb{R}\) e consideremos a equação:
\[ y=x^3 \]
Esta equação tem sempre solução real, nomeadamente:
\[ x=\sqrt[3]{y} \]
Isso mostra que todo número real é imagem de algum \(x\), portanto a função é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é bijetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 10:30 — nível ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}, \quad f(n)=n+1 \]
Resultado
Injetiva mas não sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
Suponhamos que dois números naturais têm a mesma imagem:
\[ f(n_1)=f(n_2) \implies n_1+1=n_2+1 \]
Do que se conclui imediatamente:
\[ n_1=n_2 \]
Portanto a função é injetiva.
Sobrejetividade
O valor \(0\) (ou \(1\), consoante a definição de \(\mathbb{N}\)) não é imagem de nenhum número natural.
Com efeito, não existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(n+1=0\).
Portanto a função não é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é injetiva mas não sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 11:00 — nível ★☆☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=5 \]
Resultado
Não injetiva e não sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
A função associa a todo número real sempre o mesmo valor:
\[ f(x)=5 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Portanto valores distintos têm a mesma imagem. A função não é injetiva.
Sobrejetividade
A imagem da função é o único valor \(5\), ou seja:
\[ \operatorname{Im}(f)=\{5\} \]
Como este conjunto não coincide com \(\mathbb{R}\), a função não é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ não é nem injetiva nem sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 11:30 — nível ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, \quad f(n)=2n \]
Resultado
Injetiva mas não sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
Suponhamos:
\[ f(n_1)=f(n_2) \implies 2n_1=2n_2 \]
Dividindo por 2 obtemos:
\[ n_1=n_2 \]
Portanto a função é injetiva.
Sobrejetividade
Os valores assumidos pela função são todos e apenas os números pares:
\[ \operatorname{Im}(f)=\{2n \mid n\in\mathbb{Z}\} \]
Os números ímpares não são imagem de nenhum elemento do domínio, portanto a função não é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é injetiva mas não sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 12:00 — nível ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2+1 \]
Resultado
Não injetiva e não sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
À semelhança do caso \(x^2\), tem-se:
\[ f(1)=2,\qquad f(-1)=2 \]
Portanto valores distintos têm a mesma imagem e a função não é injetiva.
Sobrejetividade
Observa-se que:
\[ x^2 \ge 0 \implies x^2+1 \ge 1 \]
Portanto:
\[ \operatorname{Im}(f)=[1,+\infty) \]
Os números menores do que 1 não são imagens, logo a função não é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ não é nem injetiva nem sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 12:30 — nível ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \quad f(x)=x^2 \]
Resultado
Não injetiva mas sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
Como já vimos:
\[ f(1)=f(-1)=1 \]
com \(1\neq -1\), portanto a função não é injetiva.
Sobrejetividade
O contradomínio é agora \([0,+\infty)\). Seja \(y\ge 0\): verificamos se existe \(x\) tal que:
\[ y=x^2 \]
Esta equação tem sempre solução real:
\[ x=\pm\sqrt{y} \]
Portanto todo valor do contradomínio é efetivamente assumido pela função, que é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é sobrejetiva mas não injetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 13:00 — nível ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)= \begin{cases} x & x\ge 0 \\ -x & x<0 \end{cases} \]
Resultado
Não injetiva e não sobrejetiva.
Resolução
Interpretação
A função coincide com o valor absoluto:
\[ f(x)=|x| \]
Injetividade
Por exemplo:
\[ f(1)=1,\qquad f(-1)=1 \]
com valores distintos do domínio. Portanto a função não é injetiva.
Sobrejetividade
Como \( |x|\ge 0 \), a imagem é:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Os números negativos nunca são assumidos, portanto a função não é sobrejetiva em \(\mathbb{R}\).
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ não é nem injetiva nem sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 13:30 — nível ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=e^x \]
Resultado
Injetiva mas não sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
A função exponencial é estritamente crescente em todo \(\mathbb{R}\). Isso significa que, se \(x_1<x_2\), então:
\[ e^{x_1} < e^{x_2} \]
Consequentemente, é impossível que dois valores distintos tenham a mesma imagem. A função é portanto injetiva.
Sobrejetividade
Observa-se que:
\[ e^x > 0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \]
Portanto a imagem da função é:
\[ \operatorname{Im}(f)=(0,+\infty) \]
Os números negativos e o zero nunca são assumidos pela função, logo nem todos os valores reais são imagens.
A função não é sobrejetiva em \(\mathbb{R}\).
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é injetiva mas não sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 14:00 — nível ★★☆☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to(0,+\infty), \quad f(x)=e^x \]
Resultado
Função bijetiva.
Resolução
Injetividade
Como já observado, a função exponencial é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\), o que implica que valores distintos do domínio produzem imagens distintas.
Portanto a função é injetiva.
Sobrejetividade
O contradomínio é \((0,+\infty)\). Seja \(y>0\): verificamos se existe \(x\) tal que:
\[ y=e^x \]
Resolvendo:
\[ x=\ln(y) \]
Como o logaritmo está definido para todo \(y>0\), todo elemento do contradomínio é efetivamente imagem de algum \(x\).
A função é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é bijetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 14:30 — nível ★★☆☆☆
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\ln(x) \]
Resultado
Função bijetiva.
Resolução
Injetividade
O logaritmo é uma função estritamente crescente no seu domínio \((0,+\infty)\), portanto valores distintos produzem imagens distintas.
A função é injetiva.
Sobrejetividade
Seja \(y\in\mathbb{R}\). Consideremos:
\[ y=\ln(x) \]
Resolvendo:
\[ x=e^y \]
Como \(e^y>0\), existe sempre um valor no domínio com imagem \(y\).
Portanto a função é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é bijetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 15:00 — nível ★★★☆☆
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\sqrt{x} \]
Resultado
Injetiva mas não sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
A função raiz quadrada é crescente em \([0,+\infty)\), portanto valores distintos produzem imagens distintas.
É portanto injetiva.
Sobrejetividade
Tem-se:
\[ \sqrt{x} \ge 0 \]
Portanto a imagem é \([0,+\infty)\), que não coincide com \(\mathbb{R}\).
Os números negativos não são nunca imagens, logo a função não é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é injetiva mas não sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 15:30 — nível ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3-x \]
Resultado
Sobrejetiva mas não injetiva.
Resolução
Injetividade
A função não é monótona em todo \(\mathbb{R}\). Por exemplo, existem valores distintos com a mesma imagem (o gráfico tem um comportamento em «S»).
Portanto a função não é injetiva.
Sobrejetividade
Sendo um polinómio de grau ímpar, tem-se:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Além disso, a função é contínua, logo assume todos os valores reais.
É portanto sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é sobrejetiva mas não injetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 16:00 — nível ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=ax+1 \]
Resultado
Bijetiva se e somente se \(a\neq 0\).
Resolução
Injetividade
Suponhamos:
\[ ax_1+1=ax_2+1 \implies ax_1=ax_2 \]
Se \(a\neq 0\), dividindo obtemos \(x_1=x_2\), portanto a função é injetiva. Se \(a=0\), a função é constante e não é injetiva.
Sobrejetividade
Resolvendo \(y=ax+1\):
\[ x=\frac{y-1}{a} \]
Esta solução existe para todo \(y\) apenas se \(a\neq 0\).
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é bijetiva} \iff a\neq 0} \]
Exercício de 15/04/2026 - 16:30 — nível ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^2+ax \]
Resultado
Nunca é injetiva em \(\mathbb{R}\).
Resolução
Injetividade
Trata-se de um polinómio de segundo grau. O seu gráfico é uma parábola, portanto não é monótona em todo \(\mathbb{R}\).
Consequentemente, existem sempre dois valores distintos com a mesma imagem.
A função não é injetiva para nenhum valor de \(a\).
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ nunca é injetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 17:00 — nível ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{x-1} \]
Resultado
Injetiva mas não sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
Suponhamos:
\[ \frac{1}{x_1-1}=\frac{1}{x_2-1} \]
Do que se conclui:
\[ x_1-1=x_2-1 \implies x_1=x_2 \]
Portanto a função é injetiva.
Sobrejetividade
A função nunca assume o valor \(0\), uma vez que uma fração com numerador 1 não pode ser nula.
Portanto:
\[ 0 \notin \operatorname{Im}(f) \]
A função não é sobrejetiva em \(\mathbb{R}\).
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é injetiva mas não sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 17:30 — nível ★★★☆☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\arctan(x) \]
Resultado
Injetiva mas não sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
A função arctan é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\), portanto é injetiva.
Sobrejetividade
Tem-se:
\[ \operatorname{Im}(f)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \]
Este intervalo não coincide com \(\mathbb{R}\), portanto a função não é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é injetiva mas não sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 18:30 — nível ★★★☆☆
\[ f:A\to B,\quad A=\{1,2,3,4\},\quad B=\{a,b,c\} \] \[ f(1)=a,\quad f(2)=b,\quad f(3)=c,\quad f(4)=a \]
Resultado
Sobrejetiva mas não injetiva.
Resolução
Injetividade
Observa-se que:
\[ f(1)=a,\qquad f(4)=a \]
com \(1\neq 4\), portanto a função não é injetiva.
Sobrejetividade
Todos os elementos de \(B\) são imagens de pelo menos um elemento de \(A\):
\[ a,b,c \in \operatorname{Im}(f) \]
Portanto a função é sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é sobrejetiva mas não injetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 19:00 — nível ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=x^3-3x \]
Resultado
Sobrejetiva mas não injetiva.
Resolução
Injetividade
A função não é monótona em todo \(\mathbb{R}\): apresenta um máximo e um mínimo locais, logo existem valores distintos com a mesma imagem.
Não é portanto injetiva.
Sobrejetividade
Sendo um polinómio de grau ímpar, tem-se:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Por continuidade, a função assume todos os valores reais.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é sobrejetiva mas não injetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 19:30 — nível ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x}{1+x^2} \]
Resultado
Não injetiva e não sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
A função não é monótona em todo \(\mathbb{R}\) (cresce e depois decresce), portanto existem valores distintos com a mesma imagem.
Sobrejetividade
Pode-se verificar que:
\[ -\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2} \]
portanto a imagem é um intervalo limitado e não coincide com \(\mathbb{R}\).
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ não é nem injetiva nem sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 20:00 — nível ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\ln(x^2+1) \]
Resultado
Não injetiva e não sobrejetiva.
Resolução
Injetividade
Como \(x^2\) é uma função par, tem-se:
\[ f(x)=f(-x) \]
com \(x\neq -x\) (para \(x\neq 0\)), portanto a função não é injetiva.
Sobrejetividade
Tem-se:
\[ x^2+1 \ge 1 \implies \ln(x^2+1) \ge 0 \]
Portanto:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty) \]
Os valores negativos nunca são assumidos.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ não é nem injetiva nem sobrejetiva}} \]
Exercício de 15/04/2026 - 20:30 — nível ★★★★☆
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=e^x+x \]
Resultado
Função bijetiva.
Resolução
Injetividade
A soma de duas funções estritamente crescentes é ainda estritamente crescente. Como \(e^x\) e \(x\) são ambas crescentes, também \(f(x)\) é estritamente crescente, portanto é injetiva.
Sobrejetividade
Tem-se:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
Como é contínua e com limites opostos, assume todos os valores reais. É portanto sobrejetiva.
Conclusão
\[ \boxed{f \text{ é bijetiva}} \]