Exercícios Resolvidos sobre a Divisão de Polinômios

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

O dividendo se fatora como \((x+2)(x+3)\): a divisão será exata. O algoritmo o confirma em apenas dois passos.

Passo 1

Divido o termo de maior grau: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x+2)=x^2+2x\). Mudo os sinais e somo: \(x^2\) se cancela. Polinômio restante: \(3x+6\).

Passo 2

I divide: \(3x\div x=3\). Multiplico: \(3(x+2)=3x+6\). Mudo os sinais: \(3x\) and \(6\) cancel. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x+2)(x+3)=x^2+5x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

Reconhecemos a forma \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) com \(a=x\) e \(b=3\). O termo \(0x\) deve ser inserido como marcador de posição.

Passo 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-3)=x^2-3x\). Mudo os sinais: \(x^2\) se cancela. Restante: \(3x-9\).

Passo 2

I divide: \(3x\div x=3\). Multiplico: \(3(x-3)=3x-9\). Mudo os sinais: \(3x\) and \(-9\) cancel. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x-3)(x+3)=x^2-9\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

Como \(f(1)=1+2-3=0\), o teorema do resto garante que \((x-1)\) divide exatamente o dividendo.

Passo 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Mudo os sinais: \(x^2\) se cancela. Restante: \(3x-3\).

Passo 2

I divide: \(3x\div x=3\). Multiplico: \(3(x-1)=3x-3\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x-1)(x+3)=x^2+2x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

O coeficiente diretor do dividendo é \(2\): o primeiro termo do quociente será \(2x\). A divisão é exata porque \(f(-1)=0\).

Passo 1

I divide: \(2x^2\div x=2x\). Multiplico: \(2x(x+1)=2x^2+2x\). Mudo os sinais: \(2x^2\) se cancela. Restante: \(-3x-3\).

Passo 2

I divide: \(-3x\div x=-3\). Multiplico: \(-3(x+1)=-3x-3\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x+1)(2x-3)=2x^2-x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+1,\quad R(x)=2 \]

Ideia de resolução

Pelo teorema do resto, \(R=f(1)=1+1=2\neq0\): a divisão não é exata. O termo \(0x\) deve ser inserido como marcador de posição.

Passo 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Mudo os sinais: \(x^2\) se cancela. Restante: \(x+1\).

Passo 2

I divide: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Mudo os sinais: \(x\) se cancela; \(1+1=2\). Como \(\deg 0<1\), paramos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+1,\quad R(x)=2} \]

Verificação: \( (x-1)(x+1)+2=x^2+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

Fórmula: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) com \(a=x,\;b=2\). Os termos \(0x^2\) e \(0x\) devem ser inseridos como marcadores de posição.

Passo 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\). Mudo os sinais: \(x^3\) se cancela. Restante: \(2x^2-8\).

Passo 2

I divide: \(2x^2\div x=2x\). Multiplico: \(2x(x-2)=2x^2-4x\). Mudo os sinais: \(2x^2\) se cancela. Restante: \(4x-8\).

Passo 3

I divide: \(4x\div x=4\). Multiplico: \(4(x-2)=4x-8\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

Fórmula: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) com \(a=x,\;b=1\). Verificação rápida: \(f(-1)=-1+1=0\).

Passo 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x+1)=x^3+x^2\). Mudo os sinais: \(x^3\) se cancela. Restante: \(-x^2+1\).

Passo 2

I divide: \(-x^2\div x=-x\). Multiplico: \(-x(x+1)=-x^2-x\). Mudo os sinais: \(-x^2\) se cancela. Restante: \(x+1\).

Passo 3

I divide: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1\cdot(x+1)=x+1\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x+1)(x^2-x+1)=x^3+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3 \]

Ideia de resolução

O termo \(x^2\) está ausente: insira-o como \(0x^2\). Pelo teorema do resto, \(f(1)=1+1+1=3\neq0\), portanto o resto é \(3\).

Passo 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Mudo os sinais: \(x^3\) se cancela. Restante: \(x^2+x+1\).

Passo 2

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Mudo os sinais: \(x^2\) se cancela. Restante: \(2x+1\).

Passo 3

I divide: \(2x\div x=2\). Multiplico: \(2(x-1)=2x-2\). Mudo os sinais: \(2x\) se cancela; \(1+2=3\). Como \(\deg 0<1\), paramos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3} \]

Verificação: \( (x-1)(x^2+x+2)+3=x^3+x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

O dividendo é \((x-1)^3\). Dividir por \((x-1)\) dá \((x-1)^2=x^2-2x+1\). Verificação: \(f(1)=0\).

Passo 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Mudo os sinais: \(x^3\) se cancela. Restante: \(-2x^2+3x-1\).

Passo 2

I divide: \(-2x^2\div x=-2x\). Multiplico: \(-2x(x-1)=-2x^2+2x\). Mudo os sinais: \(-2x^2\) se cancela. Restante: \(x-1\).

Passo 3

I divide: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x-1)^3\div(x-1)=(x-1)^2=x^2-2x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1 \]

Ideia de resolução

Pelo teorema do resto, \(R=f(2)=4-6+1=-1\neq0\). O quociente tem grau \(1\).

Passo 1

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-2)=x^2-2x\). Mudo os sinais: \(x^2\) se cancela. Restante: \(-x+1\).

Passo 2

I divide: \(-x\div x=-1\). Multiplico: \(-1\cdot(x-2)=-x+2\). Mudo os sinais: \(-x\) se cancela; \(1-2=-1\). Como \(\deg 0<1\), paramos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1} \]

Verificação: \( (x-2)(x-1)-1=x^2-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

\(f(1)=1+1-1-1=0\): a divisão é exata. O quociente \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) é um quadrado perfeito.

Passo 1

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Mudo os sinais: \(x^3\) se cancela. Restante: \(2x^2-x-1\).

Passo 2

I divide: \(2x^2\div x=2x\). Multiplico: \(2x(x-1)=2x^2-2x\). Mudo os sinais: \(2x^2\) se cancela. Restante: \(x-1\).

Passo 3

I divide: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9 \]

Ideia de resolução

O termo \(x^2\) está ausente: insira-o como \(0x^2\). O teorema do resto dá \(f(-2)=-16+6+1=-9\): isso confirma o resto.

Passo 1

I divide: \(2x^3\div x=2x^2\). Multiplico: \(2x^2(x+2)=2x^3+4x^2\). Mudo os sinais: \(2x^3\) se cancela. Restante: \(-4x^2-3x+1\).

Passo 2

I divide: \(-4x^2\div x=-4x\). Multiplico: \(-4x(x+2)=-4x^2-8x\). Mudo os sinais: \(-4x^2\) se cancela. Restante: \(5x+1\).

Passo 3

I divide: \(5x\div x=5\). Multiplico: \(5(x+2)=5x+10\). Mudo os sinais: \(5x\) se cancela; \(1-10=-9\). Como \(\deg 0<1\), paramos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9} \]

Verificação: \( (x+2)(2x^2-4x+5)-9=2x^3-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+2,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

O divisor \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) tem grau 2: o quociente terá grau \(3-2=1\) e o resto no máximo grau \(1\).

Passo 1

I divide: \(x^3\div x^2=x\). Multiplico: \(x(x^2-1)=x^3-x\). Mudo os sinais: \(x^3\) and \(-x\) se cancelam. Restante: \(2x^2-2\).

Passo 2

I divide: \(2x^2\div x^2=2\). Multiplico: \(2(x^2-1)=2x^2-2\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x+2,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8 \]

Ideia de resolução

O divisor tem grau 2 e o dividendo grau 3: o quociente terá grau \(1\). O resto tem grau no máximo \(1\), ou seja, é da forma \(ax+b\).

Passo 1

I divide: \(2x^3\div x^2=2x\). Multiplico: \(2x(x^2-x-2)=2x^3-2x^2-4x\). Mudo os sinais: \(2x^3\) se cancela. Restante: \(x^2-3x+6\).

Passo 2

I divide: \(x^2\div x^2=1\). Multiplico: \(x^2-x-2\). Mudo os sinais: \(x^2\) se cancela. Restante: \(-2x+8\). Como \(\deg 1<2\), paramos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8} \]

Verificação: \( (x^2-x-2)(2x+1)+(-2x+8)=2x^3-x^2-7x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3 \]

Ideia de resolução

O termo \(x^3\) está ausente: insira-o como \(0x^3\). O quociente terá grau \(4-2=2\). O resto é uma constante.

Passo 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2\). Mudo os sinais: \(x^4\) and \(x^3\) se cancelam. Restante: \(-x^3+x^2+x-1\).

Passo 2

I divide: \(-x^3\div x^2=-x\). Multiplico: \(-x(x^2+x+1)=-x^3-x^2-x\). Mudo os sinais: \(-x^3\), \(x^2\) and \(x\) se cancelam. Restante: \(2x^2+2x-1\).

Passo 3

I divide: \(2x^2\div x^2=2\). Multiplico: \(2(x^2+x+1)=2x^2+2x+2\). Mudo os sinais: \(2x^2\) and \(2x\) se cancelam; \(-1-2=-3\). Como \(\deg 0<2\), paramos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3} \]

Verificação: \( (x^2+x+1)(x^2-x+2)-3=x^4+2x^2+x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

Os termos \(x^3\) e \(x\) estão ausentes: insira-os como \(0x^3\) e \(0x\). Reconhecemos \(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)\).

Passo 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\). Mudo os sinais: \(x^4\) se cancela. Restante: \(-4x^2+4\).

Passo 2

I divide: \(-4x^2\div x^2=-4\). Multiplico: \(-4(x^2-1)=-4x^2+4\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9 \]

Ideia de resolução

Grau do dividendo 3, grau do divisor 2: quociente de grau \(1\), resto de grau no máximo \(1\). O resto não é nulo e deve ser calculado completamente.

Passo 1

I divide: \(3x^3\div x^2=3x\). Multiplico: \(3x(x^2+x-1)=3x^3+3x^2-3x\). Mudo os sinais: \(3x^3\) se cancela. Restante: \(-5x^2+4x-4\).

Passo 2

I divide: \(-5x^2\div x^2=-5\). Multiplico: \(-5(x^2+x-1)=-5x^2-5x+5\). Mudo os sinais: \(-5x^2\) se cancela. Restante: \(9x-9\). Como \(\deg 1<2\), paramos.

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9} \]

Verificação: \( (x^2+x-1)(3x-5)+(9x-9)=3x^3-2x^2+x-4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

O divisor \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\). Tanto \(f(1)\) quanto \(f(-2)\) são nulos: a divisão é exata. O quociente é por sua vez fatorável.

Passo 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2+x-2)=x^4+x^3-2x^2\). Mudo os sinais: \(x^4\) se cancela. Restante: \(-2x^3-5x^2+x+6\).

Passo 2

I divide: \(-2x^3\div x^2=-2x\). Multiplico: \(-2x(x^2+x-2)=-2x^3-2x^2+4x\). Mudo os sinais: \(-2x^3\) se cancela. Restante: \(-3x^2-3x+6\).

Passo 3

I divide: \(-3x^2\div x^2=-3\). Multiplico: \(-3(x^2+x-2)=-3x^2-3x+6\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x^2+x-2)(x^2-2x-3)=x^4-x^3-7x^2+x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

Identidade da série geométrica: \(\displaystyle\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1\). Todos os termos intermediários do dividendo são nulos.

Passo 1

I divide: \(x^5\div x=x^4\). Multiplico: \(x^4(x-1)=x^5-x^4\). Mudo os sinais: \(x^5\) se cancela. Restante: \(x^4-1\).

Passo 2

I divide: \(x^4\div x=x^3\). Multiplico: \(x^3(x-1)=x^4-x^3\). Mudo os sinais: \(x^4\) se cancela. Restante: \(x^3-1\).

Passo 3

I divide: \(x^3\div x=x^2\). Multiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Mudo os sinais: \(x^3\) se cancela. Restante: \(x^2-1\).

Passo 4

I divide: \(x^2\div x=x\). Multiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Mudo os sinais: \(x^2\) se cancela. Restante: \(x-1\).

Passo 5

I divide: \(x\div x=1\). Multiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0 \]

Ideia de resolução

O dividendo se fatora como \(x(x-2)(x^2-1)\) and the divisor as \(x(x-2)\): the division is exact in just two steps.

Passo 1

I divide: \(x^4\div x^2=x^2\). Multiplico: \(x^2(x^2-2x)=x^4-2x^3\). Mudo os sinais: \(x^4\) and \(-2x^3\) se cancelam. Restante: \(-x^2+2x\).

Passo 2

I divide: \(-x^2\div x^2=-1\). Multiplico: \(-1\cdot(x^2-2x)=-x^2+2x\). Mudo os sinais: tudo se cancela. Resto: \(0\).

Esquema completo

Resultado

\[ \boxed{Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0} \]

Verificação: \( x(x-2)(x^2-1)=x(x-2)(x-1)(x+1)\;\checkmark \)