Exercícios Resolvidos sobre o Estudo de Funções

Reta crescente com zero em \(x=2\), sem assímptotas, sem extremos.

Domínio e Simetrias

A função é um polinómio de primeiro grau, pelo que está definida para todo o valor real: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). Para verificar as simetrias, calcula-se \(f(-x)=-2x-4\): este valor não coincide nem com \(f(x)=2x-4\) nem com \(-f(x)=-2x+4\), portanto a função não é par nem ímpar.

Interseções com os Eixos

Com o eixo \(y\), calcula-se \(f(0)=2\cdot0-4=-4\), logo o gráfico intersecta o eixo \(y\) no ponto \((0,-4)\). Com o eixo \(x\), impõe-se \(f(x)=0\):

\[ 2x-4=0 \implies x=2 \]

O único zero é \(x=2\), ou seja, o ponto \((2,0)\).

Estudo do Sinal

Como o coeficiente de \(x\) é positivo, a função é negativa à esquerda do zero e positiva à direita:

\[ f(x) > 0 \iff x > 2 \qquad f(x) < 0 \iff x < 2 \]

Limites e Assímptotas

Por se tratar de um polinómio, \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) e \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\). Não existem assímptotas de qualquer tipo.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se \(f'(x)=2\). Como a derivada é constantemente positiva, a função é estritamente crescente em todo o \(\mathbb{R}\) e não tem máximos nem mínimos.

Derivada Segunda e Concavidade

Tem-se \(f''(x)=0\) em todo o ponto: o gráfico não apresenta pontos de inflexão e a concavidade nunca se altera.

Resultado

\[ \boxed{f \text{ é uma reta crescente com zero em } x=2} \]

Gráfico da Função

Parábola par com vértice \((0,-4)\), zeros em \(x=\pm2\), mínimo absoluto em \(x=0\).

Domínio e Simetrias

O domínio é \(\mathbb{R}\). Como \(f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)\), a função é par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo \(y\), pelo que basta estudá-lo para \(x\geq0\) e reflectir.

Interseções com os Eixos

O gráfico intersecta o eixo \(y\) no ponto \((0,-4)\). Os zeros obtêm-se resolvendo \(x^2-4=0\), donde \(x^2=4\) e portanto \(x=\pm2\): o gráfico corta o eixo \(x\) nos pontos \((\pm2,0)\).

Estudo do Sinal

A expressão \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) é um produto de dois factores lineares. O sinal muda nos pontos \(x=-2\) e \(x=2\):

\[ f(x) > 0 \iff x < -2 \text{ ou } x > 2 \qquad f(x) < 0 \iff -2 < x < 2 \]

Limites e Assímptotas

O termo dominante é \(x^2\), logo \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty\). Não existem assímptotas.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se \(f'(x)=2x\), que se anula em \(x=0\). Para \(x<0\) a derivada é negativa (função decrescente); para \(x>0\) é positiva (função crescente). O ponto \(x=0\) é, portanto, um mínimo absoluto, com \(f(0)=-4\).

Derivada Segunda e Concavidade

Tem-se \(f''(x)=2>0\) em todo o ponto: a parábola é sempre côncava para cima (forma de U) e não apresenta pontos de inflexão.

Resultado

\[ \boxed{\text{mínimo absoluto em }(0,-4),\quad \text{zeros em }x=\pm2} \]

Gráfico da Função

Função ímpar com máximo relativo em \((-1,2)\), mínimo relativo em \((1,-2)\) e ponto de inflexão na origem.

Domínio e Simetrias

O domínio é \(\mathbb{R}\). Como \(f(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)\), a função é ímpar: o gráfico é simétrico em relação à origem. Isso reduz o trabalho a metade: estuda-se o comportamento para \(x\geq0\) e reflecte-se.

Interseções com os Eixos

O gráfico passa pela origem \((0,0)\). Para encontrar os restantes zeros, factoriza-se:

\[ x^3-3x = x(x^2-3) = 0 \implies x=0,\quad x=\sqrt{3},\quad x=-\sqrt{3} \]

Estudo do Sinal

A função escreve-se \(f(x)=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\). Os três factores mudam de sinal em \(x=-\sqrt{3}\), \(x=0\) e \(x=\sqrt{3}\), respectivamente:

\[ f(x)>0 \iff -\sqrt{3} < x < 0 \text{ ou } x > \sqrt{3} \]

Limites e Assímptotas

Como qualquer polinómio de grau ímpar com coeficiente director positivo, \(f(x)\to+\infty\) quando \(x\to+\infty\) e \(f(x)\to-\infty\) quando \(x\to-\infty\). Não existem assímptotas.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se \(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\). A derivada anula-se em \(x=-1\) e \(x=1\). O sinal de \(f'\) determina-se observando que o coeficiente \(3>0\) e as raízes são \(\pm1\):

O ponto \(x=-1\) é um máximo relativo com \(f(-1)=2\); o ponto \(x=1\) é um mínimo relativo com \(f(1)=-2\).

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

Calcula-se \(f''(x)=6x\), que se anula em \(x=0\). Para \(x<0\) tem-se \(f''<0\) (côncava para baixo); para \(x>0\) tem-se \(f''>0\) (côncava para cima): a concavidade muda em \(x=0\), pelo que a origem é um ponto de inflexão.

Resultado

\[ \boxed{\max(-1,\,2),\quad \min(1,\,-2),\quad \text{inflexão em }(0,0)} \]

Gráfico Cartesiano

Função ímpar, domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), assímptotas \(x=0\) e \(y=0\), estritamente decrescente em cada ramo.

Domínio e Simetrias

A função não está definida em \(x=0\), portanto \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Como \(f(-x)=\tfrac{1}{-x}=-\tfrac{1}{x}=-f(x)\), a função é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.

Interseções com os Eixos e Sinal

A equação \(\tfrac{1}{x}=0\) não tem solução, logo não existem zeros. O valor \(f(0)\) não está definido, pelo que também não há interseção com o eixo \(y\). O sinal é imediato: a função tem o mesmo sinal do denominador \(x\), portanto

\[ f(x)>0 \iff x>0 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Limites e Assímptotas

Calculam-se os limites nos extremos do domínio. Aproximando de zero:

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty \]

Portanto, o eixo \(y\) (reta \(x=0\)) é uma assímptota vertical. No infinito:

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}=0 \]

Logo, o eixo \(x\) (reta \(y=0\)) é uma assímptota horizontal.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se \(f'(x)=-\tfrac{1}{x^2}\). Como \(x^2>0\) para todo \(x\neq0\), a derivada é sempre negativa: a função é estritamente decrescente em \((-\infty,0)\) e em \((0,+\infty)\). Não tem extremos.

Derivada Segunda e Concavidade

Calcula-se \(f''(x)=\tfrac{2}{x^3}\). Para \(x>0\) a derivada segunda é positiva (côncava para cima); para \(x<0\) é negativa (côncava para baixo). Não existem pontos de inflexão no domínio, pois \(x=0\) não pertence a \(\mathcal{D}\).

Resultado

\[ \boxed{\text{assímptota vertical }x=0,\quad \text{assímptota horizontal }y=0} \]

Gráfico Cartesiano

Domínio \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), assímptota vertical \(x=1\), assímptota oblíqua \(y=x+1\), máximo relativo em \((0,0)\) e mínimo relativo em \((2,4)\).

Domínio e Simetrias

A função está definida para todo \(x\) que não anule o denominador: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). A função não apresenta simetrias (nem par nem ímpar).

Interseções com os Eixos e Sinal

A única interseção com os eixos é a origem \((0,0)\). Como o numerador \(x^2\) é sempre não negativo, o sinal de \(f(x)\) coincide com o do denominador: \[ f(x) > 0 \iff x > 1 \qquad f(x) < 0 \iff x < 1 \; (x \neq 0) \]

Assímptotas

Assímptota vertical: \[ \lim_{x\to1^+} \frac{x^2}{x-1} = +\infty, \quad \lim_{x\to1^-} \frac{x^2}{x-1} = -\infty \] A reta \(x=1\) é uma assímptota vertical.

Assímptota oblíqua: como o grau do numerador excede em uma unidade o do denominador, efectua-se a divisão de polinómios: \[ \frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1} \] Para \(x \to \pm\infty\), o termo fraccional tende a zero. Portanto, a reta \(y = x + 1\) é a assímptota oblíqua.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se a derivada primeira: \[ f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \] A derivada anula-se em \(x=0\) e \(x=2\). Estudando o seu sinal:

Existe um máximo relativo em \(M(0,0)\) e um mínimo relativo em \(m(2,4)\).

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Assímptota oblíqua: } y=x+1;\quad \text{Máx}(0,0);\quad \text{Mín}(2,4)} \]

Gráfico da Função

Função ímpar, domínio \(\mathbb{R}\setminus\{\pm1\}\), assímptotas verticais \(x=\pm1\), assímptota horizontal \(y=0\), estritamente decrescente em cada intervalo do domínio.

Domínio e Simetrias

O denominador \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) anula-se em \(x=\pm1\), portanto \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). Como \(f(-x)=\tfrac{-x}{x^2-1}=-f(x)\), a função é ímpar.

Interseções com os Eixos e Sinal

O único zero é \(x=0\), com \(f(0)=0\). Para estudar o sinal, analisam-se numerador e denominador em separado. O denominador \((x-1)(x+1)\) é positivo para \(|x|>1\) e negativo para \(|x|<1\):

\[ f(x)>0 \iff \frac{x}{(x-1)(x+1)}>0 \iff x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]

Limites e Assímptotas

Calculam-se os limites nos pontos excluídos. Em \(x=1\): o numerador vale \(1\) e o denominador tende a \(0\), portanto \(f(x)\to\pm\infty\): assímptota vertical \(x=1\). De modo análogo, \(x=-1\) é assímptota vertical.

Para \(x\to\pm\infty\): o grau do numerador é inferior ao do denominador, logo

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^2-1}=0 \]

O eixo \(x\) é uma assímptota horizontal \(y=0\).

Derivada Primeira e Monotonia

Aplicando a regra do quociente:

\[ f'(x)=\frac{(x^2-1)-x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} \]

O numerador \(-(x^2+1)\) é sempre negativo (pois \(x^2+1\geq1>0\)), e o denominador é sempre positivo. Portanto \(f'(x)<0\) em todo o domínio: a função é estritamente decrescente em cada intervalo e não tem extremos.

Resultado

\[ \boxed{f \text{ estritamente decrescente em cada intervalo do domínio, sem extremos}} \]

Gráfico da Função

Função par, domínio \((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\), zeros em \(x=\pm2\), assímptotas oblíquas \(y=\pm x\).

Domínio e Simetrias

A expressão sob o radical deve ser não negativa: \(x^2-4\geq0\) se e só se \((x-2)(x+2)\geq0\), ou seja, \(x\leq-2\) ou \(x\geq2\). O domínio é portanto \(\mathcal{D}=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\). Como \(f(-x)=\sqrt{(-x)^2-4}=\sqrt{x^2-4}=f(x)\), a função é par.

Interseções com os Eixos e Sinal

Os extremos do domínio \(x=\pm2\) são os únicos zeros, pois nesses pontos o argumento do radical é nulo. Não há interseção com o eixo \(y\) porque \(0\notin\mathcal{D}\). A função é não negativa por construção: \(f(x)\geq0\) sempre.

Assímptotas Oblíquas

Para \(x\to+\infty\), calcula-se primeiro o coeficiente angular:

\[ m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}=1 \]

De seguida, a ordenada na origem:

\[ q=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-4}-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{\sqrt{x^2-4}+x}=0 \]

A assímptota para \(x\to+\infty\) é \(y=x\). Por simetria (função par), para \(x\to-\infty\) a assímptota é \(y=-x\).

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se \(f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}\). Para \(x>2\) o numerador é positivo: a função é crescente. Para \(x<-2\) o numerador é negativo: a função é decrescente. Os pontos \(x=\pm2\) são mínimos absolutos com \(f(\pm2)=0\).

Resultado

\[ \boxed{\text{mínimos em }(\pm2,0),\quad \text{assímptotas oblíquas }y=\pm x} \]

Gráfico da Função

Domínio \(\mathbb{R}\), zero em \(x=0\), máximo em \((1,e^{-1})\), ponto de inflexão em \((2,2e^{-2})\), assímptota horizontal \(y=0\).

Domínio e Simetrias

A função está definida em \(\mathbb{R}\). Não é par nem ímpar.

Interseções com os Eixos e Sinal

Tem-se \(f(0)=0\). Como \(e^{-x}>0\) para todo \(x\), o sinal de \(f\) coincide com o de \(x\):

\[ f(x)>0 \iff x>0 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Limites e Assímptotas

Para \(x\to+\infty\), a exponencial decrescente \(e^{-x}\) tende a zero muito mais rapidamente do que \(x\) cresce, logo \(f(x)\to0\): existe a assímptota horizontal \(y=0\). Para \(x\to-\infty\), pelo contrário, \(e^{-x}\to+\infty\) e \(x\to-\infty\), pelo que \(f(x)\to-\infty\).

Derivada Primeira e Monotonia

Aplicando a regra do produto:

\[ f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x) \]

Como \(e^{-x}>0\) sempre, o sinal de \(f'\) depende de \((1-x)\):

O ponto \(x=1\) é um máximo absoluto com \(f(1)=e^{-1}\).

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

Calcula-se:

\[ f''(x)=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}(x-2) \]

Como \(e^{-x}>0\), o sinal de \(f''\) depende de \((x-2)\): a função é côncava para baixo para \(x<2\) e côncava para cima para \(x>2\). Em \(x=2\) a concavidade muda: o ponto \((2,2e^{-2})\) é um ponto de inflexão.

Resultado

\[ \boxed{\max(1,e^{-1}),\quad \text{inflexão em }(2,2e^{-2}),\quad \text{assímptota }y=0} \]

Gráfico da Função

Função par, domínio \((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\), assímptotas verticais \(x=\pm1\), zeros em \(x=\pm\sqrt{2}\), côncava para baixo.

Domínio e Simetrias

O logaritmo está definido apenas para argumento estritamente positivo: é necessário resolver \(x^2-1>0\), ou seja, \((x-1)(x+1)>0\), que é satisfeito para \(x<-1\) ou \(x>1\). O domínio é \(\mathcal{D}=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\). Como \(f(-x)=\ln(x^2-1)=f(x)\), a função é par.

Interseções com os Eixos

Não há interseção com o eixo \(y\) porque \(0\notin\mathcal{D}\). Para os zeros, impõe-se \(\ln(x^2-1)=0\), ou seja, \(x^2-1=1\), donde \(x^2=2\) e portanto \(x=\pm\sqrt{2}\).

Sinal

O logaritmo é positivo quando o seu argumento é maior que \(1\), ou seja, quando \(x^2-1>1\), isto é, \(|x|>\sqrt{2}\). É negativo para \(1<|x|<\sqrt{2}\).

Assímptotas

Aproximando de \(x=1^+\), o argumento \(x^2-1\to0^+\), logo \(\ln(x^2-1)\to-\infty\): a reta \(x=1\) é uma assímptota vertical. Por simetria, também \(x=-1\) o é. Para \(x\to+\infty\) a função tende a \(+\infty\): não existem assímptotas horizontais.

Derivada Primeira e Monotonia (para \(x>1\))

Derivando com a regra da função composta:

\[ f'(x)=\frac{1}{x^2-1}\cdot2x=\frac{2x}{x^2-1} \]

Para \(x>1\), tanto o numerador \(2x\) como o denominador \(x^2-1\) são positivos, logo \(f'(x)>0\): a função é crescente em \((1,+\infty)\). Por simetria, é decrescente em \((-\infty,-1)\). Não existem extremos relativos.

Derivada Segunda e Concavidade

Calcula-se:

\[ f''(x)=\frac{2(x^2-1)-2x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=\frac{-2x^2-2}{(x^2-1)^2}=\frac{-2(x^2+1)}{(x^2-1)^2} \]

Como \(x^2+1>0\) sempre, tem-se \(f''(x)<0\) em todo o domínio: o gráfico é em todo o lado côncavo para baixo e não apresenta pontos de inflexão.

Resultado

\[ \boxed{\text{zeros em }x=\pm\sqrt{2},\quad \text{assímptotas }x=\pm1,\quad \text{côncava para baixo}} \]

Gráfico da Função

Domínio \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\), «lacuna» em \(x=1\), assímptota vertical \(x=-1\), assímptota horizontal \(y=1\), zero em \(x=2\), estritamente crescente.

Simplificação Preliminar

Antes de prosseguir, convém factorizar numerador e denominador:

\[ f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} \]

O factor \((x-1)\) é comum: simplifica-se e obtém-se a forma reduzida \(g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}\), válida para \(x\neq1\). Em \(x=1\) a função original não está definida, mas o limite existe e é finito:

\[ \lim_{x\to1}f(x)=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2} \]

Trata-se de uma descontinuidade removível.

Domínio

O denominador original anula-se em \(x=\pm1\), portanto \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\).

Interseções com os Eixos e Sinal

Com o eixo \(y\): \(f(0)=\tfrac{0-2}{0+1}=-2\). Com o eixo \(x\): o numerador reduzido anula-se em \(x=2\), único zero da função. O sinal estuda-se na forma reduzida: \(\dfrac{x-2}{x+1}>0\) para \(x<-1\) ou \(x>2\).

Assímptotas

Assímptota vertical. Em \(x=-1\) o denominador reduzido anula-se enquanto o numerador vale \(-3\neq0\): a reta \(x=-1\) é uma assímptota vertical. (Em \(x=1\) existe a lacuna, não uma assímptota.)

Assímptota horizontal. Para \(x\to\pm\infty\):

\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{x+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-2/x}{1+1/x}=1 \]

A reta \(y=1\) é uma assímptota horizontal.

Derivada Primeira e Monotonia

Derivando a forma reduzida com a regra do quociente:

\[ f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-(x-2)\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2} \]

Como \((x+1)^2>0\) sempre, tem-se \(f'(x)>0\) em todo o domínio: a função é estritamente crescente em \((-\infty,-1)\), em \((-1,1)\) e em \((1,+\infty)\). Não apresenta qualquer extremo.

Resultado

\[ \boxed{\text{lacuna em }x=1,\quad \text{assímptotas }x=-1\text{ e }y=1,\quad \text{zero em }x=2} \]

Gráfico da Função

Parábola com zeros em \(x=-1\) e \(x=3\), mínimo absoluto em \((1,-4)\).

Domínio e Simetrias

O domínio é \(\mathbb{R}\). A função não é par nem ímpar. O eixo de simetria da parábola é a reta vertical \(x=1\), obtida pela fórmula \(x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\).

Interseções com os Eixos

Com o eixo \(y\): calcula-se \(f(0) = -3\), obtendo-se o ponto \((0,-3)\).
Com o eixo \(x\): resolvendo \(x^2-2x-3=0\) (por factorização em \((x-3)(x+1)=0\) ou fórmula discriminante), obtêm-se \(x=-1\) e \(x=3\).

Estudo do Sinal

Como o coeficiente de \(x^2\) é positivo (\(a=1\)), a parábola abre-se para cima. A função é positiva fora dos zeros e negativa entre eles: \[ f(x) > 0 \iff x < -1 \lor x > 3 \qquad f(x) < 0 \iff -1 < x < 3 \]

Limites e Assímptotas

Por se tratar de um polinómio de segundo grau: \[ \lim_{x\to\pm\infty} f(x) = +\infty \] Não existem assímptotas horizontais, verticais ou oblíquas.

Derivada Primeira e Monotonia

A derivada primeira é \(f'(x) = 2x - 2\). Impondo \(f'(x) = 0\) obtém-se o ponto estacionário em \(x=1\). O estudo do sinal da derivada (\(2x-2 > 0 \implies x > 1\)) confirma que a função decresce para \(x < 1\) e cresce para \(x > 1\). O ponto \(V(1, -4)\) é o mínimo absoluto da função.

Derivada Segunda e Concavidade

Tem-se \(f''(x) = 2\). Como a derivada segunda é constantemente positiva, a função volta sempre a concavidade para cima e não apresenta pontos de inflexão.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Zeros: } x=-1, 3;\quad \text{Mínimo absoluto: } (1,-4)} \]

Gráfico da Função

Zeros em \(x=0\) e \(x=3\) (duplo), máximo relativo em \((1,4)\), mínimo relativo em \((3,0)\), ponto de inflexão em \((2,2)\).

Domínio e Simetrias

O domínio é \(\mathbb{R}\). A função não é par nem ímpar.

Interseções com os Eixos

Com o eixo \(y\): \(f(0)=0\). Factorizando \(x\) obtém-se \(f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\): os zeros são \(x=0\) e \(x=3\). Como \(x=3\) é um zero de multiplicidade dois, o gráfico toca o eixo \(x\) nesse ponto sem o atravessar.

Estudo do Sinal

No produto \(x(x-3)^2\), o factor \((x-3)^2\) é sempre não negativo. O sinal de \(f\) depende portanto apenas de \(x\):

\[ f(x)>0 \iff x>0,\;x\neq3 \qquad f(x)<0 \iff x<0 \]

Limites e Assímptotas

Como qualquer cúbica com coeficiente director positivo, \(f(x)\to+\infty\) para \(x\to+\infty\) e \(f(x)\to-\infty\) para \(x\to-\infty\). Não existem assímptotas.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\), que se anula em \(x=1\) e \(x=3\).

O ponto \(x=1\) é um máximo relativo com \(f(1)=1-6+9=4\). O ponto \(x=3\) é um mínimo relativo com \(f(3)=0\): o gráfico toca o eixo \(x\) com tangente horizontal.

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

Calcula-se \(f''(x)=6x-12=6(x-2)\), que se anula em \(x=2\). A derivada segunda é negativa para \(x<2\) (côncava para baixo) e positiva para \(x>2\) (côncava para cima): o ponto \((2,\,f(2))=(2,\,8-24+18)=(2,2)\) é um ponto de inflexão.

Resultado

\[ \boxed{\max(1,4),\quad \min(3,0),\quad \text{inflexão em }(2,2)} \]

Gráfico da Função

Domínio \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), assímptota vertical \(x=2\), assímptota horizontal \(y=1\), zero em \(x=-1\), estritamente decrescente em cada ramo.

Domínio e Simetrias

O denominador anula-se em \(x=2\), portanto \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). A função não apresenta simetrias (nem par nem ímpar).

Interseções com os Eixos e Sinal

Com o eixo \(y\): calcula-se \(f(0) = \frac{1}{-2} = -0{,}5\).
Com o eixo \(x\): impõe-se \(x+1=0\), obtendo-se \(x=-1\).

O estudo do sinal do quociente dá: \[ f(x)>0 \iff x < -1 \lor x > 2 \qquad f(x)<0 \iff -1 < x < 2 \]

Assímptotas

Assímptota vertical: \[ \lim_{x\to2^+} \frac{x+1}{x-2} = +\infty, \quad \lim_{x\to2^-} \frac{x+1}{x-2} = -\infty \] A reta \(x=2\) é uma assímptota vertical.

Assímptota horizontal: como numerador e denominador têm o mesmo grau: \[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x+1}{x-2} = 1 \] A reta \(y=1\) é uma assímptota horizontal.

Derivada Primeira e Monotonia

Utilizando a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{1\cdot(x-2) - (x+1)\cdot1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} \] Como o numerador é uma constante negativa e o denominador é um quadrado sempre positivo, \(f'(x) < 0\) em todo o domínio. A função é estritamente decrescente em \((-\infty, 2)\) e em \((2, +\infty)\).

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Assímptotas: } x=2,\, y=1;\quad \text{Zero: } x=-1;\quad \text{Decrescente}} \]

Gráfico da Função

Função par, domínio \([-2,2]\), zeros em \(x=\pm2\), máximo absoluto em \((0,2)\), sempre côncava para baixo.

Domínio e Simetrias

O argumento do radical deve ser não negativo: \(4-x^2 \geq 0 \iff x^2 \leq 4 \iff |x| \leq 2\). O domínio é \(\mathcal{D}=[-2,2]\).
Como \(f(-x)=\sqrt{4-(-x)^2}=\sqrt{4-x^2}=f(x)\), a função é par (simétrica em relação ao eixo \(y\)). Geometricamente, representa a semicircunferência superior de \(x^2 + y^2 = 4\).

Interseções com os Eixos e Sinal

Com o eixo \(y\): \(f(0) = \sqrt{4} = 2\).
Com o eixo \(x\): \(f(x) = 0 \iff 4-x^2 = 0 \iff x = \pm 2\).
A função é sempre não negativa (\(f(x) \geq 0\)) no seu domínio.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se a derivada primeira: \[ f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \] A derivada anula-se em \(x=0\). Estudando o seu sinal no intervalo aberto \((-2, 2)\): \[ f'(x) > 0 \iff -x > 0 \iff x < 0 \quad (\text{crescente}) \] \[ f'(x) < 0 \iff -x < 0 \iff x > 0 \quad (\text{decrescente}) \] O ponto \((0,2)\) é um máximo absoluto. Nos extremos \(x = \pm 2\), o limite da derivada tende a \(\infty\), indicando tangentes verticais.

Derivada Segunda e Concavidade

Calcula-se a derivada segunda: \[ f''(x) = \frac{-(4-x^2) - x^2}{(4-x^2)\sqrt{4-x^2}} = \frac{-4}{(4-x^2)^{3/2}} \] Como o denominador é sempre positivo e o numerador é \(-4\), tem-se \(f''(x) < 0\) para todo \(x \in (-2,2)\). A função é sempre côncava para baixo.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Semicircunferência: Máx}(0,2),\;\text{Zeros }x=\pm 2,\;\text{Côncava para baixo}} \]

Gráfico da Função

Função par, domínio \(\mathbb{R}\), sempre positiva, máximo absoluto em \((0,1)\), assímptota horizontal \(y=0\), pontos de inflexão em \(\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2},\,e^{-1/2}\right)\).

Domínio e Simetrias

O domínio é \(\mathbb{R}\). Como \(f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x)\), a função é par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo \(y\).

Interseções com os Eixos e Sinal

Como a função exponencial é sempre positiva (\(e^{-x^2} > 0\)), não existem interseções com o eixo \(x\).
A interseção com o eixo \(y\) é o ponto \((0,1)\).

Limites e Assímptotas

Calcula-se o comportamento no infinito: \[ \lim_{x\to\pm\infty} e^{-x^2} = 0 \] O eixo \(x\) (reta \(y=0\)) é uma assímptota horizontal.

Derivada Primeira e Monotonia

Usando a regra da cadeia: \[ f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2} \] O sinal da derivada depende apenas do factor \(-2x\):

• \(f'(x) > 0\) para \(x < 0\) (função crescente)
• \(f'(x) < 0\) para \(x > 0\) (função decrescente)

O ponto \((0,1)\) é um máximo absoluto.

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

Derivando \(f'(x)\) com a regra do produto: \[ f''(x) = -2 \cdot e^{-x^2} + (-2x)(-2x \cdot e^{-x^2}) = e^{-x^2}(4x^2 - 2) = 2e^{-x^2}(2x^2 - 1) \] Os pontos de inflexão encontram-se onde \(2x^2 - 1 = 0\), ou seja, \(x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\).
A concavidade é para cima para \(x < -\frac{\sqrt{2}}{2}\) e \(x > \frac{\sqrt{2}}{2}\), e para baixo no intervalo central.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Máx}(0,1);\quad \text{Inflexões: } \left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right);\quad \text{Assímptota: } y=0} \]

Gráfico da Função

Domínio \((0,+\infty)\), zero em \(x=1\), máximo absoluto em \((e,\,e^{-1})\), ponto de inflexão em \((e^{3/2},\,\frac{3}{2}e^{-3/2})\), assímptotas \(x=0\) e \(y=0\).

Domínio e Simetrias

A função está definida para \(x > 0\) devido ao logaritmo. O denominador \(x\) não se anula no domínio, portanto \(\mathcal{D}=(0,+\infty)\). Não apresenta simetrias em relação à origem ou ao eixo \(y\).

Interseções com os Eixos e Sinal

Com o eixo \(x\): impõe-se \(\ln x = 0\), donde \(x=1\).
O sinal de \(f(x)\) depende apenas do numerador, pois o denominador é sempre positivo no domínio: \[ f(x) > 0 \iff x > 1 \qquad f(x) < 0 \iff 0 < x < 1 \]

Limites e Assímptotas

Assímptota vertical: para \(x \to 0^+\), o numerador tende a \(-\infty\) e o denominador a \(0^+\), portanto: \[ \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty \] A reta \(x=0\) é uma assímptota vertical.

Assímptota horizontal: para \(x \to +\infty\), pela hierarquia dos infinitos (o crescimento linear prevalece sobre o logarítmico): \[ \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \] A reta \(y=0\) é uma assímptota horizontal.

Derivada Primeira e Monotonia

Aplicando a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \] A derivada anula-se para \(\ln x = 1\), ou seja, \(x=e\).
\(f'(x) > 0\) para \(x < e\) (crescente) e \(f'(x) < 0\) para \(x > e\) (decrescente).
O ponto \((e, e^{-1})\) é um máximo absoluto.

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

Derivando ulteriormente: \[ f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3} \] A derivada segunda anula-se para \(\ln x = 3/2\), isto é, \(x = e^{3/2}\). Nesse ponto a função apresenta um ponto de inflexão, passando de côncava (para baixo) a convexa (para cima).

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Máx}(e, 1/e);\quad \text{Inflexão: } (e^{3/2}, \tfrac{3}{2}e^{-3/2});\quad \text{Assímptotas: } x=0,\, y=0} \]

Gráfico da Função

Domínio \(\mathbb{R}\), zero duplo em \(x=0\), mínimo em \((0,0)\), máximo em \((2,4e^{-2})\), pontos de inflexão em \((2\pm\sqrt{2},\,f(2\pm\sqrt{2}))\), assímptota \(y=0\).

Domínio e Simetrias

O domínio é \(\mathbb{R}\). A função não é par nem ímpar.

Interseções com os Eixos e Sinal

O único zero é \(x=0\) (duplo, pois \(e^{-x}>0\) sempre). O gráfico toca o eixo \(x\) na origem sem o atravessar: \(f(x)\geq0\) para todo \(x\).

Limites e Assímptotas

Para \(x\to+\infty\), a exponencial decrescente domina o polinómio: \(f(x)\to0\), logo \(y=0\) é uma assímptota horizontal. Para \(x\to-\infty\), \(e^{-x}\to+\infty\) e \(x^2\to+\infty\): \(f(x)\to+\infty\).

Derivada Primeira e Monotonia

Aplicando a regra do produto:

\[ f'(x)=2x\cdot e^{-x}+x^2\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(2x-x^2)=e^{-x}\cdot x(2-x) \]

Como \(e^{-x}>0\), o sinal de \(f'\) depende do produto \(x(2-x)\):

O ponto \(x=0\) é um mínimo com \(f(0)=0\); o ponto \(x=2\) é um máximo com \(f(2)=4e^{-2}\).

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

Derivando \(f'(x)=e^{-x}(2x-x^2)\):

\[ f''(x)=-e^{-x}(2x-x^2)+e^{-x}(2-2x)=e^{-x}(x^2-4x+2) \]

Anula-se para \(x^2-4x+2=0\), ou seja, \(x=2\pm\sqrt{2}\). Em ambos os pontos a concavidade muda: existem dois pontos de inflexão em \(x_1=2-\sqrt{2}\approx0{,}59\) e \(x_2=2+\sqrt{2}\approx3{,}41\).

Resultado

\[ \boxed{\min(0,0),\quad \max(2,4e^{-2}),\quad \text{inflexões em }x=2\pm\sqrt{2},\quad \text{assímptota }y=0} \]

Gráfico da Função

Função par, domínio \(\mathbb{R}\), zeros em \(x=\pm1\), mínimo absoluto em \((0,-1)\), assímptota horizontal \(y=1\), pontos de inflexão em \(\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3},\,-\frac{1}{2}\right)\).

Domínio e Simetrias

O denominador \(x^2+1\) é sempre maior ou igual a \(1\), logo nunca se anula. O domínio é \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\).
Como \(f(-x) = \frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1} = f(x)\), a função é par (simétrica em relação ao eixo \(y\)).

Interseções com os Eixos e Sinal

Com o eixo \(y\): \(f(0) = \frac{-1}{1} = -1\).
Com o eixo \(x\): \(x^2-1=0 \implies x = \pm 1\).
O sinal é positivo para \(|x| > 1\) e negativo para \(-1 < x < 1\).

Assímptotas

Não existem assímptotas verticais. Verifica-se o comportamento no infinito: \[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 \] A reta \(y=1\) é uma assímptota horizontal. Como \(f(x) = 1 - \frac{2}{x^2+1}\), a função mantém-se sempre abaixo da assímptota.

Derivada Primeira e Monotonia

Aplicando a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2} \] O sinal de \(f'(x)\) é determinado pelo numerador \(4x\):

• \(f'(x) < 0\) para \(x < 0\) (decrescente)
• \(f'(x) > 0\) para \(x > 0\) (crescente)

O ponto \((0, -1)\) é um mínimo absoluto.

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

Calcula-se \(f''(x)\): \[ f''(x) = \frac{4(x^2+1)^2 - 4x \cdot 2(x^2+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^4} = \frac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3} \] A derivada segunda anula-se para \(1-3x^2 = 0 \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Nesses pontos (\(x \approx \pm 0{,}58\)) existem dois pontos de inflexão com ordenada \(y = -1/2\).

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Mín}(0,-1);\quad \text{Assímptota } y=1;\quad \text{Inflexões } \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{1}{2}\right)} \]

Gráfico da Função

Domínio \((0,+\infty)\), nenhum zero (função sempre positiva), mínimo absoluto em \((1,1)\), sempre côncava para cima.

Domínio e Simetrias

Pela presença do logaritmo, exige-se \(x > 0\). O domínio é portanto \(\mathcal{D}=(0,+\infty)\). A função não apresenta simetrias.

Interseções com os Eixos e Sinal

Não existem interseções com o eixo \(y\) (\(0 \notin \mathcal{D}\)). Quanto aos zeros, a equação \(x = \ln x\) não tem solução real (a reta \(y=x\) está sempre acima da curva \(y=\ln x\)). O estudo do mínimo confirmará que a função é sempre positiva.

Limites e Assímptotas

Assímptota vertical: para \(x \to 0^+\), tem-se \(0 - (-\infty) = +\infty\). A reta \(x=0\) é uma assímptota vertical.
Comportamento no infinito: para \(x \to +\infty\), pela hierarquia dos infinitos a componente linear prevalece sobre a logarítmica: \[ \lim_{x\to +\infty} (x - \ln x) = +\infty \] Não existem assímptotas horizontais ou oblíquas.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se a derivada primeira: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} \] Como \(x > 0\), o sinal depende apenas de \(x-1\):

• \(f'(x) < 0\) para \(0 < x < 1\) (decrescente)
• \(f'(x) > 0\) para \(x > 1\) (crescente)

O ponto \((1,1)\) é um mínimo absoluto. Como a ordenada do mínimo é positiva (\(y=1\)), confirma-se que a função não tem zeros.

Derivada Segunda e Concavidade

Calcula-se a derivada segunda: \[ f''(x) = \frac{1}{x^2} \] Como \(1/x^2\) é sempre positivo no domínio, a função é constantemente côncava para cima e não apresenta pontos de inflexão.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Mín}(1,1);\quad \text{Assímptota: } x=0;\quad \text{Sempre positiva}} \]

Gráfico da Função

Domínio \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), assímptota vertical \(x=-1\), assímptota oblíqua \(y=x-3\), máximo relativo em \((-3,-8)\), mínimo relativo em \((1,0)\).

Domínio e Simetrias

A função está definida para todo \(x\) tal que o denominador seja não nulo: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Não apresenta simetrias evidentes.

Interseções e Sinal

A interseção com o eixo \(y\) é \(f(0) = 1\).
A única interseção com o eixo \(x\) dá-se em \(x=1\). Como o numerador é um quadrado perfeito, o zero é duplo: o gráfico tangencia o eixo \(x\) sem o atravessar.
O sinal da função depende exclusivamente do denominador: \(f(x) > 0\) para \(x > -1\) e \(f(x) < 0\) para \(x < -1\).

Assímptotas

Assímptota vertical: como \(\lim_{x\to -1} f(x) = \infty\), a reta \(x=-1\) é uma assímptota vertical.

Assímptota oblíqua: efectuando a divisão de polinómios: \[ f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x+1} = x - 3 + \frac{4}{x+1} \] Conclui-se imediatamente que a reta \(y = x - 3\) é a assímptota oblíqua.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se \(f'(x)\) aplicando a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1) - (x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2} \] Os zeros da derivada são \(x=1\) e \(x=-3\). Estudando o sinal do produto no numerador:

• Crescente em \((-\infty, -3)\) e em \((1, +\infty)\)
• Decrescente em \((-3, -1)\) e em \((-1, 1)\)

Existe um máximo relativo em \((-3, -8)\) e um mínimo relativo em \((1, 0)\).

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Assímptotas: } x=-1,\, y=x-3;\quad \text{Máx}(-3,-8);\quad \text{Mín}(1,0)} \]

Gráfico da Função

Função ímpar, domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), assímptotas \(x=0\) e \(y=x\), máximo relativo em \((-1,-2)\) e mínimo relativo em \((1,2)\).

Domínio e Simetrias

A função não está definida para \(x=0\), portanto \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Verifica-se a simetria: \(f(-x) = -x + \frac{1}{-x} = -\left(x + \frac{1}{x}\right) = -f(x)\).
A função é ímpar: o gráfico é simétrico em relação à origem.

Interseções e Sinal

Não existem interseções com o eixo \(x\), pois \(x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0\), que não tem soluções reais.
O sinal da função concorda com o de \(x\): positiva para \(x > 0\) e negativa para \(x < 0\).

Assímptotas

Assímptota vertical: \(\lim_{x\to 0^\pm} f(x) = \pm\infty\). A reta \(x=0\) é uma assímptota vertical.
Assímptota oblíqua: como para \(x \to \infty\) o termo \(\frac{1}{x}\) tende a zero, a função aproxima-se indefinidamente da reta \(y=x\).

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se a derivada: \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} \] A derivada anula-se em \(x = \pm 1\). Estudando o seu sinal:

• Crescente para \(x < -1\) e \(x > 1\)
• Decrescente para \(-1 < x < 0\) e \(0 < x < 1\)

Existe um máximo relativo em \((-1, -2)\) e um mínimo relativo em \((1, 2)\).

Derivada Segunda e Concavidade

\[ f''(x) = \frac{2}{x^3} \] A concavidade é para cima para \(x > 0\) e para baixo para \(x < 0\). Não existem pontos de inflexão, pois \(x=0\) não pertence ao domínio.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Assímptotas: } x=0,\, y=x;\quad \text{Máx}(-1,-2);\quad \text{Mín}(1,2)} \]

Gráfico da Função

Função par, domínio \(\mathbb{R}\), zero em \(x=0\), mínimo absoluto em \((0,0)\), pontos de inflexão em \((\pm1,\,\ln 2)\).

Domínio e Simetrias

O argumento do logaritmo \(x^2+1\) é sempre maior ou igual a \(1\), pelo que a função está definida em todo o eixo real: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\).
Como \(f(-x) = \ln((-x)^2+1) = \ln(x^2+1) = f(x)\), a função é par (simétrica em relação ao eixo \(y\)).

Interseções e Sinal

A única interseção com os eixos é na origem \((0,0)\), pois \(\ln(x^2+1)=0 \iff x^2+1=1 \iff x=0\).
A função é sempre não negativa (\(f(x) \geq 0\)), pois o argumento do logaritmo é sempre \(\geq 1\).

Limites e Assímptotas

Para \(x \to \pm\infty\), \(f(x) \to +\infty\). Não existem assímptotas verticais (domínio \(\mathbb{R}\)) nem horizontais. Verificando a assímptota oblíqua, nota-se que \(\lim_{x\to \infty} f(x)/x = 0\), portanto também não existem assímptotas oblíquas.

Derivada Primeira e Monotonia

Aplicando a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} \] O sinal de \(f'(x)\) depende apenas do numerador \(2x\):

• Decrescente para \(x < 0\)
• Crescente para \(x > 0\)

A origem \((0,0)\) é um mínimo absoluto.

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

Utilizando a regra do quociente: \[ f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2} \] A derivada segunda anula-se em \(x = \pm 1\).
A concavidade é para cima para \(-1 < x < 1\) e para baixo para \(|x| > 1\). Os pontos \((\pm 1, \ln 2)\) são pontos de inflexão.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Mín}(0,0);\quad \text{Inflexões: } (\pm 1, \ln 2) \approx (\pm 1;\, 0{,}69)} \]

Gráfico da Função

Domínio \(\mathbb{R}\), função sempre positiva (sem zeros), mínimo absoluto em \((0,1)\), sempre côncava para cima.

Domínio e Simetrias

A função é a soma de uma exponencial e de um polinómio, ambos definidos em todo o domínio. Portanto, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\). Não apresenta simetrias (nem par nem ímpar).

Interseções e Sinal

A interseção com o eixo \(y\) é \(f(0) = e^0 - 0 = 1\).
Quanto aos zeros, a equação \(e^x = x\) não tem soluções reais. Como veremos pelo estudo do mínimo, o menor valor assumido pela função é \(1\), o que garante \(f(x) > 0\) para todo \(x\).

Limites e Assímptotas

Para \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} (e^x - x) = +\infty\), pois a exponencial é um infinito de ordem superior à reta.
Para \(-\infty\): \(\lim_{x\to -\infty} (e^x - x) = 0 - (-\infty) = +\infty\).
Não existem assímptotas horizontais, verticais ou oblíquas.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se a derivada: \[ f'(x) = e^x - 1 \]

• \(f'(x) > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0\)
• \(f'(x) < 0 \iff e^x < 1 \iff x < 0\)

A função decresce em \((-\infty, 0)\) e cresce em \((0, +\infty)\). O ponto \((0, 1)\) é um mínimo absoluto.

Derivada Segunda e Concavidade

\[ f''(x) = e^x \] Como \(e^x > 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\), a função é sempre côncava para cima e não apresenta pontos de inflexão.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Mín}(0,1);\quad \text{Sempre positiva};\quad \text{Concavidade para cima}} \]

Gráfico da Função

Domínio \((0, +\infty)\), zero em \(x=1\), mínimo absoluto em \(\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)\), sempre côncava para cima.

Domínio e Simetrias

A presença do logaritmo impõe \(x > 0\). Portanto, \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). A função não apresenta simetrias em relação ao eixo \(y\) ou à origem.

Interseções e Sinal

A interseção com o eixo \(x\) dá-se para \(x\ln x = 0\). Como \(x=0\) está fora do domínio, a única solução é \(\ln x = 0 \implies x = 1\).
Para \(x > 0\), o sinal de \(f(x)\) depende apenas do logaritmo:

• \(f(x) < 0\) para \(0 < x < 1\)
• \(f(x) > 0\) para \(x > 1\)

Limites e Comportamento nos Extremos

Em \(0^+\): \(\lim_{x\to 0^+} x\ln x\) é uma forma \(0 \cdot \infty\). Usando L'Hôpital na expressão \(\frac{\ln x}{1/x}\), obtém-se \(\lim_{x\to 0^+} (-x) = 0\). O gráfico «nasce» da origem (ponto de acumulação), mas a origem não está incluída no gráfico.

Em \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} x\ln x = +\infty\). A função cresce mais rapidamente do que qualquer reta, logo não existem assímptotas oblíquas.

Derivada Primeira e Monotonia

Calcula-se a derivada do produto: \[ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \] A derivada anula-se para \(\ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}\).

• Decrescente em \((0, 1/e)\)
• Crescente em \((1/e, +\infty)\)

O ponto \(\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)\) é um mínimo absoluto.

Derivada Segunda e Concavidade

\[ f''(x) = \frac{1}{x} \] Como \(x > 0\), a derivada segunda é sempre positiva. A função é sempre côncava para cima.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Mín}\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right);\quad \text{Zero: } x=1;\quad \lim_{x\to 0^+} f(x) = 0} \]

Função ímpar, domínio \(\mathbb{R}\), máximo relativo em \((1, 1/2)\), mínimo relativo em \((-1, -1/2)\), assímptota horizontal \(y=0\), pontos de inflexão em \((0,0)\) e \((\pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{4})\).

Domínio e Simetrias

O denominador \(x^2+1\) nunca se anula no campo real (\(x^2+1 \geq 1\)). Portanto, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\).
Como \(f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} = -f(x)\), a função é ímpar: o gráfico é simétrico em relação à origem.

Interseções e Sinal

O gráfico intersecta os eixos apenas na origem \((0,0)\).
Como o denominador é sempre positivo, o sinal da função depende apenas do numerador: \(f(x) > 0\) para \(x > 0\) e \(f(x) < 0\) para \(x < 0\).

Assímptotas

Não existem assímptotas verticais.
Calcula-se o limite no infinito: \[ \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x}{x^2+1} = 0 \] O eixo das abcissas (reta \(y=0\)) é uma assímptota horizontal.

Derivada Primeira e Monotonia

Aplicando a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \] Os zeros da derivada são \(x = \pm 1\). Estudando o sinal do numerador \((1-x)(1+x)\):

• Crescente para \(-1 < x < 1\)
• Decrescente para \(x < -1\) e \(x > 1\)

Existe um mínimo relativo em \((-1, -1/2)\) e um máximo relativo em \((1, 1/2)\).

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

Calcula-se a derivada segunda: \[ f''(x) = \frac{-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2) \cdot 2(x^2+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^4} = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} \] A derivada segunda anula-se em \(x = 0\) e \(x = \pm \sqrt{3}\).
Nestes três pontos a concavidade muda, identificando-se três pontos de inflexão:

• \(F_1(0, 0)\)
• \(F_{2,3}\!\left(\pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\) com ordinata \(\approx \pm 0{,}43\)

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Máx}(1, 1/2);\quad \text{Mín}(-1, -1/2);\quad \text{3 Inflexões}} \]

Gráfico da Função

Domínio \((0, +\infty)\), zero em \(x=1\), mínimo absoluto em \(\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right)\), ponto de inflexão em \(\left(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^3}\right)\).

Domínio e Simetrias

O domínio é imposto pela condição de existência do logaritmo: \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). A função não apresenta simetrias.

Interseções e Sinal

A única interseção com o eixo \(x\) é para \(x^2\ln x = 0 \implies \ln x = 0 \implies x = 1\).
Como \(x^2 > 0\) em todo o domínio, o sinal de \(f(x)\) é determinado exclusivamente por \(\ln x\):

\(f(x) < 0\) para \(x \in (0, 1)\)

\(f(x) > 0\) para \(x \in (1, +\infty)\)

Comportamento nos Extremos

Em \(0^+\): \(\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0\) (por hierarquia dos infinitos ou L'Hôpital). O gráfico «fecha» na origem.
Em \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} x^2\ln x = +\infty\). O crescimento é superior ao de qualquer reta, portanto não existem assímptotas oblíquas.

Derivada Primeira e Monotonia

\[ f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\ln x + 1) \] Como \(x > 0\), estuda-se \(2\ln x + 1 \geq 0 \implies \ln x \geq -1/2 \implies x \geq e^{-1/2}\).

• Decrescente em \((0, 1/\sqrt{e})\)
• Crescente em \((1/\sqrt{e}, +\infty)\)

O ponto \(\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right)\) é um mínimo absoluto.

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

\[ f''(x) = (2\ln x + 1) + x \cdot \frac{2}{x} = 2\ln x + 3 \] Anula-se para \(\ln x = -3/2 \implies x = e^{-3/2}\).
A função é côncava para baixo para \(x < e^{-3/2}\) e para cima para \(x > e^{-3/2}\).
O ponto \(F(e^{-3/2}, -\frac{3}{2e^3})\) é um ponto de inflexão.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Mín}\left(\frac{1}{\sqrt{e}}, -\frac{1}{2e}\right);\quad \text{Inflexão: } x=e^{-3/2} \approx 0{,}22} \]

Gráfico da Função

Domínio \((0, +\infty)\), assímptota vertical \(x=0\), mínimo absoluto em \((1, 2)\), ponto de inflexão em \(\left(3, \frac{4\sqrt{3}}{3}\right)\).

Domínio e Simetrias

A condição de existência da raiz no denominador impõe \(x > 0\). Portanto, \(\mathcal{D}=(0, +\infty)\). A função não apresenta simetrias, pois o domínio não é simétrico em relação à origem.

Interseções e Sinal

Não existem interseções com o eixo \(y\) (\(0 \notin \mathcal{D}\)).
Também não há interseção com o eixo \(x\), pois \(x+1=0 \implies x=-1\), que está fora do domínio.
Como numerador e denominador são sempre positivos para \(x > 0\), a função é sempre positiva.

Limites e Assímptotas

Em \(0^+\): \(\lim_{x\to 0^+} \frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{0^+} = +\infty\). A reta \(x=0\) é uma assímptota vertical.
Em \(+\infty\): \(\lim_{x\to +\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x}} = +\infty\).
Verificando a assímptota oblíqua: \(m = \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\). Não existem assímptotas oblíquas (a função cresce como \(\sqrt{x}\)).

Derivada Primeira e Monotonia

Reescrevendo \(f(x) = x^{1/2} + x^{-1/2}\), a derivada simplifica-se: \[ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{1}{2}x^{-3/2} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}} \] O sinal depende apenas de \(x-1\):

• Decrescente em \((0, 1)\)
• Crescente em \((1, +\infty)\)

O ponto \((1, 2)\) é um mínimo absoluto.

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

\[ f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{3}{4}x^{-5/2} = \frac{-x+3}{4x^2\sqrt{x}} \] A derivada segunda anula-se em \(x = 3\).

• Côncava para cima para \(0 < x < 3\)
• Côncava para baixo para \(x > 3\)

O ponto \(F(3, 4\sqrt{3}/3)\) é um ponto de inflexão.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Mín}(1,2);\quad \text{Inflexão: } x=3;\quad \text{Assímptota vertical: } x=0} \]

Gráfico da Função

Função par, domínio \(\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}\), zeros em \(x=\pm 2\), assímptotas verticais \(x=\pm 1\), assímptota horizontal \(y=1\), mínimo relativo em \((0,4)\).

Domínio e Simetrias

O denominador anula-se para \(x^2-1=0 \implies x = \pm 1\). Portanto, \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1, 1\}\).
Como \(f(-x) = \frac{(-x)^2-4}{(-x)^2-1} = f(x)\), a função é par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo \(y\).

Interseções e Sinal

Eixo \(y\): \(f(0) = \frac{-4}{-1} = 4\). O ponto é \((0,4)\).
Eixo \(x\): \(x^2-4=0 \implies x = \pm 2\). Os pontos são \((\pm 2, 0)\).
Sinal: estudando os sinais do numerador e do denominador, a função é positiva para \(x < -2\), \(-1 < x < 1\) e \(x > 2\), e negativa nos intervalos \((-2, -1)\) e \((1, 2)\).

Assímptotas

Verticais: na vizinhança de \(x=1\), tem-se \(\lim_{x\to 1^-} f(x) = +\infty\) e \(\lim_{x\to 1^+} f(x) = -\infty\). Por simetria, o mesmo acontece em \(x=-1\). As retas \(x = \pm 1\) são assímptotas verticais.
Horizontal: \(\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^2-4}{x^2-1} = 1\). A reta \(y = 1\) é a assímptota horizontal.

Derivada Primeira e Monotonia

\[ f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - 2x(x^2-4)}{(x^2-1)^2} = \frac{6x}{(x^2-1)^2} \] A derivada anula-se apenas em \(x=0\).

• Decrescente para \(x < 0\) (excluindo \(x=-1\))
• Crescente para \(x > 0\) (excluindo \(x=1\))

O ponto \((0, 4)\) é um mínimo relativo do ramo central da função.

Derivada Segunda e Concavidade

\[ f''(x) = \frac{-6(3x^2+1)}{(x^2-1)^3} \] O numerador é sempre negativo. O sinal depende do denominador:

• Côncava para cima para \(-1 < x < 1\) (onde \(x^2-1 < 0\))
• Côncava para baixo para \(|x| > 1\) (onde \(x^2-1 > 0\))

Não existem pontos de inflexão.

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Assímptotas: } x=\pm 1,\, y=1;\quad \text{Mín}(0,4);\quad \text{Zeros: } \pm 2} \]

Gráfico da Função

Função ímpar, domínio \(\mathbb{R}\), assímptota oblíqua \(y=x\), pontos de inflexão em \(x=0\) e \(x=\pm\sqrt{3}\), função estritamente crescente em todo o domínio.

Domínio e Simetrias

O denominador \(1+x^2\) é sempre positivo, portanto \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\).
Como \(f(-x) = \frac{(-x)^3}{1+(-x)^2} = -\frac{x^3}{1+x^2} = -f(x)\), a função é ímpar: simetria central em relação à origem.

Interseções e Sinal

O único ponto de interseção com os eixos é a origem \((0,0)\).
O sinal da função segue o do numerador \(x^3\): positiva para \(x > 0\) e negativa para \(x < 0\).

Assímptota Oblíqua

Efectuando a divisão de polinómios (ou adicionando e subtraindo \(x\) ao numerador): \[ f(x) = \frac{x^3 + x - x}{1+x^2} = \frac{x(x^2+1) - x}{1+x^2} = x - \frac{x}{x^2+1} \] Para \(x \to \pm\infty\), o termo \(\frac{x}{x^2+1}\) tende a \(0\). Portanto, a reta \(y = x\) é uma assímptota oblíqua.
Como para \(x > 0\) se subtrai uma quantidade positiva, o gráfico mantém-se abaixo da assímptota para \(x\) positivos (e acima para \(x\) negativos).

Derivada Primeira e Monotonia

\[ f'(x) = \frac{3x^2(1+x^2) - x^3(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(1+x^2)^2} \] A derivada é nula apenas em \(x=0\) e é positiva para todo \(x \neq 0\).
A função é portanto estritamente crescente em todo \(\mathbb{R}\). O ponto \(x=0\) é um ponto de inflexão com tangente horizontal.

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

\[ f''(x) = \frac{2x(3-x^2)}{(1+x^2)^3} \] Os zeros da derivada segunda são \(x = 0\) e \(x = \pm\sqrt{3}\).

• Côncava para cima para \(x < -\sqrt{3}\) e \(0 < x < \sqrt{3}\)
• Côncava para baixo para \(-\sqrt{3} < x < 0\) e \(x > \sqrt{3}\)

Existem três pontos de inflexão: \(F_1(0,0)\) e \(F_{2,3}\!\left(\pm\sqrt{3}, \pm\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)\).

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Assímptota: } y=x;\quad \text{Sempre crescente};\quad \text{3 Inflexões}} \]

Gráfico da Função

Domínio \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), assímptota vertical \(x=0\) (apenas para \(x \to 0^+\)), assímptota horizontal \(y=1\), sempre decrescente, ponto de inflexão em \(\left(-\frac{1}{2}, e^{-2}\right)\).

Domínio e Simetrias

A função está definida para todo o valor que não anule o denominador do expoente: \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Não apresenta simetrias par ou ímpar, pois \(f(-x) = e^{-1/x}\), que é diferente tanto de \(f(x)\) como de \(-f(x)\).

Sinal e Interseções

Por ser uma exponencial, a função é sempre positiva (\(f(x) > 0\)) no seu domínio.
Não existem zeros nem interseções com o eixo \(y\) (pois \(x=0\) está fora do domínio).

Limites e Assímptotas

Comportamento em \(0\):

• \(\lim_{x\to 0^+} e^{1/x} = e^{+\infty} = +\infty\) (Assímptota vertical)
• \(\lim_{x\to 0^-} e^{1/x} = e^{-\infty} = 0\) (Ponto de acumulação limite)

Comportamento em \(\pm\infty\):

• \(\lim_{x\to \pm\infty} e^{1/x} = e^0 = 1\) (Assímptota horizontal \(y=1\))

Derivada Primeira e Monotonia

\[ f'(x) = e^{1/x} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{e^{1/x}}{x^2} \] Como \(e^{1/x} > 0\) e \(x^2 > 0\) para todo \(x \neq 0\), a derivada é sempre negativa.
A função é estritamente decrescente em ambos os intervalos \((-\infty, 0)\) e \((0, +\infty)\).

Derivada Segunda e Pontos de Inflexão

\[ f''(x) = \frac{e^{1/x}(1+2x)}{x^4} \] O sinal depende do factor linear \(1+2x\):

• \(f''(x) > 0\) para \(x > -1/2\) (com \(x \neq 0\)): côncava para cima.
• \(f''(x) < 0\) para \(x < -1/2\): côncava para baixo.

Existe um ponto de inflexão em \(x = -1/2\), com ordenada \(y = e^{-2} \approx 0{,}135\).

Resultado Final

\[ \boxed{\text{Assímptotas: } x=0^+\text{ e } y=1;\quad \text{Inflexão em } (-0{,}5,\, e^{-2})} \]

Gráfico da Função